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1、框架 1、理论基础 2、向量自回归模型简介 3、向量自回归模型应用 弱平稳与交叉相关矩阵 考虑一个K维时间序列 如果它的一阶矩与二阶矩是不随时间变化的，则称序列 是弱平稳的。 特别的，弱平稳序列 的均值向量和协方差矩阵不 随时间变化。除了明确地说明为相反的情况，我们都假定 金融资产的收益序列是弱平稳的。 对一个弱平稳时间序列 ，我们定义它的均值向量 和协方差矩阵为 这里的期望是对 的联合分布对每个分量取期望。 均值 是由 的分量的无条件期望组成的 维向量。 协方差矩阵 是 矩阵。 的第 个对角线上的元素 是 的方差，而 的第 个元素是 与 的协方差。需要时我们记为 交叉相关矩阵（CCM） 令D
2、表示由 的标准差构成的 对角矩阵。换句话说 的同步或延迟为0的交叉相关矩阵定义为 更具体地， 的第 个元素为 它是 与 间的相关系数。 在时间序列分析中，这样的一个相关系数称为一个同 时或同步相关系数，因为它是两个序列在同一时刻t的相 关性。很容易看出 且 这样， 是具有单位对角元素的 对称矩阵。 多元时间序列分析中的一个重要的主题是分量序列之 间的引导-延迟关系（lead-lag）.为此，用交叉相关矩阵来 衡量时间序列之间线形依赖的强度。 的延迟 的交叉协 方差矩阵定义为 其中 是 的均值向量。因此， 是 的函数，而 不是时间指数 的函数。 的延迟 的交叉相关矩阵（CCM）定义为 同前面一样
3、，D是由单个序列 的标准差构成对角矩阵 。由定义 是 与 的相关系数 当 0时，此相关系数衡量了 对发生在 时刻以前 的 的线性依赖。因此，如果 且 0， 我们就说序列 在延迟 处引导着序列 。类似的， 衡量了 对 的线性依赖，并且如果 且 0，我们就说 在延迟 处引导着序列 。 方程（8.4） 还表明对角元素 仅仅为 的延迟 的自相关系数。 交叉相关矩阵的性质 1、对 有 。因为这两个相关系数衡量的 是 与 之间的不同的线性关系。因此 与 一般是不对称的。 2、由 以及弱平稳性假定 我们有 因为 为矩阵 的第 个元素，且这个等 式对 成立。所以，我们有 因此，与一元情形不同，对一般的向量时间
4、序列来说 ，当 时， 。因为 ，所以在实际 中，只考虑 时的交叉矩阵 就足够了。 线性依赖性 联合考虑一个弱平稳向量时间序列的交叉相关矩阵 包含下面的信息： 1）对角元素 是 的自相关函数； 2）非对角元素 衡量的是 与 之间的同步线性关 系。 3）对 ，非对角元素 衡量的是 对过去值 的线性依赖。 因此，如果对所有的 都有 ,则 并不线性 依赖于 序列的任何过去值 一般地，两个时间序列 与 之间的线性 关系可以概括如下： 1）如果对于所有的 ，都有 ， 则 与 没有线性关系。 2）如果 ，则 与 是同步相关的。 3）如果对于所有的 ， ，且 ，则 与 没有引导延迟关系。这时称这两个序列是分
5、离的。 4）如果对于所有的 ， ，但是对某些 ，有 ，则从 到 有一个单向 关系。在这种情形， 不依赖于 的任何过去值，但 是 却依赖于 的某些过去值。 5）如果对某些 ， ；而且对某些 ， ，则 与 之间具有一种反馈关系。 前面陈诉的条件都是充分条件。研究时间序列之间关 系的更加有效的方法是对序列构造一个多元模型，因为一 个恰当指定的模型同时考虑了时间序列间的序列相关性及 交叉相关性。 样本交叉相关矩阵 给定数据 其交叉协方差矩阵 可以通过下式估计 这里 为样本均值向量。交叉相关矩阵 估计为 其中 是分量序列的样本标准差构成的 对角矩阵 类似于一元情形，样本交叉相关矩阵 在各种假定之 下的渐
6、近性质都已经被研究了。这个估计是相合的，但是 对于有限样本是有偏的。对于资产收益率序列， 的有限 样本分布相当复杂，部分原因是由于条件异方差与高峰度 的出现。如果需要交叉相关的有限样本分布，建议用适当 的重新抽样方法得到分布的渐近估计。对于许多应用而言 ， 方差的一个粗糙估计就足够了。 多元混成检验 Hosking（1980，1981）与Li和McLeod（1981）已经把 一元的Ljung-Box统计量Q(m)推广到多元情形，对一个多 元序列，检验统计量的原假设为 ： 备择假设为 ：对某些 这样， 利用这个统计量来检验 没有自相关和交叉相关性。假 定检验统计量的形式为 其中T为样本容量，K为
7、 的维数 是矩阵A的 迹，即A的对角线元素的和。在原假设以及一些正则 条件下 渐进服从一个自由度为 的 分布。 统计量是对 的前m个交叉相关矩阵的一个联 合检验。如果原假设被拒绝，那么我们必须对序列建立一 个多元模型来研究分量序列之间的引导延迟关系。 向量自回归模型（VAR） 向量自回归(VAR ) 技术自Sim s (1980首先将其引入宏 观经济结构建模领域后, 近年来获得广泛应用 , 成为一种 定量分析宏观经济问题的有力工具. VAR 的核心是由一组 等式方程式构成的方程组, 方程中每一变量都被其自身的 滞后变量和方程组中其它变量以及它们的滞后变量所决定 . VAR 方法特别适用于对复杂
8、宏观经济现象无须提出先验 假设的情形VAR 本身不排除任何假设, 但可以使我们 通过信息的时间序列将这些假设区分出来, 向量自回归理论 向量自回归（VAR）常用于预测相互联系的时间序列系统 以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。 VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有 内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化 模型的需要。一个VAR(p) 模型的数学形式是： 这里 yt 是一个k 维的内生变量，xt 是一个 d 维的外生变 量。A1, ,Ap 和B是待估计的系数矩阵。t 是扰动向量 ，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关 及不与等式右边的变量相关。 由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不出现 同期性问题，并且OLS能得到一致估计。即使扰动向量 t 有同期相关，但OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同 的回归量，所以其与GLS是等价的。注意，由于任何序列相 关都可以通过增加更多的 yt 滞后项而被调整（absorbed）， 所以扰动项序列不相关的假设并不严格。 步骤 建立一个VAR模型涉及3个步骤： 1）利用检验统计量M(i)或Akaike信息准则来识别阶； 2）利用最小二乘法估计指定的模型（某些情况下，可以 通过消除统计上不显著的参数来重新估计这个模型）； 3）利用残差的 统计量来检验拟合模型的充分性。 LOGO 感谢您的关注
