《高三数学一轮复习7.4第七章 不等式 第四节 基本不等式的应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习7.4第七章 不等式 第四节 基本不等式的应用课件（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 基本不等式的应用(江苏卷5年0考),考点一 基本不等式的综合应用 【典例】(1)(2016江苏高考)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是_.,(2)已知两条直线l1:y=a和l2: (其中a0),l1与 函数y 的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数 y 的图象从左至右相交于点C,D,记线段AC和BD在x 轴上的投影长度分别为m,n.当a变化时, 的最小值为 _.,(3)(2019镇江模拟)正数a,b满足 若不等式 a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值 范围是_. 世纪金榜导学号,【解析】(1
2、)由sin A=2sin Bsin C及sin A=sin (B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C, 可得sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 在此等式两边同时除以cos Bcos C 可得tan B+tan C=2tan Btan C,又tan A=-tan (-A)=-tan (B+C)= 所以tan Atan Btan C= tan Btan C, 由tan B+tan C=2tan Btan C可得tan Atan Btan C =,令t=tan Btan C,由A,B,C是锐角可得tan A0, tan B0,tan C0, 所以ta
3、n A= 01-tan Btan C1. tan Atan Btan C=,由t1得 因此tan Atan Btan C的最小值为8,当且仅当t=2时取 等号,此时tan B+tan C=4,tan Btan C=2,解得tan A=4,tan B=2+ ,tan C=2- ,或tan A=4, tan B=2- ,tan C=2+ ,此时A,B,C均为锐角. 答案:8,(2)如图. 设A(x1,a),B(x2,a), 则x1=4-a,x2=4a,x3= x4=,线段AC和BD在x轴上的投影的长度分别为 m=|x1-x3|= , n=|x2-x4|= 所以,=4a = = = =211=2 0
4、48, 当且仅当2a+1= ,即a= 时,等号成立. 答案:2 048,(3)因为a0,b0, 所以a+b=(a+b) =10+ 10+2 =16, 当且仅当 即a=4,b=12时,等号成立. 由题意,得16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立, 而x2-4x-2=(x-2)2-6, 所以x2-4x-2的最小值为-6, 所以-6-m,即m6. 答案:m6(或6,+),【规律方法】与其他知识交汇的最值问题的解题策略 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是: (1)先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问
5、题转化为用基本不等式求解,这是难点.,(2)用基本不等式求最值,要有用基本不等式求最值的意识. (3)检验.检验等号是否成立,完成后续问题.,【对点训练】 1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 2ccos B=2a+b,若ABC的面积为 c,则ab的最小值为 _. 世纪金榜导学号,【解析】由正弦定理及2ccos B=2a+b,得2sin Ccos B =2sin A+sin B,因为A+B+C=,所以sin A=sin(B+C), 则2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,即2sin Bcos C +sin B=0,又00,则cos C=- , 因为0C,所
6、以C= ,所以sin C= ,则ABC的面积为,absin C= ab= c,即c=3ab,结合c2=a2+b2- 2abcos C,可得a2+b2+ab=9a2b2,因为a2+b22ab,当且 仅当a=b时取等号,所以2ab+ab9a2b2,即ab , 故ab的最小值是 . 答案:,2.如果函数f(x)= (m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0) 在区间 上单调递减,那么mn的最大值为_.,【解析】令f(x)=(m-2)x+n-8=0得x= .当m2时, 抛物线的对称轴为x= ,据题意, 2,即 2m+n12. 因为 所以mn18,由2m+n=12且 2m=n得m=3,n=6.当m2时
7、,抛物线开口向下,据题意得:,即2n+m18,因为 所以mn ,由2n+m=18且2n=m得m=9(舍).要使得 mn取最大值,应有2n+m=18(m8),所以mn= (18-2n)n(18-28)8=16.所以最大值为18. 答案:18,3.若对任意x0, 恒成立,则实数a的取值 范围为_.,【解析】因为a = 对任意x0恒成 立.设u= ,所以只需a 恒成立即可.因为x0, 所以u= 2+3=5(当且仅当x=1时取等号).由 u5,知0 ,所以a . 答案:,4.设函数f(x)=ax2+bx+6(a0).世纪金榜导学号 (1)若不等式f(x)0,b0,且f(2)=8,求 的最小值.,【解析
