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1、教材研读 考点突破 栏目索引 课标版 第一节 集合 教材研读 考点突破 栏目索引 1.元素与集合 (1)集合元素的特性: 确定性 、 互异性 、无序性. (2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作 aA ;若b不属于集合 A,记作 bA . 教材研读 (3)集合的表示方法: 列举法 、 描述法 、图示法. (4)常见数集及其符号表示 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号 N N *或N + Z Q R 教材研读 考点突破 栏目索引 2.集合间的基本关系 文字语言记法 集合 间的 基本 关系 子集集合A中任意一个元素都是集合 B中的元素 A B 或 B A 真子集集合A是集合B的子集
2、,并且B中至 少有一个元素不属于A A B 或 B A 相等集合A中的每一个元素都是集合 B中的元素,集合B中的每一个元 素也都是集合A中的元素 A B且B A A=B 注意空集是 任何 集合的子集A 空集是 任何非空 集合的真 子集 B(其中B ) 教材研读 考点突破 栏目索引 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符号 表示 AB AB 若全集为U,则集合A的补集 为 UA 图形 表示 意义AB= x|xA,或xB AB= x|xA,且xB UA= x|xU,且 xA 教材研读 考点突破 栏目索引 4.集合的运算性质 (1)并集的性质: A =A;AA=A;AB=BA;AB=
3、A B A . (2)交集的性质: A = ;AA=A;AB=BA;AB=A A B . (3)补集的性质: A(UA)= U ;A(UA)= ;U(UA)= A . 教材研读 考点突破 栏目索引 判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1. () (2)若x2,1=0,1,则x=0,1. () (3)x|x1=t|t1. () (4)对于任意两个集合A,B,(AB) (AB)恒成立. () (5)若AB=AC,则B=C. () (6)含有n个元素的集合有2n个真子集. () 教材研读 考点突破 栏目索引 1.若集合A=
4、xN|x ,a=2 ,则下面结论中正确的是 ( ) A.a A B.a A C.aA D.aA 答案 D 因为a=2 N,A=xN|x ,所以aA. 2.(2016课标全国,1,5分)设集合A=1,3,5,7,B=x|2x5,则AB= ( ) A.1,3 B.3,5 C.5,7 D.1,7 答案 B A=1,3,5,7,B=x|2x5,AB=3,5,故选B. 教材研读 考点突破 栏目索引 3.(2016课标全国,1,5分)设集合A=0,2,4,6,8,10,B=4,8,则AB= ( ) A.4,8 B.0,2,6 C.0,2,6,10 D.0,2,4,6,8,10 答案 C 由补集定义知AB=
5、0,2,6,10,故选C. 4.设集合A=2,3,4,B=2,4,6,若xA且xB,则x= ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B 因为xA,故x=2或3或4,又因为xB,故x2且x4且x6,故 x=3. 教材研读 考点突破 栏目索引 5.若全集U=0,1,2,3,且UA=2,则集合A的真子集的个数为 . 答案 7 解析 U=0,1,2,3,UA=2, A=0,1,3, 集合A的真子集的个数为23-1=7. 教材研读 考点突破 栏目索引 考点突破 考点一 集合的基本概念 典例1 (1)设集合A=1,2,3,B=4,5,M=x|x=a+b,aA,bB,则M中的 元素个数为 ( ) A.
