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1、3基本不等式第1课时基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都是非负数，那么,当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的
2、几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,bR,那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，取）.证明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,当ab时，（a-b）20；当a=b时，（a-b）20.所以（a-b）20,即a2+b22ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD，连结AD、DB，易证RtACDRtDCB,则CD=CACB,即CD=.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.以上我们从几何图形中
3、进行了解释，获得了不等式（a0,b0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4.关于a2+b22ab和（a,b0）（1）两个不等式：a2+b22ab与成立的条件是不同的，前者要求a,b都是实数，后者则要求a,b都是正数.如：（-3）2+（-4）22（-3）（-4）是成立的，而是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.(2)两个不等式：a2+b22ab，都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b时取”这句话的含义是“a=b”时，a2+b22ab，中只有等号成立，反之，若a2+b22ab, 中的等号成立时,必有“a=b”，这一条件
4、至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值利用基本不等式，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，（1）若x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值;（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2.证明：x,y都为正数，(1)和式为定值S时，有， xyS2.上式当“x=y”时取“”号，因式当x=
5、y时，积xy有最大值S2；(2)积式xy为定值p时，有,x+y2.上式当“x=y”时取“”，因此，当x=y时，和x+y有最小值2.注意：（1）在应用均值不等式求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时号成立的条件一致时，“”才会取得，否则将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非负数，那么，当且仅当时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中称为a,b的算术平均数，称为
6、a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有，即若a0,b0,且a+b=M,M为定值，则ab，等号当且仅当a=b时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有，即若a0,b0,且ab=P,P为定值，则a+b,等号当且仅当a=b时成立.答案1. a=b2.(1)最大值 (2)最小值2思路方法技巧命题方向利用基本不等式比较代数式的大小例1已知0a1,0b0,b0,a+b2,a2+b22ab,四个数中最大数应为a+b或a2+b2.又0a1,0b1,a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a(a-1)+b(b-1)0,a2+b22),n=22-b2 (b0),
7、则m、n的大小关系是（）A.mnB.m2,a-20,又m=a+=(a-2)+ +2+2=4,当且仅当a-2=,即（a-2）2=1,又a-20，a-2=1,即a=3时取等号.m4.b0,b20,2-b22,22-b24,即nn.命题方向利用基本不等式求最值例2（1）若x0，求函数f(x)= +3x的最小值；（2）若x0,可得0,3x0.又因为3x=36为定值，且=3x(x0)时，x=2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x0，得0,3x0,-3x0,所以对 (-)+(-3x)可利用基本不等式求最值.解析（1）因为x0，所以0,3x0,所以f(x)= +3x2=2=x.当且仅当=
8、3x,即x=2时，等号成立.所以当x=2时，f(x)取得最小值x.（2）因为x0,所以-f(x)= (-)+(-3x)2=x,所以f(x)-x .当且仅当-=-3x,即x=-2时，等号成立.所以当x=-2时，f(x)取得最大值-x.说明利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解.变式应用2设x0，求y=2-x-的最大值.解析x0,x+2=4,y=2- (x+)2-4=-2.当且仅当x=，即x=2时等号成立，y取最大值-2.例3（1）已知x，求函数y=4x-2+的最大值；（2）已知0x,求函数y=
9、x(1-3x)的最大值.分析此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值.解析（1）因为x，所以4x-50,所以y=4x-2+=- (5-4x+)+3.因为5-4x+2=2,所以y-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立，所以当x=1时，函数y取得最大值1.（2）因为0x0,所以y=x (1-3x)= 3x(1-3x) 2=.当且仅当3x=1-3x,即x=时等号成立，所以当x=时，函数y取得最大值.说明解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x-2拼凑成4x-5.(2)中将x拼凑成3x,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值.变式应用3求函数y=+x
10、(x3)的最小值.解析y=+x=+(x-3)+3,x3,x-30,+(x-3)2=2,当且仅当=x-3,即x-3=1,x=4时，等号成立.当x=4时，函数y=+x(x3)取最小值2+3=5.命题方向利用基本不等式解决有关实际应用问题例4某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（500），则S=2500.当且仅当t=，即t=10时取等号，此时x=60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多.说明1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大
11、值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值；（4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值.变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q (x0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150”与“年广告费的50”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P（万元）表示为年广告费x(万元)的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解析（1）P=(32Q+3)150x50%-(32Q+3)-x=-+49.5(x0)；（2）P- ()+49.5-24+49.5=41.5,当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答例5已知a0,b0,且+=1,求a+b的最小值.误解a0,b0+2=6,61，ab36.a+b2x.a+b的最小值为x.辨析上述
