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1、导数在函数中的应用探讨摘要：导数（导函数的简称）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终联系着函数的思想，涉及数学中多种思想和方法，同时又是衔接初、高等数学的桥梁，它的出现为解决一些数学问题提供了新的视野。本文主要就导数的有关知识在函数中的应用进行了探讨。关键字：导数 ；函数 ；应用 Discuss the application of derivative in the functionAbstract：Derivative (the abbreviation of derived function ) is a special function,what it found and define
2、d are always associated with the idea of function,which involved in a variety of ideas and methods about mathematics. Whats more, it is the bridge linking the junior mathematics and senior mathematics,providing a new view for solving mathematical problems.This paper mainly apply the relevant knowled
3、ge in the functions derivative was discussed.Keywords：Derivative;Function;apply 目录1 引言 （3）2 导数的基础知识 （3）2.1 导数的定义 （3）2.1.1 一阶导数定义 （3）2.1.2 高阶导数定义 （4）2.2 导数的几何意义 （4）2.3 导数的求法 （4）2.3.1 基本求导法则 （4）2.3.2 基本初等函数导数公式 （4）2.3.3 莱布尼茨公式 （5）3 导数在解决函数问题中的应用 （5）3.1 导数在函数单调性中的应用 （5）3.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系 （5）3.1.2
4、应用导数判断、求证函数的单调性与单调区间 （6）3.2 导数在函数图象中的应用 （8）3.3 导数在函数中求极值与最值中的应用 （9）3.3.1 导数在求函数极值中的应用 （9）3.3.2 导数在求函数最值中的应用 （10）3.4 导数在函数中凹凸性与拐点中的应用 （11）3.5 导数在函数中求参数的应用 （12）3.5.1 求函数解析式 （12）3.5.2 求参数的取值范围 （13）4 导数的产生和发展 （14）5 导数在其他方面的应用 （14）6 总结 （14）致谢 （15）参考文献 （15）导数在函数中的应用探讨 1 引言 为了反映现实世界中变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的
5、不断深化研究，产生了微积分。从微积分称为一门学科来说，是在十七世纪下半叶，微积分是数学史上重要的转折点，它的出现使得解决很多数学问题有了更加广阔的视。微积分的知识和方法在数学中的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，而导数是微积分的核心概念之一。它的产生和发展蕴含了几代数学家的心血结晶，具有浓厚的时代背景和历史意义。恩格斯说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作是人类精神的最高胜利了，如果在某一个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一功绩，那就是这里。”从而可以看出导数在人类发展史上的地位。 导数在数学问题中起到承上启下的作用：承上是它的加入为高中数学注入了新的活力，
6、使数学解题方法有了新的突破，它的应用潜移默化改变了学习者的思维习惯；启下是它的加入完善了高中阶段教学内容，为接下来进一步学习高等数学和其他自然科学作了必要的铺垫，同时在中学数学和大学数学之间起衔接作用。导数是分析函数变化形态研究函数性质的一种重要手段。运用导数解决函数问题不需要很高的思维能力，强调了通法而淡化了技巧，在分析函数的图象、单调性、极值与最值等方面，可使复杂问题简单化、系统化。本文从多种函数例题入手，由易到难，应用导数解题，突出导数在函数解题中的作用和优势，感悟这个过程中蕴含的数学思想和数学形式化的美丽。2 导数的基础知识2.1 导数的定义2.1.1 一阶导数定义定义1 设函数在点的
7、某邻域内有定义，若极限 (1)存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作。令，。则(1)式可改写为 (2) 所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为在处关于的变化率1。2.1.2 高阶导数定义 定义1 若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即 (3）同时称在点为二阶可导。 一般地，可由的阶导函数定义的阶导函数（或简称阶导数）1。2.2 导数的几何意义 函数在点处的导数在几何上表 示为：函数在点A处的导数 A 就是该点处切线的斜率。 图1 2.3 导数的求法2.3.1 基本求导法则1 （
8、4） （为常数） （5） （6） 反函数导数 （7） 复合函数导数 （8）2.3.2 基本初等函数导数公式（部分)1 （为常数） （9） （为任意实数） （10） （11） （12） （13） （14） （15） 2.3.3 莱布尼茨公式1 （16）3 导数在解决函数问题中的应用3.1 导数在函数单调性中的应用 函数的单调性是函数最基本的性质之一，描述了某个区间内函数的增减性变化规律，是研究函数必须要掌握的基本知识。用函数单调性本身的定义来处理单调性的问题具有很强的技巧性，需要灵活的思维能力，难度较大；而应用导数来解决单调性的问题则非常系统化，突出了通法，简单易懂。下面应用导数这一工具来处理有
9、关这方面的问题。3.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系 观察下面各个函数的图象，思考函数的单调性与其导数的正负之间的关系 图2 图3 图4 图5 图2函数（），其导数恒等于1并且大于0。观察原函数图像可以发现其在定义域R内单调递增，并且斜率是恒定的。 图3函数（），其导数为，当时，导函数恒大于0，当时，导数等于0，当时，导数恒小于0。观察原函数图像可以发现，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减。 图4函数，其导数为，当时，导数恒小于0.观察原函数图象可以发现其定义域上都是单调递减的。 图5函数，其导数为。观察原函数图象可以发现在其定义域内函数值是不变的。综上所述，我们可以总结出： 若函数在区间内可导 如果，那么函数在区间内单调递增； 如果，那么函数在区间内值不变； 如果，那么函数在区间内单调递减。3.1.2 应用导数判断、求证函数的单调性与单调区间 例1：判断函数的单调性和单调区间 分析：本题可以应用函数单调性本身的定义来解答，这能更容
