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1、材材 料料 力力 学学 * * 第六章 弯 曲 变 形 1 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 本章内容: 1 工程中的弯曲变形问题 2 挠曲线的微分方程 3 用积分法求弯曲变形 4 用叠加法求弯曲变形 5 简单静不定梁 6 提高弯曲刚度的一些措施 2 6. 1 工程中的弯曲变形问题 l 对梁除了有强度要求外，还有刚度要求。 u 大多数情况下，要求梁的变形不能过大； u 一些特殊情况下，要利用弯曲变形。 6. 2 挠曲线的微分方程 l 求解静不定问题需要计算梁的变形。 l 挠曲线梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时，是一条平面曲线。 3 6. 2 挠曲线的微分方程 1 基本概念 梁的轴线变形后的曲线
2、。 对称弯曲时，是一条平面曲线。 l 弯曲变 形的度量 u 挠度 横截面形 心沿y方向 的位移，用v表示 。 l 挠曲线 4 u 挠度 横截面形心沿y方向 的位移，用v表示。 u 转角 变形后，横截面相对其原来位置转过的角度。 用 表示。转角 以逆时针为正。 l 挠曲线方程 转角即为挠曲线在该点的切线与x轴的夹角。 5 2 挠曲线的微分方程 上一章中，已得到：忽略剪力对变形的影响时， 梁对称弯曲时的曲率为 u 由高等数学公 式 6 这就是挠曲线的微分方程。 7 l 挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下， u 方程中正负号的确定 8 l 挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下， u 方程中正负
3、号的确定 所以方程中 应取正号。 9 l 挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下， u 方程中正负号的确定方程中应取正号。 转角: 注意: 挠曲线的近似微分方程仅适用于小变形的 平面弯曲问题。 10 6. 3 用积分法求弯曲变形 挠曲线近似微分方程 积分一次，得 再积分一次，得 其中，C、D为积分常数 l 边界条件 ，由边界条件确定。 11 l 边界条件 几种典型的边界条件 u 简支梁 u 悬臂梁 l 连续条件 u 弯曲变形的对称点处 在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。 12 l 梁的刚度条件 l 连续条件 在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。 D点和C点 的连续条件 各为什么？ D
4、点： C点： u 中间铰处，挠度连续，转角不连续。 13 例 2 (书例6.3) 已知：简支梁 受集中力作用。 解： 求：转角和挠 曲线方程。 (1) 求支反力，列弯矩方程 u 支反力 u 弯矩方程 AC段： 14 (1) 求支反力，列弯矩方程 u 弯矩方程 AC段： CB段： (2) 列近似微分方程，积分 AC段： 15 (2) 列近似微分方程，积分 AC段： CB段： 16 (3) 确定积分常数 u 连续条件 u 边界条件时, 时, 代入相应的方程，得: 17 u 边界条件时, 时, 代入相应的方程，得: 将求得的积分常数代回方程，得: AC段： CB段： 18 将求得的积分常数代回方程，
5、得: AC段： CB段： (4) 求最大转角和最大挠度 19 (4) 求最大转角和最大挠度 u 最大转角 由图，最大转角 可能发生在A点 或B点。 u 最大挠度 20 u 最大挠度 经分析，最大挠 度发生在AC段。 令： 经讨论知，不论P力作用在何处，最大挠度总发 生在中点附近(或中点)。所以可近似地以中点的 挠度作为最大挠度。 21 本例中 (书例6.3) 书上 p. 222: 采取了一些措施 AC段： u 关于确定积分常数 CB段： (1) 列弯矩方程 措施1 各段的坐标原点为同一点：左端点。 措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。 22 u 关于确定积分常数 措施1 各段的坐标原
6、点为同一点：左端点。 措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。 措施3 有分布载荷时，需将其延长到梁的右端， 并在延长部分加上等值反向的分布载荷。 措施4 有集中力偶时，采用 m(xi-ai)0 的形式。 23 6. 4 用叠加法求弯曲变形 l 叠加法 在线弹性小变形的条件下，得到挠曲线近似 这是一个线性的常微分方程。 微分方程 在第四章中，证明了在小变形的条件下，弯矩与 外载荷成线性关系，可用叠加法求弯矩图。 设： 24 这是一个线性的常微分方程。 挠曲线近似微分方程 设： 则共同作用时： 25 则共同作用时： 即：共同作用下的挠度等于分别在M1(x) 、M2(x) 单独作用下的挠度的
