《安徽省芜湖市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省芜湖市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、芜湖市2018-2019学年度第一学期期末学习质量检测高三数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，从而得到集合，进而可以得到.【详解】，故，则，则.【点睛】本题考查了集合的补集，考查了函数的定义域，属于基础题。2.设，则（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。3.长方形中，为的中点，在长方形内
2、任取一点，则的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，当点在阴影部分内时，满足，根据几何概型的概率公式可得.【详解】如图所示：长方形面积为2，以为圆心，1为半径作圆，半圆的面积为，当点在阴影部分内时，满足，则.【点睛】本题考查了利用几何概型的概率公式求概率，关键是要找到点所对应的图形。4.若双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，渐近线与直线垂直，可解出的值，利用可得到答案。【详解】由题意知，渐近线与直线垂直，则，解得，则离心率.故答案为A.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查
3、了双曲线的离心率的求法，考查了两直线垂直的性质，属于基础题。5.已知向量，满足，则（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】A【解析】【分析】由，求出，代入计算即可。【详解】由题意，则.故答案为A.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题。6.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】由函数是奇函数可得，代入函数表达式可求出，然后分别求出，可知切线方程过点，斜率为2，用点斜式写出方程即可。【详解】因为函数为奇函数，所以，即，则恒成立，故，故，故在点处的切线方程为，即.故答案为C.【点睛】本题考查了奇函
4、数的性质，考查了导数的几何意义，考查了直线的方程，属于基础题。7.若，则，大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取特殊值，令，可排除A、C、D选项。【详解】取特殊值，令，则，则，即，可排除A、C、D选项，故答案为B.【点睛】本题考查了指数式、对数式间的比大小，考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题。8.函数的大致图象为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用排除法，由及分别排除与，从而可得结果.【详解】当时，,可排除选项；当时，可排除选项，故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见
5、的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9.已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式对和进行化简，然后对函数的图象向右平移个单位，得到的函数与相同，即可得到的表达式，求出即可。【详解】由题意，其中，对函数的图象向右平移个单位后得到，故，则，则，故.故答案为D.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了三角函数图形的平移变换，考查了三角
6、函数的求值计算，属于中档题。10.如图所示，正方体边长为2，为的中点，为线段上的动点（不含端点），若过点，的平面截该正方体所得截面为四边形，则线段长度的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出点在线段的中点时的图形，当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，即可选出答案。【详解】由题意，正方体的棱长为2，如下图，当点在线段的中点时，截面为四边形，当时，截面为四边形，当时，截面与正方体上底面也相交，截面为五边形，故答案为A.【点睛】本题考查了多面体的截面问题，综合性较强，考查了学生综合分析问题的能力，属于中档题。11.已知椭圆：，为坐标原点，作斜率为的直线交椭圆于，两
7、点，线段的中点为，直线与的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用点差法，设出，两点坐标并代入椭圆方程可得到，再结合直线的倾斜角，直线的倾斜角及三个角之间的关系，可列式子求出.【详解】由题意知，设，则，将，两点坐标代入椭圆方程，两式相减得，则，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，则，则，解得.【点睛】本题考查了点差法在解决圆锥曲线中点弦问题的应用，考查了直线的斜率与倾斜角的关系，考查了学生的计算能力，属于中档题。12.已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数和
8、，分别求出单调性和值域，即可得到关于的不等式，解出即可。【详解】等式可化为，构造函数在单调递减，最小值为，最大值为，构造函数，求导，当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，则，的最小值为，因为对任意，总存在唯一的，使得成立，则，即.故答案为B.【点睛】本题考查了函数与方程的综合问题，考查了函数的单调性在解决综合题目的运用，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为_（用数字填写答案）【答案】17【解析】【分析】将原式展开，分别求出两部分的常数项即可。【详解】由，故常数项为.【点睛】本题考查了二项式定理的运用，考查了展开
9、式中常数项的求法，属于基础题。14.设，满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出，满足的可行域，目标函数过点时，取得最小值。【详解】画出，满足的可行域，由解得点,当目标函数过点时，取得最小值为. 【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了数形结合的数学思想，属于基础题。15.在我国古代数学经典名著九章算术中，将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的外接球的半径是3，其三视图如图所示，记正视图，侧视图，俯视图的面积和为，则的最大值是_.【答案】18【解析】【分析】由三视图还原该几何体，可以得到外接球半径为，从而得到，然后由基本不等式可得到，结合，可得到答案。【详解
10、】根据三视图可知该几何体为三棱锥（如下图），三棱锥中，则，取的中点为，易证三角形和三角形都是直角三角形，可知，故三棱锥的外接球球心为点，则，故，则，（当且仅当时取“=”），故，因为，所以.【点睛】本题考查了几何体的三视图，考查了外接球问题，根据三视图还原几何体是解题的关键，属于中档题。16.在中，已知，若，则周长的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题中条件先求出，然后由余弦定理可得，利用基本不等式可得到，再由三角形中两边之和大于第三边可得，从而可得到的取值范围，即周长的范围。【详解】由题意，即，可化为，即，因为，所以，即，设的内角的对边分别为，由余弦定理得，因为，（当且仅当时取“=”），所
11、以，即，又因为，所以，故，则，又因为，所以，即.故周长的取值范围为.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理在解三角形中的运用，利用基本不等式求最值，三角形的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于中档题。三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.数列的前项和为，.数列满足，已知数列的前项和为.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可以得到当时，两式子相减可证明数列是等比数；（2）由数列的前项和为
12、，可得到，结合（1）中的通项公式可得，利用累加法及错位相减法即可求出通项公式。【详解】（1）由，当时，两式相减，得.由知.故.即数列是首项为2，公比为2的等比数列，.（2）设为数列的前项和，则，当时，两式相减得，经验证当时也成立，故，当时，故当时，.利用错位相减法可求得，.又也符合上式，故数列的通项公式为.【点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，及累加法求数列的通项公式，考查了用错位相减法求数列的前项和，考查了计算能力，属于中档题。18.如图1，是等腰直角三角形，分别是，上的点，.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见
13、解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，可得到，可求出，由勾股定理，可证明，即可得到平面，从而可证明平面平面；（2）以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示，可得到平面的法向量，由，可得到与平面所成角的正弦值。【详解】（1）取中点，连接，因为，为中点，所以，则，.在中，.在中，所以.，平面.又平面，所以平面平面.（2）以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设为平面的法向量，则，即，令，得.又，所以.即与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了线面角的求解，运用空间向量是解决二面角及线面角的常见方法，属于中档题。19.“人民对美好生活的向往，就是我们的奋斗
14、目标.”以习近平同志为核心的党中央，把脱贫攻坚摆到治国理政的重要位置.2018年末，某市为评估全市脱贫攻坚成果，从全市农村家庭中随机抽取100户，将其人均纯收入（单位：百元）作为样本，分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图（如图）.（1）根据样本数据，求的数值并估计样本的平均数；（2）以样本数据来估计总体数据，从全市农村家庭中随机抽取3户家庭，其人均纯收入在内的家庭个数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由频率之和为1，列出方程即可求出；平均数的值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（2）人均纯收入落在内的概率为，分别求出概率，列出分布列并求出期望即可。【详解】（1）由题意，得，解得.样本的平均值为，故估计样本的平均数是29.6.（2）利用样本估计总体，人均纯收入落在
