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1、* 1 随机信号通过线性系统的分析 * 2 内容安排 线性系统 1 随机信号通过线性系统 2 白噪声通过线性系统 3 随机序列通过线性系统 4 * 3 1 系统分类 确定系统 随机系统 n线性系统 n非线性系统 * 4 1 线性时不变系统 线性时不变系统 x(t)y(t ) 线性 时不变 * 5 1 信号通过线性时不变系统 线性时不变系统 h(t) x(t)y(t ) 时域 频域 系统的冲激响应 系统的传输函数 * 6 1 线性系统 卷积定理： 时域卷积定理：若给定两个时间函数 已知，则 频域卷积定理： * 7 1 线性系统 系统是线性的、时不变的、稳定且物理可实现( 因果性) 稳定：系统的冲
2、激响应是绝对可积 物理可实现：当t 0时，有h(t) = 0 * 8 线性系统 1 随机信号通过线性系统 2 白噪声通过线性系统 3 随机序列通过线性系统 4 * 9 2 随机信号通过线性系统 一个线性时不变系统可以完整地由它的冲激响应 (或传输函数)来表征。 理论上，根据输入随机信号的统计特性，就能确 定一个已知线性系统输出的统计特性。 一种特殊情况，当输入为高斯过程时输出也是高 斯过程。 * 10 2.1 随机信号通过线性系统的时域分析 线性系统输出的时域数字特征 ： 数学期望 均方值 自相关函数 互相关函数 线性系统输出的频域数字特征 ： 功率谱密度 * 11 2.1 时域分析均值 设线
3、性系统输入X(t)为平稳随机过程，其均值为 对于物理可实现系统 系统输出随机信号的均值是常数 * 12 2.1 时域分析均方值 由于X(t)为平稳随机过程， 对于物理可实现系统 * 13 2.1 时域分析自相关函数 当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变稳定 系统时，其输出随机信号也是宽平稳的。 对于物理可实现系统 * 14 2.1 时域分析自相关函数 若输入随机过程是严平稳的， 则系统的输出也将是严平稳的； 若输入是各态历经过程，则输 出也具有各态历经性。 * 15 2.1 时域分析互相关函数 若X(t)是平稳过程，则 * 16 2.1 时域分析互相关函数 输入X(t)是平稳过程 输出Y(t)
4、也是平稳过程 X(t)和Y(t)是联合平稳的 * 17 2.1 时域分析系统输入为随机过程与加性噪声 线性系统 h(t) X1(t) X2(t) X(t) Y(t) 假设随机过程X1(t)、X2(t)是各自平稳且联合平稳的， 它们之和X(t)通过线性系统后，产生对应的两个随机 过程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可证得 (1) Y1(t)、Y2(t)是各自平稳且联合平稳的； (2) X(t)和Y(t)也是联合平稳的。 * 18 2.1 时域分析系统输入为随机过程与加性噪声 若输入的两个平稳过程X1(t)和X2(t)是不相关的，则有 若输入的两个平稳随机过程的数学期望为零，则有 线性系统 h
5、(t) X1(t) X2(t) X(t) Y(t) * 19 2.2 随机信号通过线性系统的频域分析 频域分析功率谱密度 自关函数和功率谱密度的关系傅里叶变换对 (1) 线性系统输出的功率谱密度 (2) 系统输入与输出间互功率谱密度 * 20 2.2 频域分析系统输出的功率谱密度 输出自相关函数和功率谱密度的关系 由输入和输出的功率谱密度可确定系统的幅频特性 系统的功率 传输函数 * 21 2.2 频域分析系统输出的平均功率 系统输出的平均功率 * 22 2.2 频域分析系统输入与输出间互功率谱密度 系统输入与输出间的互相关函数 系统输入与输出间的互功率谱密度 由和互功率谱密度的测量可以确定线
6、性系统传输函数 * 23 2.2 频域分析系统输入为两个平稳随机信号 若输入是两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)之和，则有 输出功率谱密度 * 24 若输入的两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)是不相关的 输出功率谱密度 2.2 频域分析系统输入为两个平稳随机信号 * 25 2.2 频域分析系统输入为两个平稳随机信号 若输入的两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)的数学期望 均为0 输出功率谱密度 * 26 线性系统 1 随机信号通过线性系统 2 白噪声通过线性系统 3 随机序列通过线性系统 4 * 27 3 白噪声通过线性系统 白噪声是具有均匀功率谱密度的平稳随机过程
7、 系统输出功率谱密度 设线性系统的传输函数为，输入白噪声功率谱密度为 输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由 系统的幅频特性 决定；系统只允许与其频率特性 一致的频率分量通过，具有一定的选择性。 * 28 3 白噪声通过线性系统输出自相关函数 系统输出功率谱密度 系统输出自相关函数 系统输出平均功率 * 29 3 白噪声通过线性系统等效噪声带宽 在一般的线性系统中，通常用3dB带宽来表示 系统对输入确定信号频谱的选择性； 等效噪声带宽则用来描述系统对输入白噪声 功率谱的选择性。 它们都仅由系统本身的参数决定。 当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是 困难的。在实际中为了计算方
8、便，常常用一个幅频响应为 矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个 非常重要的概念等效噪声带宽，它被定义为理想系统 的带宽。 若在保持平均功率 不变的条件下，把实际系统 输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。 若等效的功率谱密度的高度为 则这个带宽就定义为 等效噪声带宽 * 30 3 白噪声通过线性系统等效噪声带宽 等效原则：平均功率相等 等效系统的功率谱密度 v计算实际系统的等效噪声带宽 H(0) |H(w)|max |H(w)| 0 w K |HI(w)| 0 w 功率谱密度为 白噪声激励 消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为 理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平
