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1、1第七章 质点动力学本章要点一、质点运动的动力学建模1 动力学基本定律：牛顿三定律.2 质点运动微分方程矢量形式 ；nitm12dFr形式直角坐标 ；niziniyinixi FtmFtt 121212 dd，自然坐标形式 .niiniinitivFts 1b112 0,d式中 和 分别是作用于质点的各力 Fi 在切线、主法线和副法线上的投影； 为运动轨ntF,b迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。二、质点运动的动力学分析1 质点动力学的两类基本问题质点动力学基本问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已知作用于质点的力，求质点的运动。求解质点动力学第一类基本问题只
2、需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。求解质点动力学第二类基本问题在数学上归结为求解微分方程的定解问题。还要根据已知的初始条件确定积分常数。此外，有些质点动力学问题是第一类和第二类问题的综合。解题要领1） 解题步骤：(1) 根据题意选取某质点为研究对象； (2) 分析作用在质点上的主动力和约束反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。 （4）选择适当的形式建立运动微分方程，第二类问题还要确定初始条件；(4)求解运动微分方程。2） 最好将要建立运动微分方程的“一般状态”下速度投影的正向为坐标轴方向，要特别注意当阻力与速度的奇次方成正比时在轴上的
3、投影，注意各力在坐标轴上投影的正负号。3） 在 3 维空间，质点运动微分方程有 3 个投影式，只能够解 3 个未知量。2 单自由度系统的线性振动(1) 单自由度系统的自由振动的微分方程： ，在初始条件： 02xn 00,vxtt下的解为 )sin(tAx其中2020arctn, vxvxAmknn 这里 A 为振幅， 为初相位， n 为固有频率。振动周期 T = 2 /n。(2) 单自由度系统的有阻尼自由振动粘性阻尼力 ，其中比例常数 c 为阻尼系数，负号表示阻力与速度的方向相反。vFc振动微分方程：，022xnx其中 n = c / 2m. 特征方程为.2n特征方程的根有以下三种情况(i)小
4、阻尼情形： ，特征根为n，2221 i,i n振动微分方程解的一般形式是，)sin(0tAext式中 ，而 A, 是由初始条件确定的积分常数。准周期为20.20nT(ii) 大阻尼情形： ，特征根为2221, nn振动微分方程解的一般形式是，tntnt eCex221其中积分常数 C1 和 C2 由初始条件确定。这时不再有振动的特征。(iii) 临界阻尼情形： 时，特征根为n.21振动微分方程解的一般形式是，)(21tCexnt式中积分常数 C1 和 C2 由初始条件确定。不再具有振动的特点。(3) 单自由度系统的有阻尼受迫振动粘性阻尼力 ，简谐激振力 F = Hsinti. 质点运动微分方程
5、为iFxcthnxsn223其中 . 其通解由两部分组成：mHhcnmkn,2,2)(1tx式中 x1 对应于齐次方程的通解。在小阻尼(n mB，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。解：分别取 A 和 B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程， ， TAFWx TBBFx式中 ， ，根据题意，有gmAB 题 7-2 图题 7-2 受力图5， ，TBAFBAxBA初始条件， ， ， .0txht00t 0tx解以上初值问题，得， gmBA22gtmxBA， xBhB令 ，即AgtgtBAB222解得当两物体达到相同高度时.gmhtBA.7-3 质量为 m 的质点
6、 M 受到引力 F = k2mr 的作用，其中 k 为常量，运动开始时，质点M 在轴 x 上，OM 0 = b，初速度 v0 与轴 x 的夹角为 ，如图所示。试求质点 M 的运动方程。解：取质点 M 为对象，列出质点运动微分方程：，Fr投影式为，xk2yk2初始条件： ， ；bt00t， .cosvt sinvt解上述初值问题，得质点 M 的运动方程， .ktbtkxssin0ktysi07-4 图示套管 A 的质量为 m，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另一端绕过离杆距离为 l 的滑轮 B 而缠在鼓轮上，当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为 v0。如果滑轮尺寸略去不计，试求绳子的拉力与距
7、离x 之间的关系。解：取套管 A 为研究对象，受力图如图示，先进行运动学分析. 将2xlB对时间求导，得题 7-4 图题 7-4 受力图v0M0FMrOixy题 7-3 图602dvxlABt解出，02vxl再对时间求导，并将上式代入，得.320l在铅锤方向列出动力学方程mgFxlmaT2其中 ，于是绳子的拉力 与距离 x 之间的关系为T.lxvlgT23207-5 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当 r = 10 000 m， = 60，且 时，火箭的质量为 5 000 kg。求此时的喷射反推力 F。rad/s02. 2rad/s.解：以火箭为研究对象，设坐标系如图示， ，sinryc