7、代数和。 综合以上讨论得到： 在线弹性小变形的条件下，外载荷与挠度 (力与 位移)成线性关系，可用叠加法计算梁的挠度。 26 l 叠加法的基础 要求记住：1、2、4、6、8、10。 熟记简单载荷作用下的挠度和转角。 见教材 p. 185 表6.1 。 l 叠加法的两种类型 (1) 载荷叠加法 将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后， 进行叠加； (2) 变形叠加法 在内力不变的前提下，将梁分解(或刚化)为 几段，求出各段的变形，然后进行叠加。 27 例 1 已知： q , l , EI = 常数。 解： 求：vC , B。 分解为三个 简单载荷。 28 u 由p. 185 表6.1 中的10 u
8、 由表6.1 中的8 29 u 由p. 185表6.1 中的10 u 由表6.1 中的8 30 u 由表6.1 中的8 u 由表6.1 中的6 31 u 由表6.1 中的6 u 叠加 32 例 2 已知： q , l , EI = 常数。 解： 求：vC , C。 表中没有对应 的情况。 方法：凑成表中相 应的情况。 再分为两种载荷。 u 由p. 185 表 6.1 中的4 33 再分为两种载荷。 u 由p. 185 表 6.1 中的4 u 由p. 185表6.1 中的4 34 u 由p. 185 表 6.1 中的4 u 注意，变形 后 BC为直线。 35 所以 36 例 3 (书例6.5)
9、已知：P1 , P2 , a, l, EI = 常数。 解： 求：vC , B。 简化为外伸 梁如图。 将AC梁分为两 个部分。 简支梁在B处的 内力: 37 将AC梁分为两 个部分。 简支梁在B处的 内力: l 求 B u 由p. 185表6.1中的6u 由表6.1中的8 所以 Q不引起变形。 38 所以 l 求 vC u 由表6.1中的2 C点的位移由两部分组成： 由B截面转角引起的位移和由悬臂梁BC的变形 引起的位移。 39 l 求 vC u 由表6.1中的2 C点的位移由两部分组成： 由B截面转角引起的位移和由悬臂梁BC的变形 引起的位移。 40 例 4 已知：P, l, EI, EA
10、。 解： 求：vE 。 (1) 将刚架看成 是刚体 则AB相当于简 (2) 刚架变形 支梁。 l 思路 41 (1) 将刚架看成 是刚体 则AB相当于简 (2) 刚架变形 支梁。 l 求 vB (3) CD看成刚体 (4) BC看成刚体 42 l 求 vB (3) CD看 成刚体 (4) BC看 成刚体 l 具体计算 u 对BC，由表6.1中的2 u CD的压缩变形 43 l 具体计算 u 对BC，由表6.1中的2 u CD的压缩变形 u CD的弯曲变形，由表6.1中的1 所以， 44 u CD的弯曲变形，由表6.1中的1 所以， u 对简支梁AB, 又: 由表6.1中的8 45 u 对简支梁
11、AB, 又: 由表6.1中的8 46 6. 5 简单静不定梁 本节讨论简单静不定梁的求解。 l 例子 车床上被加工的 工件。 u计算简图如图 是一次静不定 问题。 l 基本概念 u 静定基 47 l 基本概念 u 静定基将静不定系统中的多余约束解除 后，得到的“静定基本系统”。 u 相当系 统 在静定基上加上外载荷以及多余约 束力，便得到受力和变形与静不定 系统完全相同的“相当系统”。 l 本例中 u 解除B处可 动支座约束， 得到静定基。 48 u 解除B处可动 支座约束，得 到静定基。 u 在静定基上 加上P和RB, 得 到相当系统。 P RB u 求B点挠度 用叠加法 49 u 在静定基
12、上 加上P和RB, 得 到相当系统。 P RB u 变形协调条件 u 求B点挠度 用叠加法 u 具体计算B点挠度 50 u 变形协调条件 u 具体计算B点挠度 由表6.1中的3 由表6.1中的2 代入变形协调条件，可解出 求出RB后，就可象求解静定梁一样求解了。51 u 说明 静定基不是唯一的，可有多种选法。 52 6. 6 提高弯曲刚度的一些措施 提高弯曲刚度的措施： 梁的挠曲线微分方程为 1 改善结构形式， 减小弯矩值 力不传到轴上， 而由箱体承受。 53 1 改善结构形式，减小弯矩值 l 缩小跨度或增加约束 梁受集中力作用 时，挠度与跨度 (l)的三次方成正 比。 2 选择合理的截 面形状 l 弹性模量与 抗弯刚度 54 l 弹性模量与抗弯刚度 n抗弯刚度EI除与截面形状有关外，还与弹 性模量有关。 n钢材的弹性模量较大，故用钢材制造的构 件有较大的抗弯刚度。 55 n钢材的弹性模量较大，故用钢材制造的构 件有较大的抗弯刚度。 n高强度合金钢与低碳钢的弹性模量接近， 故选用高强度合金钢可提高构件的强度， 但不能提高其刚度。 56 谢 谢 大 家 ! 57
