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1、湖南师范大学 硕士学位论文 锥预不变凸映射的Pareto极小问题 姓名：鲍培文 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：李荣珩 20080901 摘要 向量优化问题一直是非线性规划领域的一个热门方向，有着坚实的应 用背景和深刻的理论意义。凸函数在优化理论中起着重要的作用，而预不 变凸向量映射虽然不是凸映射，但具有凸映射的一些好的性质。W r e i r 和 J e v a k u m a r 研究具有锥预不变凸数量值和向量值映射的弱极小问题，讨论这 些问题的最优性条件、L a 伊a n g e 函数的鞍点、对偶问题等。本文在这些工 作的基础上，研究具有锥预不变凸映射的P a r e t
2、o 极小问题，得到P a r e t o 极 小问题的L a g r a n g e 函数的鞍点、最优性条件和广义向量变分不等式的解的 存在定理，并讨论对偶问题及对偶条件等。 关键字：P a r e t o 极小问题；锥预不变凸；L a 伊a n g e 函数；鞍点；向量变分 不等式；数值化；对偶问题 A b s t r a c t D u et oi t sp r o f o u n ds i g n i f i c a n c ei nb o t ha p p l i c a t i o na n dt h e o r y ， v e c t o ro p t i m i z a t i
3、o np r o b l e mh a sa l w a y sb e e nah o tt o p i ci nt h e r e s e a r c ho fn o n li n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m s I ti sw e llk n o w nt h a t c o n v e xf u n c t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h eo p t i m i z a t i o nt h e o r y A l t h o u g hp r e i n v e x f
4、 u n c ti o n sa r en o tc o n V e x ，t h e y h a V es o m e i n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s O nt h eb a s i so ft h ea r t i c l eo fT W e i ra n d V J e y a k u m a ra b o u ts a d d l ep o i n to fL a g r a n g ef u n c t i o n s ，o p t i m a li t y c o n d i t i o n sa n dd u a l i t yt
5、 h e o r e m sg i v e nf o rb o t hs c a l a r v a l u e da n d v e c t o r v a l u e dw e a km i n i m i z a t i o np r o b l e m si n v 0 1 v i n gc o n e p r e i n V e x f u n c t i o n ，t h i sp a p e rd i s c u s s e ss a d d l ep o i n to fL a g r a n g ef u n c t i o n s ， o p t i m a l i t y
6、c o n d i t i o n s ， e x i s t e n c et h e o r e m so ft h es o l u t i o n sf o r g e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dd u a l i t yp r o b l e m si n p a r e t om i n i m i z a t i o np r o b l e m si n V 0 1 V i n gc o n e p r e i n V e xf u n c t i o n M
7、 a n y r e l e v e n tr e s u l t sa r eo b t a i n e d K e y w o r d s ：P a r e t om i n i m i z a t i o np r o b l e m ；C o n e p r e i n V e x i t y ； L a g r a n g e f u n c t i o n； S a d d l e p o i n t ； V e c t o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y； S c a l a r i z a t i o n ； D u a l
8、 i t yp r o b l e m 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：鲍眵影L夕驴年f f 月2 9 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南
