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1、 4.2 晶格振动的量子化声子 一. 简谐近似和简正坐标 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 一. 简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。 本节采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82） N个原子组成的晶体，平衡位置为 ，偏离平衡位置 的位移矢量为： 所以原子的位置表示为： 势能在平衡位置展开： 只保留 的二次项称作简谐近似。N个原子体系的动能函数 为： 系统总能量 ，由于势能项中包 含有依赖于两原子坐标的交叉项，这给理论表述带来了困难， 同时，由于 的变化
2、可以是连续的，所以总能量也是连续 的。这是经典力学描述的结果。 为使系统的势能和动能表示更加简化，现引入简正坐标： 引入简正坐标后，使系统的能量表达更为简洁，没有了交叉项： 系统的拉格朗日函数为： 哈密顿量： 经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为我们所熟知 的经典谐振子哈密顿量之和，也就是说在新的坐标系里，系 统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即用简正坐标 来描述独立的简谐振动。 应用正则方程得到： 任意简正坐标的解： 正则动量： 系统振动由 3N个独立的谐振子来表述 晶体中原子间的耦合振动，在简谐近似下也可以用 3nN 个简正坐标下的谐振子运动来描述。由于简正坐 标 Qi 是各原
3、子位移量的某种线性组合，所以一个简正 振动并不是表示一个原子的振动，而是整个晶体所有 原子都参与的运动。 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共 同振动常被称作晶体的一个振动模。 N个原胞，每个原胞 n个原子的晶体总共有 3nN种 振动模。或说可以用3nN种简谐振子的运动来表述。 引入简正坐标后，我们可以方便地转入用量子力学 的观点来理解晶格振动问题，这才是最为重要的。 二. 晶格振动的量子化： 经坐标变换后写出体系经典哈密顿量可以直接作为量子力 学的出发点，写出波动方程： 显然方程表示一系列相互独立的简谐振子，对于其中每一个 简正坐标都有： 谐振子的解是大家熟知的： 而系统本征态的能量
4、为： 通过经典力学，我们已经获得晶格振动频率的表达式。 独立谐振子能量量子化 是量子力学的结论。 显然，一旦找到了简正坐标，就可以直接过渡到量子理 论。每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简 正坐标为宗量的谐振子波函数，其能量本征值是量子化的， 所以把量子力学的基本结论应用到晶格振动上才揭示出了晶 格振动的最基本的特征。 从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的 能量是量子化的，每个振动模式能量的最小单位 被称为 声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重要的结论。 在经典理论中，势能函数是连续的，量子理论修正了这 个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描 述
5、的观点，因而按经典力学求出的色散关系是正确的，量子 理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子 化的规定。 声子概念引入后给我们处理具有强相 互作用的原子集体晶体带来了极大方 便，而且生动地反映了晶格振动能量量子 化的特点。这种高度抽象化出概念是固体 物理的一大特征，他们被称作元激发， Elementary excitation 声子是固体中最重要的元激发。 三. 声子： 声子是晶格振动的能量量子 。 声子具有能量 ，也具有准动量 ，它的行为类似 于电子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是 有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激 发单元，它不能脱离固体而单独存在，
6、它并不是一种真实 的粒子。我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实 体的概念称为准粒子。所以，声子是一种准粒子。 而光子是一种真实粒子，它可以在真空中存在。 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子 组成的三维晶体，有 3N 种格波，即有 3N种声子。当一种 振动模式处于其能量本征态时，称这种振动模有nj 个声子。 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为单 元交换能量，若电子交给晶格 的能量，称为发射 一 个声子；若电子从晶格获得 的能量，则称为吸收一 个声子。 声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子） 相互作用时，声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以 湮灭。其作
7、用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 对于由N个原子组成的晶体，有3N个振动模式，即有3N种 不同的声子。因此，晶格振动的总能量为： 引入声子概念后，对于由强相互作用的原子的集体运动状 态晶格振动的每一个格波，便可看作是由数目为 能量 为 的理想声子组成，而整个系统则是由众多声子组成的 声子气体。引入声子的概念不仅能生动地反映出晶格振动能 量量子化的特点，而且在处理与晶格振动有关的问题时，可 以更加方便和形象。 例如：处理晶格振动对电子的散射时，便可以当作电子 与声子的碰撞来处理。声子的能量是 ，动量是 。 又例如：热传导可以看成是声子的扩散；热阻是由于声 子被散射等等。使许多复杂的物理问题变得如
8、此形象和便于 处理是引入声子概念的最大好处。 但它的动量不是真实动量，因为当波矢增加一个倒格矢 量时，不会引起声子频率和原子位移的改变。 即从物理上看，他们是等价的，这是晶体结构周期性的反映。 但在处理声子同声子、声子同其它粒子之间的相互作用时， 又具有一定的动量性质，所以叫做“准动量”。 声子气体不受 Pauli 原理的限制，粒子数目不守恒，故 属于波色子系统，服从 Bose-Einstein 统计，当系统处于热 平衡状态时，频率为i 的格波的平均声子数由波色统计给 出： 其平均能量： 公式第一项是T=0K 时的零点能。 电子声子对比 + + 晶体中原子的热运动 使用牛顿力学处理 在简谐近似下， 任何运动都可以 看成是3nN种简 谐平面波的线性 叠加。 使用拉格朗日方程处理 在简谐近似下，原 子间的耦合运动也 可以用 3nN 个简正 坐标下的独立谐振 子运动来描述。 量子力学处理 在简谐近似下， 可以当作是3nN 种无相互作用的 声子的运动。 给出原子集体运动 的方式，确定色散 关系和态密度。 揭示了原子热运 动的本质表现： 能量量子化。