8、onstrx将上式对时间求导后，解得火箭的速度cos再次对时间求导，并将上式代入，解得火箭的加速度ry2csin在 方向列写动力学方程，mgF喷射反推力 F 为y将数据代入，求得此时的喷射反推力 .kN56.387F7-6 质量皆为 m 的两物块 A，B 以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所示。当 时0自由释放，求此瞬时杆 AB 所受的力。解：1）取物块 A 为研究对象，AB 杆为二力 杆mg题 7-5 图 题 7-6 图7，受力图如图示，列出动力学方程BAF， （a）ABamgsin2）取物块 B 为研究对象， (b)Aco3）运动学分析sin,slylxB对时间求二次导数，得
9、；co,illAsin,ssn22 yxB在初瞬时， ，初加速度为0， (c)colaAinlaB由（a） 、(b) 、(c)三式解得gmFBAB22sic据题意， ，初瞬时 ，杆 AB 所受的力03为.gFAB437-7 质量为 m 的小球以水平速度 v0 射入静水之中。如水对小球的阻力 F 与小球速度 v 的方向相反，且与速度的大小成正比，即 F = v， 为阻尼系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。解：取小球为研究对象，列出动力学方程，gFrm投影式为，xgy初始条件：， .00tty0,0ttv解上述初值问题，得小球在重力和阻力作用下的运动方程为， .tmevx
10、10 tmegty127-8 滑块 M 的质量为 m，在半径为 R 的固定光滑圆题 7-7 图题 7-8 图题 7-6 受力图8环上滑动。圆环位于铅垂平面内。滑块 M 上系有一弹性绳，它穿过圆环的点 O 固定于 A。已知当滑块在点 O 时，绳的张力为零。弹性绳每伸长 1 (cm)需力 c (N)。开始时滑块在圆环的顶端点 B，处在不稳定平衡状态，当它受到微小扰动时，沿圆环滑下， 为绳的 OM 部分与水平线的夹角，如图所示。试求滑块 M 的下滑速度 v 与 角的关系以及圆环的约束力。解：取滑块 M 为研究对象，受力图如图示，列出切线和法线方向的动力学方程， （a）2sincoTt mgFa, (
11、b)coN2Rv式中， ， .初始条件为t siTR， .20t 0t解此初值问题. 关系利用 ，积分式（a）d，20 2sind2mgcR，1cos得滑块 M 的下滑速度 v 与 角的关系， （与 方向相反）.gmcRRvs2 从（b）式解得圆环的约束力.2coscs4sin22NcF7-9 作用有简谐激振力 F，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图所示。设质点的质量为m = 350 kg，弹簧的刚度为 k = 20 kN/m，简谐激振力振幅的大小 H = 100 N，激振频率 f = 2.5 Hz ,阻尼元件的阻尼系数 c = 1600 Ns/m，试求系统受迫振动的振幅，受迫振动相位滞后激振力
12、相位角和受迫振动的方程。解：选取平衡位置为坐标原点， 轴垂直向下， 为单位向量，xi弹性恢复力 ，iFk粘性阻尼力 ，c简谐激振力 itHsn质点运动微分方程的为 tkxcmi2滑块受力图习题 7-99化作标准形式 thxnxsin22其中 ， ， ， ，mckmHf2振幅为224nhbn受迫振动相位滞后激振力相位角 的正切为2tan代入数据，得 , . 受迫振动的方程为m90.1brad50.7sitx7-10 质量为 m 的质点在水平面的上空受斥力的作用而处于悬浮状态，斥力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为 。求质点在平衡位置附近作竖向微振动的运动微分方程。解：以质量为 m 的质
13、点为研究对象，以斥力为零的水平面为坐标原点，斥力为 ，受力图如图示，运动微分方程为xF.g7-11 在图示振动系统中，已知：重物 A 的质量 m = 1 kg，两串联弹簧的刚度系数分别为k1 =12 N/cm, k2 = 4 N/cm， = 30，斜面摩擦不计，在弹簧没有变形时将重物 A 无初速地释放，同时 B 端以 = 1.5sin(10t) cm 沿斜面运动。试求重物 A 的运动方程。解：取重物 A 为研究对象，串联弹簧的等效刚度系数 满足 k21k解得 .建立与 B 固结的动坐标系 ，坐N/cm3yxB标原点选在 A 的相对经平衡位置。牵连惯性力为，N10sin5.e tF列出相对运动动
14、力学方程，xktgx sti.3i 即质点受力图滑块受力图题 7-1110，xtx301sin5.0通解为根据初始条件：m10sin5.7coi 4ttBtA，解得重物 A 的相对运动方程,00ttx.10sin.3.17sin4. tt7-12 倾角为 的楔块 A 的质量为 mA，静止地置于光滑的水平面上，物块 B 的质量为mB，放在楔块 A 的光滑斜面上，如图所示。当无初速地释放物块 B 后，求楔块 A 与物块 B之间相互作用力的大小。解：1）取楔块 A 为研究对象，列出水平方向的动力学方程sineNFa2）取物块 B 为研究对象，物块 B 作合成运动，以楔块 A 为动系。列出动力学方程，sincoserNam，coinBBFg联立上面三式，并注意到 ，解得，aBA2esi2，gmrn楔块 A 与物块 B 之间相互作用力的大小为.2sicoNF7-13 质量为 m 的小环 M 套在弯成 y = f(x)形状的光滑金属丝上，金属丝通过坐标原点并绕竖直轴 Oy 以等角速度 转动，如图所示。如果要使小环在金属丝的任何位置都能处于相对平衡状态，试求金属丝的形状以及平衡时金属丝对小环的作用力。解：以小环 M 为对象，光滑金属丝为动系，设 为沿动系kj,i坐标轴的单位向量，则相对速度： ，牵连加速度： ，jiyxvr ia2ex因相对平衡时 ，所以科氏加速度 .，0r 0