8、】(1)f(x)2xax2+(b-2)x+60, 因为不等式f(x)2x的解集为(-,-2)(3,+), 所以方程ax2+(b-2)x+6=0的两根为-2和3,且a0. 所以 解得,所以a,b的值分别为-1和3.,(2)由f(2)=8,得4a+2b+6=8,即2a+b=1, 因为a0,b0,所以 所以 当且仅当 即b=2a时,取等号.,由 得 所以当,考点二 基本不等式在实际问题中的应用 【典例】(1)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长 方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧 面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 _(单位:元).,(2)如图,建立平面直角坐标系
9、xOy,x轴在地平面上,y轴 垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx- (1+k2)x2(k0) 表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮 弹落地点的横坐标.,求炮的最大射程; 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 世纪金榜导学号,【解析】(1)设容器底长为x m,宽为y m, 则xy=4,所以y= , 则总造价为S=20xy+2(x+y)110 =80+ +20x =20 (x+ )+80,x(0,+).,所以S202 +80=160, 当且仅当x=
10、, 即x=2时,等号成立,所以最低总造价是160元. 答案:160,(2)令y=0,得kx- (1+k2)x2=0. 由实际意义和题设条件知x0,k0, 故x= =10, 当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.,若炮弹可以击中目标, 则存在k0,a0,使3.2=ka- (1+k2)a2成立, 故关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根, 所以有,即a6. 所以当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.,【互动探究】 1.若本例(1)中容器底面长不小于2.5 m,则该容器的最低总造价是_元.,【解析】由本例(1)的解答可知:总造价S=20 +80 (x2.5), 因为S=
11、20 =20 0, 所以S=20 +80在2.5,+)上单调递增,所以,当x=2.5 m时,Smin=20 +80 =162(元). 答案:162,2.若本例(1)中容器底面长不大于1.5 m,则该容器的最低总造价是_元.(精确到十分位).,【解析】由本例(1)的解答可知: 总造价S=20 +80,(0x1.5) 因为S=20 =20 0, 所以S=20 +80在(0,1.5上单调递减,所以,当x=1.5时, Smin=20 +80163.3. 答案:163.3,【规律方法】利用基本不等式求解实际问题的方法步骤 (1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值.,(2)
12、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.,(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解. 提醒:利用基本不等式求最值一定要验证等号是否成立.,【对点训练】 1.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_千米处.,【解析】设x为仓库与车站距离,由已知y1= y2=0.8x. 费用之和y=y1+y2=0.8x+ 2 =
13、8, 当且仅当0.8x= ,即x=5时“=”成立. 答案:5,2.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料,甲工厂承担了某种材料的生产,并以x千克/小时的速度匀速生产(为保证质量要求1x10),每小时可消耗A材料kx2+9千克,已知每小时生产1千克该产品时,消耗A材料10千克.(1)设生产m千克该产品,消耗A材料y千克,试把y表示为x的函数.,(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少,工厂应选取何种生产速度?并求消耗的A材料最少为多少? 世纪金榜导学号,【解析】(1)由题意,得k+9=10,即k=1,生产m千克该产 品需要的时间是 , 所以y= (kx2+9)= ,x1,10
14、.,(2)由(1)知,生产1 000千克该产品消耗的A材料为 y=1 000 1 0002 =6 000, 当且仅当x= ,即x=3时,等号成立,且31,10,故工 厂应选取3千克/小时的生产速度,消耗的A材料最少,最 少为6 000千克.,【变式备选】某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,若使总造价最低,则侧面的长度为_米.,【解析】由题意可得,总造价 y= +5 800 =900 +5 800(0x5), 则y=900 +5 800,9002 +5 800=13 000(元),当且仅当 x= ,即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造 价最低. 答案:4,
