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1、弹性力学 Theory of Elasticity,陶嗣巍 北京吉利大学汽车学院,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,外力、内力与应力,Chapter 3.1,外 力,外力、内力与应力,Chapter 3.1,外 力 体 力 即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。 面 力 即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水压力等。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,定 义 式 体力：,外力、内力与应力,Chapter 3.1,定 义 式,面
2、力：,外力、内力与应力,Chapter 3.1,内 力 物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。 内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是为了精确描述内力而引进的。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应 力 应力矢量,外力、内力与应力,Chapter 3.1,若取 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。,应力矢量：,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力的定
3、义,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而且和面元法线方向 有关。,外力、内力与应力,作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力矢量和 面力矢量的数学定义和物理量纲都相同。,区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,正六面体微元: 外法线与坐标轴同向的三个面称为正面，记为dSi，它们的
4、单位法向矢量为iei， ei是沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力分量的正负号规定,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力分量的个数,外力、内力与应力,Chapter 3.1,外力、内力与应力,Chapter 3.1,把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得： 即：,外力、内力与应力,Chapter 3.1,共出现九个应力分量：,外力、内力与应力,Chapter 3.1,第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。 当ij时，
5、应力分量垂直于面元，称为正应力。当ij 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,方向规定：正面上与坐标轴同向或负面上与坐标轴反向为正。亦即 “受拉为正，受压为负”。,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.2,柯西公式,四面体OABC，由三个负面和一个法向矢量为 的斜截面组成，其中 为方向的方向余弦。,斜截面上的应力,Chapter 3.2,斜截面上的应力,柯西公式,Chapter 3.2,柯西公式,n,柯西公式,Chapter 3.2,的面积为dS,
6、 则三个负面的面积分别为,斜截面的面元矢量为：,柯西公式,Chapter 3.2,四面体的体积为： dh为顶点 O 到斜面的垂直距离,n,柯西公式,Chapter 3.2,四面体上作用力的平衡条件是：,第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以略去。可得：,柯西公式,Chapter 3.2,根据商判则，知 必是一个二阶张量，于是定义应力张量,柯西公式,这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。,Chapter 3.2,柯西公式,Chapter 3.2,把斜面应力沿坐标轴方向分解： 则柯西公式的分量表达式为,柯西公式,Chapter 3.2,柯西公式应用计算斜截面上的应力 斜面上应力的大小,
7、柯西公式,Chapter 3.2,柯西公式应用计算斜截面上的应力 斜面上应力的方向 即,柯西公式,Chapter 3.2,斜面正应力 斜面剪应力,柯西公式应用计算斜截面上的应力,柯西公式,Chapter 3.2,若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应力场的力边界条件： 其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为,柯西公式应用给定应力边界条件,柯西公式,应力理论,外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,概 念 切应力为零的微分面称为主微分平面，简
8、称主平面。 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 主平面上的正应力称为主应力。,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,主应力和应力不变量 假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上的总应力 pn ，亦即n方向截面上剪应力为零。 则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,对斜面BCD运用柯西公式，可得： 由剪应力互等定理可得：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,由(1)和(2)式得：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,由于 ，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系
9、数行列式为零：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,展开行列式得到应力状态 的特征方程： 式中,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根： 1，2，3，即为该点的三个主应力。,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,若将一个根代入如下方程组： 可以顺次求出相应于1，2和3的三个主方向：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应力张量的第一、第二和第三不变量。它们是相互独立的。,通常主应力按其代数值的大小排列，称为第一主应
10、力1、第二主应力2和第三主应力3 ，且,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,主应力的性质,不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。 实数性 即特征方程的根永远是实数。,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,极值性 主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。 在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,正交性 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交； 特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任选两个相互正交的方向作为主方向； 特征方程出
11、现三重根时，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向。,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，沿每点主方向的直线称为该点的主轴。 处处与主方向相切的曲线称为主应力迹线。 以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为主坐标系。 在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型,主应力坐标系,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,在主坐标系中，主不变量表示为,主应力坐标系,例：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：MPa） 试求主应力分量及主方向余弦。 解：此点的应力状态张量的矩阵形式为：,主应力 & 应力不变量,首先，求出应力不变量为 于是，特征方程
12、为,主应力 & 应力不变量,求解此特征方程，得三个主应力分别为,主应力 & 应力不变量,将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，并利用关系式 ，联立求解即可得到三个主方向的方向余弦。例如为求1的方向余弦，l1、m1、n1，将1214.6代入上式的前两式得,主应力 & 应力不变量,主应力 & 应力不变量,同样可得其余两组方向余弦为： 主应力： 主方向方向余弦：,主应力 & 应力不变量,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,应力偏量 将应力张量分解成球形张量和偏斜张量 其中球形应力张量：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,应力偏量,应力理论,Chapter 3,外力、内
13、力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,最大剪应力,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,最大剪应力 在主应力坐标系中： 约束条件：,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,引进拉格朗日乘子，求泛函 的极值。 相应极值条件为 于是，可得如下方程组,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,可解出三个法线方向 ，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力。,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,剪应力的三个极值：,方向：与对应的两
14、个主应力夹角为 45 。,O,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,正八面体,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,八面体剪应力,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,八面体剪应力 八面体正应力0为,由 可得八面体剪应力0 为,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯西公式与应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.5,平衡微分方程,笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 考虑物体中A(x,y,z)点，其应力状态用直角坐标表示如下(如图标注) 而临近一点B(x+dx,y+dy,z+dz)的应力状态也用直角坐
15、标示出，根据应力为位置函数的概念，将应力在附近展开，保留一级微量连同应计入的增量可得：,Chapter 3.5,平衡微分方程,笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 应力场：,O,Chapter 3.5,平衡微分方程,其中X,Y,Z表示单位体积力(与坐标轴同向为正),图示正六面体代表通过A(x,y,z)及B(x+dx,y+dy,z+dz)两个点的一个微体，A,B点各有三个正交面。,A,B,Chapter 3.5,平衡微分方程,在前微面上 在右微面上 在上微面上,见下页图标注,Chapter 3.5,平衡微分方程,Chapter 3.5,平衡微分方程,考虑微单元体的力的平衡条件，在x方向的合力为零。,O,
16、Chapter 3.5,平衡微分方程,化简后得,此式即为x方向的平衡方程式,Chapter 3.5,平衡微分方程,同理，得到 y 方向和 z 方向的平衡方程式分别为,Chapter 3.5,平衡微分方程,应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下：,用指标符号可缩写成,Chapter 3.5,平衡微分方程,对于弹性动力学问题，可把惯性力作为体力，于是由平衡方程导出运动微分方程,其中，为材料密度，ui为位移分量，t为时间。,剪应力互等定理,剪应力互等定理,剪应力互等定理,Chapter 3.5,平衡微分方程,剪应力互等定理,如图所示微正六面体，对通过形心P且沿z轴方向的轴取矩，由力矩平衡条件得,化简,注：凡作用线通过P点或方向与z轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零。,Chapter 3.5,平衡微分方程,同理对沿x和y方向的形心轴取矩可得,于是导得,称为剪应力互等定理，或称应力张量