6、3 B.4 C.5 D.6 (2)若集合A=xR|ax2-3x+2=0中只有一个元素,则a=( ) A. B. C.0 D.0或 (3)已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为 . 教材研读 考点突破 栏目索引 答案 (1)B (2)D (3)- 解析 (1)因为集合M中的元素x=a+b,aA,bB,所以当b=4,a=1,2,3时,x =5,6,7. 当b=5,a=1,2,3时,x=6,7,8. 由集合元素的互异性,可知x=5,6,7,8. 即M=5,6,7,8,共有4个元素. 教材研读 考点突破 栏目索引 (2)当a=0时,显然成立;当a0时,=(-3)2-8a=0,即a= . (
7、3)因为3A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3, 此时集合A中有重复元素3, 所以m=1不符合题意,舍去; 当2m2+m=3时, 解得m=- 或m=1(舍去), 此时m+2= 3符合题意. 所以m=- . 教材研读 考点突破 栏目索引 易错警示 1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母 的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 2.对于集合相等,首先要分析集合中的已知元素与另一个集合中哪一个 元素相等,当不能确定时,要分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意 检验集合中的元素是否满足互异性. 教材研读
8、考点突破 栏目索引 1-1 已知集合A=1,2,4,则集合B=(x,y)|xA,yA中元素的个数为 ( ) A.3 B.6 C.8 D.9 答案 D 集合B中的元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2), (4,4),共9个. 1-2 设a,bR,集合1,a+b,a= ,则b-a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案 C 因为1,a+b,a= ,a0, 所以a+b=0,则 =-1, 所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 教材研读 考点突破 栏目索引 1-3 已知P=x|2xk,xN,若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围
9、为 . 答案 (5,6 解析 因为P中恰有3个元素,所以P=3,4,5,故k的取值范围为5k6. 教材研读 考点突破 栏目索引 考点二 集合的基本关系 典例2 (1)已知集合A=x|y= ,xR,B=x|x=m2,mA,则 ( ) A.A B B.B A C.A B D.B A (2)已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0x5,xN,则满足条件A C B的集合C的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (3)已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若B A,则实数m的 取值范围为 . 答案 (1)B (2)D (3)(-,3 解析 (1)由题意知A=x|-1x
10、1, B=x|x=m2,mA=x|0x1,B A,故选B. 教材研读 考点突破 栏目索引 (2)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,A=1,2. 由题意知B=1,2,3,4, 满足条件的C为1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4. (3)B A, 若B= ,则2m-1m+1,此时m2. 若B ,则 解得2m3. 由、可得,实数m的取值范围为(-,3. 教材研读 考点突破 栏目索引 方法技巧 (1)解答集合间的关系问题的一般步骤:先正确理解两个集合的含义,认 清集合元素的属性,再依据元素的不同属性采用不同的方法进行解答: 若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解; 若给定的集合是点集,
11、则用数形结合法求解; 若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解. 教材研读 考点突破 栏目索引 2-1 若集合A=x|x0,且AB=B,则集合B可能是 ( ) A.1,2 B.x|x1 C.-1,0,1 D.R 答案 A 因为AB=B,所以B A,结合选项,因为1,2 A,所以选A. 教材研读 考点突破 栏目索引 变式2-2 在本例(3)中,若将集合A更换为A=x|x5,求m的取值 范围. 解析 B A, 当B= 时,2m-1m+1,m4. 综上可知,实数m的取值范围为(-,2)(4,+). 教材研读 考点突破 栏目索引 变式2-3 若将本例(3)中的集合A,B分别更换为A=1,2,B=x|
12、x2+mx+1= 0,求m的取值范围. 解析 若B= ,则=m2-40,解得-2m2; 若B=1,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B=1,符合题意; 若B=2,则22+2m+1=0,解得m=- ,此时B= ,不合题意; 若B=1,2,显然不成立. 综上所述,实数m的取值范围为-2,2). 教材研读 考点突破 栏目索引 考点三 集合的基本运算 典例3 (1)(2016课标全国,1,5分)已知集合A=1,2,3,B=x|x29,则A B= ( ) A.-2,-1,0,1,2,3 B.-2,-1,0,1,2 C.1,2,3 D.1,2 (2)(2015课标,1,5分)已知集合A=x|-1x2,
13、B=x|0x3,则AB= ( ) A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3) (3)(2015课标,1,5分)已知集合A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14, 则集合AB中元素的个数为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 教材研读 考点突破 栏目索引 (4)(2016浙江,1,5分)已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合P=1,3,5,Q=1,2,4, 则(UP)Q= ( ) A.1 B.3,5 C.1,2,4,6 D.1,2,3,4,5 答案 (1)D (2)A (3)D (4)C 解析 (1)由已知得B=x|-3x3,A=1,2,3,AB=1
14、,2,故选D. (2)因为A=(-1,2),B=(0,3),所以AB=(-1,3),故选A. (3)由已知得A=2,5,8,11,14,17,又B=6,8,10,12,14,所以AB=8,1 4.故选D. (4)U=1,2,3,4,5,6,P=1,3,5, UP=2,4,6,Q=1,2,4,(UP)Q=1,2,4,6. 教材研读 考点突破 栏目索引 规律总结 解决集合运算问题需注意以下三点: (1)看元素组成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是 解决集合运算问题的前提. (2)看集合能否化简,集合能化简的先化简,再研究其关系并进行运算,可 使问题简单明了,易于求解. (3)注意数形结合思想的应用. 教材研读 考点突破 栏目索引 3-1 (2016河南洛阳模拟)设全集U=R,集合A=x|0x2,B=x|x1,则 图中阴影部分表示的集合为 ( ) A.x|x1 B.x|1x2 C.x|0x1 D.x|x1 答案 B 解法一:题图中阴影部分表示集合(UB)A,(UB)A=x|x 1x|0x2=x|1x2.故选B.
