上学期 一元二次方程复习综述

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1、一元二次方程复习 一元二次方程的解法 直接开平方法 教学目标： （1）会解 型方程，知道解法的算理； （2）理解换元的数学思想，并会解 型方程； （3）训练准确、迅速的计算能力。 教学重点和难点： 会解 型方程。 并能正确表示方程的两个根。 一、复习 1、平方根的定义及平方根的性质； 2、说出下列各数的平方根 1、8、0、4、 3、一元二次方程的定义及其一般形式 4、一元二次方程分类 一般形式 缺一次项项 缺常数项项 缺一次项项及常数 项项 把 都叫做不完全的一元二次方程。 把 叫做完全的一元二次方程。 提出问题：怎样解形如 与 的 一元二次方程呢？ 例1、 解方程 3x2=0. 解：方程两边

2、同除以3： 得 x2=0 所以 x1=0, x2=0 例2、 解方程 x2-36=0 解： x2=36 x= 6 所以 x1=6, x2= -6 直接开平方法的特点： 方程左边是一个含有未知数的完全平方式， 右边是一个非负数。 练习1、 用直接开平方法解下列方程 （1）3x2-75=0 （2） 5y2-10=0 （3） x2+4=0 （4） 例3、 解方程 （x-2)2-3=0 分析：用换元法，(x-2)看成一个整体。 练习2、 解方程 (1) （x-3)2-25=0 (2) 16(x-3)2=25 (3) 5-(x-6)2=0 (4) 9(2x+3)2=(x-3)2 (5) (ax+b) 2

3、 =d 练习3、 填空 1、 方程 2x2+a=0 , (a0)的根是； 2 、方程 ax2=c有实根的条件是； 思考：解方程 a(x-b)2+c=0 小结： 1. 直接开平方法的特点： 方程左边是一个含有未知数的完全平方式， 左边是一个非负数。 2. 对于ax2+c=0 形式的方程 （1）当a,c异号时有解； （2）当a,c同号时无解 3. 对于（x+a)2+b=0形式的方程, 可用换元法解。 作业: p15 A组： 1, 2 B组：1 布置作业： 代数精编 P8 12、 P9 14、 教学目标 1、会将完全的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0, b0,c0)转化为适合于直接开 平方法

4、的形式(x+m)2 =n; 2、牢记配方的关键是“添加的常数项等于 一次项系数一半的平方”； 3、在数学思想方法方面，体会“转化”的思想 。 教学重点和难点 重点:掌握用配方法解一元二次方程. 难点:凑配成完全平方的方法与技巧. 复习 1.举例说明什么是完全平方式？ 2.填空 1) x2-2x+ ( ) = x+ ( )2 2) x2+6x+ ( ) = x- ( )2 3) x2+ + ( ) = x+ ( )2 4) y2-y+ ( ) = y- ( )2 3. 解方程 (x-3)2 = 4 解： x-3 = 2 x = 3 2 所以： ， 4. 把方程(x-3)2 = 4展开整理： (x

5、-3)2 = 4 思考：怎样解 的方程？ 关键是把 转换成 (x+m)2 = n的形式。 例1、解方程 x2-6x+5 = 0 解：移项，得 x2-6x = -5 配方，得 x2-6x+(-3)2 = -5+(-3)2 (x-3)2=4 解这个方程,得 x-3= 即 x1=5 ， x2=1 配方法 先把方程的常数项移到方程的右边，再把 左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数 ，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的 解. 例2、用配方法解方程：2x2+3 = 7x 分析：本题与前面有不同： 1、方程不是一般形式，需要先写成一般形式。 2、二次项系数为2 不是1，要先把它 化成 1，即方程各项

6、都除以2. 练习1： 1、 2、 3、 4、 5、 结论：对于x2+ax型的代数式，只需再加上 一次项系数一半的平方即可将之转化 成完全平方式。 练习：解方程 (1) 6x-x2 = 63 (2) 9x2-6x+1 = 0 (3) -3x2-2x+1 = 0 (4) 例3、用配方法解方程： 练习2：填空 1.当x=_时，分式 的值为0 . 2.已知方程 的一根是 ， 则另一个根是_ . 3.若一元二次方程 的一根为1， 且满足 ，则c=_ . 4.方程 的最小的一个根的负倒数 _ . 5. 的值等于_ . 1 2 1 ? 1 练习3： 1. x为实数且有 2. 已知：x=2是关于x的方程2x2

7、+3ax-2a=0 的根，求方程 y2-3y = a 的解。 3.对于任何实数x,代数式 -12x2 -3x-5 的值永远是负数。 4. 设a0，a,b,c 都是已知数，并且 b2-4ac0，试用配方法解方程： ax2 +bx+c = 0. 小结 用配方法解一元二次方程，其步骤如下： (1)化二次项系数为1； (2)移项，使方程左边为二次项、一次项，右 边为常数项； (3)配方，依据等式的基本性质和完全平方公 式，在方程的左右两边同时加上一次项系数 一半的平方； (4)用直接开平方法求解。 配方法的理论依据是完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2， 它以直接开平方法为基础。 作业：