9、均功率为 等效噪声带宽 v 实际系统的等效噪声带宽为 对于一般的低通滤波器 的最大值出现在 0处，即 对于中心频率为 带通系统(如单调谐回路) 的最大值出现在处，即 3 随机过程的带宽 3 随机过程的带宽 信号的等效均方带宽： 定义为归一化功率谱密度的标准差。 3 随机过程的带宽 A 0 设白噪声的物理谱 输出的物理谱 输出的自相关函数 输出平均功率 输出相关系数 输出相关时间 3 白噪声通过理想低通系统 A 0 设白噪声的物理谱 输出的物理谱输出的物理谱 输出的自相关函数 输出平均功率 输出相关系数 输出相关时间 3 白噪声通过理想低通系统 A 0 设白噪声的物理谱 输出的物理谱输出的物理谱
10、 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率 输出相关系数 输出相关时间 3 白噪声通过理想低通系统 A 0 设白噪声的物理谱 输出的物理谱输出的物理谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数 输出相关时间 3 白噪声通过理想低通系统 A 0 设白噪声的物理谱 输出的物理谱输出的物理谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间 3 白噪声通过理想低通系统 A 0 设白噪声的物理谱 输出的物理谱输出的物理谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关
11、时间输出相关时间 该式表明：输出随机信号的相关时间与 系统的带宽成反比。这就是说，系统带 宽越宽，相关时间 越小，输出随机信 号随时间变化(起伏)越剧烈；反之，系 统带宽越窄，则越大，输出随机信号随 时间变化就越缓慢。 3 白噪声通过理想低通系统 A |H (w)| 0 系统的中心频率远大于系统的带宽 ，则称这样的系统为窄带系统。 3 白噪声通过理想带通系统 若输入白噪声的物理 ，则输出的物理谱为 3 白噪声通过理想带通系统 输出相关函数为 3 白噪声通过理想带通系统 输出自相关函数等于 与 的乘积，其中只包含 的成分。当满足时， 与相比，是的慢变化函数，而是 的快变化函数。可见是RY()的慢
12、变化部分是RY( )的包络。而 是RY()的快变化部分 理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统输出的相关函数与的乘积。 3 白噪声通过理想带通系统 3 白噪声通过理想带通系统 输出的相关系数为 带通系统输出的平均功率为 带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的， 因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致： 3 白噪声通过理想带通系统 高斯带通系统的频率响应为： 设输入白噪声的功率谱 系统输出功率谱为 3 白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为： 设输入白噪声的功率谱 输出相关函数 3 白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为： 设输入白噪声的功率谱
13、 输出相关函数 3 白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为： 设输入白噪声的功率谱 输出平均功率 相关系数 3 白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为： 设输入白噪声的功率谱 等效噪声带宽 相关时间 3 白噪声通过理想高斯线性系统 * 53 3 最佳线性滤波器 很多应用中需要在噪声背景中检测微弱 信号，接收机输出的信噪比越高，越容易估 计信号，所以通常以输出信噪比最大作为准 则来设计接收机。特别的当噪声是白噪声时 ，最佳滤波器称为匹配滤波器。 * 54 线性系统 1 随机信号通过线性系统 2 白噪声通过线性系统 3 随机序列通过线性系统 4 * 55 4 随机序列通
14、过线性系统 随机序列通过线性系统后统计特性改变 (1) 自相关函数 (2) 功率谱密度 随机序列通过两类系统 (1) 一阶FIR滤波器 （MA模型） q阶非递归滤波器 (2) 一阶递归滤波器（AR模型） p阶递归滤波器 * 56 4 随机序列通过一阶FIR滤波器 一阶FIR滤波器 当a=b=1/2时 ，平均器 b0 b1 (n ) 1 n n h(n ) 系统的冲击响应 是有限长度的 系统是稳定 的，因果的 。 系统的传递函数 取a=1,b=1 输入均值为零，相关函数为 RX(m) m 功率谱为 相关函数是有限 长度的，X(n)一 定是平稳的 * 58 4 随机序列通过q阶非递归滤波器 输出的
15、自相关函数 q阶非递归滤波器 （滑动平均 moving average 模型） 该滤波器也称为横向滤波器（ Transversal Filter)，滤波器一定是稳定 的和因果的（Stable and causal） 这是一个全 零滤波器 * 59 4 随机序列通过一阶递归滤波器 一阶递归滤波器 系统的传递函数 H() 系统稳定的条件：|a|1 均值：mx=Ey(n)=0 假定X(0)=0 自相关函数为 ： y(n)是非平稳的，但当|a|1时是渐近平稳的。 系统稳定的条 件和渐近平稳 的条件相同 * 62 4 随机序列通过一阶递归滤波器 一阶递归滤波器 这种滤波器具有“无限长”的记忆，因而对所有
16、的k值输出的 自相关函数 均不严格为零，即所有的输出时刻对应的 随机变量都是相关的。 然而，当样本之间的间隔k增加时，可以预料到自相关 函数将减小。这表明了随时间间隔的增加，相互依存性减 少（滤波器的记忆随时间增大而减小）。 * 63 4 随机序列通过p阶递归滤波器 p阶递归滤波器 （自回归 Autoregresive 模型 ） 这是一个全 极点滤波器 * 64 4 随机序列通过p阶递归滤波器 自相关函数线性方程组称为Yule-Walker方程 ，写成矩阵的形式 如果已知输出序列的自相关函数，可以通过求解 Yule-Walker方程 反过来计算出递归滤波器的系数a1ap ARMA模型 a0yn+a1yn-1+aNyn-N = b0xn+ b1xn-1+ +bNxn-M 系统的传递函数 系统稳定的条件：所 有极点应该在单位圆 之内，|pk|1，这也 是渐近平稳的条件。 功率谱 ： 关于模型的适应性 三
