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1、对称真题链接在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，其中交直线于点（1）依题意补全图；（2）若，求的度数；（3）如图，若，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明（2014北京中考）【答案】解：（1）补全图形如图所示：（2）连接，依题可知，（3）连接、由对称性可知：，、都是等腰三角形，都是等腰直角三角形，在中，课堂练习题型一 轴对称图形【例1】 判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴【答案】是轴对称图形的有：（2），（4），（6），（7），（9）；分别有条，条，条，条，条对称轴【例2】 如图，ABC与ABC关于直线l对称，则B的度数为 （ ）A30B50C90D1
2、00【答案】D【例3】 如图，直线是四边形的对称轴，若，有下面的结论： ，其中正确的结论有_【答案】题型二 翻折【例4】 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是_【答案】D【例5】 将一个正方形纸片依次按图1a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的（ ）图1图2【答案】D【例6】 如图a是长方形纸带，DEF=20，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是（ ）A、110 B、120 C、140 D、150【答案】B【例7】 将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在
3、同一条直线上，则CBD的度数（ ）A、大于90B、小于90C、等于90D、不能确定【答案】故选C【例8】 如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为_【答案】如图1所示为三角形纸片ABC，AB上有一点P已知将A，B，C往内折至P时，出现折线 SR、TQ、QR，其中Q、R、S、T四点会分别在BC、AC、AP、BP上，如图2所示若、四边形PTQR的面积分别为16、5，则的面积为（ ） A1 B2 C3 D4【答案】C【例9】 把ABC沿DE折叠，BDA、CEA与A的关系为：图 ：_. 图 ：_.图 图 【答案】；【例10】 有一张矩形纸片AB
4、CD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图，将矩形纸片折叠，使点B、D重合，点C落在点处，得折痕EF；第二步：如图，将五边形折叠，使AE、重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图，进一步折叠，使AE、均落在DG上，点A、落在点处，点E、F落在点处，得折痕MN、QP.这样，就可以折出一个五边形.若这样折出的五边形DMNPQ（如图）恰好是一个正五边形，当，时，有下列结论：； ； .其中，正确结论的序号是_（把你认为正确结论的序号都填上）.【答案】【例11】 如图, DEF中，DE=DF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于点B、C，且BE=CF.（1）求证：AB=AC.（2）猜想 BC与EF
5、的大小关系，并加以证明. 【答案】（1）过做平行线构造全等（2）【例12】 如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC=AED=90，AEB=2DAE.求证：AE=BC.如图，在（1)的条件下,点F为线段AE上一动点，过点F作GFAE交AD于G，过点G作GHBC于H.判断AF=BH是否成立，并说明理由.如图3，在（2）的条件下，AB=8，AEB=60，直接写出FH的最小值. 【答案】此题（1）（2）可过做平行线来构造矩形，类似于翻折问题（3）当时取的最小值题型三 垂直平分线【例13】 如图，已知，为的垂直平分线，求的度数 【答案】【例14】 如图所示，在ABC中，BAC=106，EF、MN
6、分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则EAM=_ 【答案】【例15】 如图，的两边、的垂直平分线分别交于、，若,则的度数是_【答案】【例16】 如图中，平分，且平分，于，于. 说明的理由；如果，求，的长.【答案】要证明，根据垂直平分线的性质，可连接、证明即可求、的长，可设，根据题意得，解得【例17】 如图，则有（ ）A垂直平分B垂直平分C与互相垂直平分D平分【答案】、点、在线段的垂直平分线上垂直平分故选【例18】 已知：如图，ABC中，ACB=90，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上【答案】在垂直平分线上，
7、3=23=4，4=2，在的垂直平分线上【例19】 如图，在四边形中，分别是，的中点求证：与互相垂直平分【答案】连接，是的中位线同理，且四边形是平行四边形又，平行四边形是菱形与互相垂直平分题型四 轴对称类最值【例20】 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？【答案】答案见右上图。【例21】 如图，在等腰中，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小。【答案】如下图。【例22】 如图，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小。【答案】如图。【例23】 已知：、两点在直线的同侧，在
8、上求作一点，使得最大。【答案】如图。【例24】 求在直线上找一点，使得直线为的角平分线【答案】如图【例25】 如图，矩形中，若在、上各取一点、，使得的值最小，这个最小值为（ ）A B C D 【答案】C【例26】 如图，设，为上一点，为上一点，为上任一点，是上任意一点，那么折线的长最小为_. 【答案】【例27】 如图，直线分别与轴，轴交于、两点，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）A. B. C D. 【答案】A【例28】 在中，点在的内部（）如图，点、分别在、边上，则_，周长的最小值为_；（）如图，若条件不变，而，求的面积；（）若，且，
9、直接写出的度数【答案】解：（），周长的最小值为；（）分别将、沿直线、翻折，点的对称点分别是点、，连接、，则，由（）知，是等边三角形，点、共线，中，（）说明：作于，于由（）知，题型五 角分线辅助线【例29】 如图，在中，为的平分线求证：【答案】思路一、如图，在上截取，连接，可证，因此可得， 思路二、略【例30】 如图，中，平分，则_【答案】【例31】 在中，是的平分线是上任意一点求证：【答案】为角平分线，将沿翻折，点落在点，连接，则，可以将问题“”转化为“”，则用三边关系很容易能够解决【例32】 如图，在中，是上一点，交的延长线于，且求证：是的角平分线【答案】延长、交于点，先证明，得，则，再证题
10、型六 轴对称类辅助线【例33】 如图，两条互相垂直的弦将O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为、，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则= _.【答案】【例34】 如图，O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45，若=8，则AB等于 _【答案】【例35】 如图，AB是O直径，弦CD交AB于E，设，下列图象中，能表示y与x的函数关系是的【 】【答案】A【例36】 如图，凸四边形ABCD中，ACBD，OAOC,OBAB+CD.【答案】做的对称线以及的对称线，然后用三边关系【例37】 如图，在中，于，且，那么的度数是_【答案】【例38】 如图，在中，于，求证：【答案】根据已知条件，可考虑将沿折叠，点
11、落在的延长线上的点，因此将求证的结论转化为，因此只需证明即可，辅助线描述如下：延长到点使得，连接，易证为线段的垂直平分线， 也可以，延长至，使，连接易证，所以，进而是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质可知【例39】 如图，在中，是外的一点，且，求证：【答案】延长至，使，连接,，为等边三角形，故原题得证 【例40】 如图，已知，且求证：是等腰三角形【答案】延长到，使得，连结，是等边三角形，则，即，是等腰三角形【例41】 如图，已知平面直角坐标系xOy中的点A（0，1），B（1，0），M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点P（x，y），且SMPN=SAEM+SNFB（1）SAOB S矩形EOFP（填“”、“=”、“”），y与x的函数关系是 .（不要求写自变量的取值范围）；（2）当时，求MON的度数；（3）证明：MON的度数为定值【答案】24. 解：（1）； 与的函数关系是； （2）当时，. 点的坐标为 可得四边形为正方形过点作于. 在Rt中， ，为的中点 在Rt和Rt中， RtRt 同理可证 ， 即 （3）