9、师范大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：彩拓良日期：2 矿夕眸l f月z g 日 导师签名： 枷1 日期：加p 宫年f月 2 3日 锥预不变凸映射的P a r e t o 极小问题 1 引言 向量优化，又称多目标最优化问题，是近3 0 多年来迅速发展起来的一 门新兴学科，作为最优化的一个重要分支，它主要研究在某种意义下多个数 值目标的同时最优化问题。由于现实世界的大多数最优化问题都要涉及许 多个
10、目标，因此，自上世纪7 0 年代以来，向量优化的研究，在国际上引起 了科学工作者的极大兴趣和关注。特别是近2 0 多年来，在各个运筹学家、 数学家、数量经济学家和系统科学家们的共同努力下，理论探索不断深入， 取得了累累硕果，应用范围日益广泛，显示出蓬勃的生机( 见 3 ，l ，2 2 ) 。 向量优化的起源，可以追溯到经济学家A S m i t h ( 1 7 7 6 年) 关于经济平 衡和F Y E d g e w o r t h ( 1 8 7 4 年) 关于均衡竞争的研究。特别是，著名经济 学家V P a r e t o ( 1 8 9 6 ) 在经济福利理论的著作中，不仅提出了多目标最
11、优问 题，还引进了P a r e t o 最优化的概念。这对向量优化的形成和发展，起了 十分重要和深远的影响( 见 3 ) 。 众所周知，凸函数在优化理论中起着重要的作用( 见 1 ，3 ，2 l ，2 2 ) 。 从1 9 7 0 年R o c k a f e l l a r 2 1 所写的C o n v e xf u n c t i o n 一书的出版开始， 凸分析迅速发展，特别是1 9 9 4 年国际学术杂志J o u r n a lo fc o n v e x A n a l y s i s 创刊后，凸分析已形成了现代数学中的一个专门研究领域。我 国自1 9 9 0 年以来，也出现了一
12、些关于凸性理论的专著，诸如史树中 6 所 写的凸分析，刘光中 9 所写的凸分析与极值分析、寇述舜 1 0 所写 的凸分析与二次规划、胡毓达与孟志青 1 1 所写的凸分析与非光滑化 分析、冯德兴 1 3 所写的凸分析基础。事实上，具有凸性的函数相对 较少，它是较理想化的函数，因此，人们一直在研究凸函数的各种推广形 式即广义凸函数，诸如拟凸、似凸、伪凸、不变凸等等，它们既能保持凸 函数的一些良好性质又具有比凸性更弱的条件。 作为凸函数的有意义的推广，B e n I s r a e l 和M o n d 7 ，H a n s o n 和 M o n d 1 4 引进了向量映射的预不变凸( p r e
13、 i n V e x ) 概念，这类映射虽然不 高校教师在职硕士学位论文 是凸映射，但具有凸映射的一些好的性质。 下面我们看看广义凸性中预不变凸性的发展情况。 数值不变凸函数与预不变凸函数的定义： 设尺”表示n 一维欧式空间，( x ) 是尺”上的实可微函数，其梯度用W ( x ) 表 示。H a n s o n 于1 9 8 1 年文献 1 5 中考虑了一类函数，其定义如下： 定义1 1 ( 1 6 ) 对任意的x ，y R ”，存在一个向量叩( x ，y ) R ”，使得 ( x ) ) + y ( y ) 碍( ，J ，) 则称这类函数为不变凸函数。 后来，W e i r 和M o n
14、d 1 7 及W e i r 和J e y a k u m a r 2 4 于1 9 8 8 年引入了预 不变凸函数的定义如下： 定义1 2 设s 足”和：s 一只如果对任意j ，s 和任意口 o ，l 】，都存在一个 向量叩( x ，y ) 尺“，使得y + a 叩( x ，少) s 成立，则称s 是关于，7 的不变凸集。 若s 是关于巧的不变凸集，且满足帆，y s ，对所有口【o ，l 】，有 o ，+ 口7 7 ( 墨力) 可( x ) + ( 1 一口V 成立，则称是预不变凸函数。 利用凸函数的广义预不变凸性可以研究单目标问题与多目标问题的最 优性条件、对偶理论，也可以研究变分不等式问
15、题、平衡问题等解的存在 性。 向量值函数的凸性、类凸性定义： 假定D 是拓扑线性空间Y 中的点闭凸锥，且i n t D 矽，X 是拓扑空间， ：s _ J ，是一向量值映射，其中s 是凸集，且scx 。 C r a v e n 1 8 于1 9 7 8 年给出了向量值映射的D 凸定义，H a y a s h i 和 锥预不变凸映射的P a r e t o 极小问题 K o m i y a 1 9 于1 9 8 2 年给出了向量值映射的D 一类凸定义，J e y a k u m a r ( 见 2 0 ) 1 9 8 6 年给出了向量值映射的D 一次类凸定义，Y a n g ( 见 2 3 )
16、于1 9 9 2 年给出了向量值映射的广义D 一次类凸定义，我们只列出前两个定义，它们 分别为： 定义1 3 ( i ) ( C r a v e n ， 1 8 ) 若对任意t 少s 和任意口 o ，l 】，有 万( x ) + ( 1 一口) 厂) ( 锻+ ( 1 一口沙) + D 则称厂在S 上是D 一凸的。 ( i i ) ( H a y a s h i 和K o m i y a ， 1 9 ) 若对任意x ，y s 和任意口【o ，l 】，存在z s ， 使得 万( x ) + ( 1 一口) 厂) ( z ) + D 则称j r 在S 上是D 一类凸的。 向量值函数的D - 不变凸性与D - 预不变凸性定义： 假设X 、Y 为任意实赋范线性空间，D
