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1、第二节 极 限 的 概 念 一、数列的极限一、数列的极限 二、函数的极限二、函数的极限 三、无穷小及其性质三、无穷小及其性质 四、极限的四则运算四、极限的四则运算 五、两个重要极限五、两个重要极限 六、无穷大量、无穷小比较六、无穷大量、无穷小比较 ( The Concept of Limits ) 一、数列的极限 割圆术：（刘徽） 1、概念的引入 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例 数列 定义在自然数集合的函数 整标函数 2、数列极限的定义 记作 可以无限接近 注意 不一定能到达 对于数列 ，当 （即无限增大） 时， （常数），则 a 称为 的极限， 二、函数的极限 概述：函数的
2、极限是指当 x 按某种规律变 化，f (x) 的变化趋势。 1、 时函数的极限 定义： 当自变量的绝对值| x |无限增大时， 如果函数 （常数），则称 a 为 在 时的极限，记作 或 例 例 单侧极限 2、 时函数的极限 定义： 当 ，若 ，则称 a 为 在 时的极限，记作 考察函数 f（x）= x2, 当x2 时的变化趋势 例 x 2. 52. 12. 012. 0012. 0001.2 f(x ) 6. 254. 414. 044. 0044. 0004.4 x 1. 51. 91. 991. 9991. 9999.2 f(x ) 2. 253. 613. 963. 9963. 9996
3、.4 3.61 1. 9 0 y x 2 4 2.1 4.41 注意： 例 3、单侧极限 解 左极限 右极限 左右极限存在且相等, 注 左右极限存在但不相等, 例 证 4、判别极限存在的法则 法则 1若在同一极限过程中，有下列关系 且 则 法则 2单调有界数列（函数）一定有极限 三、无穷小量及其性质 极限为零的变量称为无穷小。定义： 例如 无穷小是变量，不能与很小的数混淆;注意 定理1 判定定理： 定理3 有界变量或常数与无穷小的积是无穷小 定理4 有限个无穷小的和或积是无穷小 定理2 若 为无穷小， 则 也是无穷小 四、极限的四则运算 定理 证 由无穷小运算法则,得 推论1 推论2 例1 解 解 例2 (消去零因子法) 例3 解 (无穷小因子分出法)