8、代数精编 P12 19、（偶数题） 20、（奇数题） 教学目标 1、掌握一元二次方程求根公式的推导过程； 2、熟练掌握用公式法解一元二次方程； 3、培养计算能力，渗透“一般与特殊”的观点 。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的求根公式解法。 难点：用配方法推导求根公式。 一、复习提问： 1、用配方法解一元二次方程的 步骤是什么？ 2、练习：用配方法解一元二次方程 用配方法解方程 (师生共同完成 ） ax2+bx+c=0（a0） 一元二次方程ax2+bx+c=0( a0)的 求根公式 x= （b2-4ac0） 练习1：解方程 1. 2x2+7x=4 练习2：P14 1、 例1： 解方程 1)

9、x2-3x=-2 2) 3y2-2y=1 解: （1）先把方程化为一般形式 （2）确定a,b,c （3）判定b2-4ac的值 （4）代入求根公式 方程 ax+bx+c=0 (a0)的求根公式是 ； 方程 x+px+q=0 (p4q)的求根公式是 ； 方程 ax+bx=0 (a0)的求根公式是 ； 方程 ax+c=0 (a,c异号)的求根公式是 ； 记住以下公式： 例2、解方程 x+x-1=0（精确到0.01） 小结：公式法解一元二次方程的步骤 1、 把方程化为一般形式； 2、 找出a,b,c 并求出b2-4ac的值； 3、 当b2-4ac0时，代入公式，从而 求出x1 与x2 注意： 当b 2

10、-4ac0时，原方程无解。 能力训练 ： 2、解关于x 的方程 x2+mx+2=mx +3x 3、解关于x 的方程 (m-1)x2+2mx+m+3=0 1、解方程：x(x+1)+7(x-1)=2(x+2) 小结：1、一元二次方程ax2+bx+c=0( a0) 的求根公式 x= ( b2-4ac0) 2、公式法解一元二次方程的步骤 1）把方程化为一般形式 2）找出a,b,c并求出b2-4ac的值 3）当b2-4ac0时，代入公式，从而 求出x1,x2 当b 2-4ac0时，原方程无解 布置作业 课本 P15 4、 5、 教学目标 1、理解一元二次方程因式分解法的算理； 2、掌握一元二次方程因式分

11、解法的步骤； 3、理解由高次转化为低次是解方程的思路之一. 教学重点和难点 重点：用因式分解法解一元二次方程. 难点：因式分解法解一元二次方程的算理. 复习提问： 1 、 填空： 如果ab=0，则a=_或b=_， 即如果两个因式的积等于0，那么这两个 因式至少有 ；如果a=0或 b=0， 则ab=_，即如果两个因式有一个 为0，那么它们的积 _. 00 一个为0 0 等于0 2、如果(x+3)(x-3)=0，则 =0或 =0 ， 即x= 或x= ; 从而二次方程x-9=0的解是 。 X+3X-3 -3 3 X=-3或x=3 对于方程x2-9=0来说，既可用直接开平方法解 ， 也可用公式法解。

12、解法虽然不同，但结果是一样的。用直接开 平方法来解，要简便一些。 根据方程的具体情况，解法可以选择。 下面介绍一种解某些一元二次方程较为简便 的方法因式分解法。 例：解方程：x2=3x 解：移项，得x2-3x=0 将方程左边分解因式，得x(x-3)=0 x=0 或x-3=0 x1=0 x2=-3 这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。 特点：在一元二次方程的一边是0， 而另一 边易于分解成两个一次因式时，就可以用因 式 分解法来解。 例1 解下列方程： （1） x2-3x-10=0 （2） （x+3）（x-1）=5 （3） 3x（x+2）=5（x+2） （4） （3x-1）2-5=0 练习：P

13、20 1、2 补充：用因式分解法解下列方程： （1） （2） （3） (4) (x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=0 例2. 解下列关于x的方程： 解 原方程可变形为： 练习：练习：1. 1. 解关于解关于x x的方程的方程 2. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 3. 已知2x2-5xn-3n2=0 , 求 的值. 4. 设 和 是方程 (x+2)2=9 的两个根， 求 的值. 5. 设12x2+12y2=25xy，求 的值. 6. 关于x的一元二次方程 （m+1)x2+3x+m2-3m-4=0一根为零，求m的值. 7. 已知x，y都是实数，且 求x,y的值. 小结： 对于某些

14、一元二次方程，用因式分解法来解， 较为简洁。在一元二次方程的一边是0，而另 一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因 式分解法来解。 作业：代数精编 P19 34、35、 教学目标 1、巩固、掌握解一元二次方程的四种解法； 2、提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透 换元思想； 3、培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法。 教学重点和难点 重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法。 难点：选择恰当的解法，要有一定的计算能力和技巧 。 一、复习提问、 1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、不完全的一元二次方程有哪几种？ 3、解一元二次方程有哪四种方法？ 二、讲授新课 同一个方程可能会有多种解法，我们应 该根据方程的结构选取恰当的解法。在解题 过程中应该根据算理，发挥计算技能，要有 毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可 能出现的错误。 例1、选择适当方法解下列方程 1、 2、(3x+2)2- 8(3x+2)+15=0 3、144x2= 61- 208x 4、2(x+1)2+3(x+1)(x-2)- 2(x- 2)2=0 5、(x+2)(x+3)(x-4)(