线性代数的应用.

《线性代数的应用.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数的应用.（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、线性代数的应用 西安理工大学应用数学系 内容提纲 n本篇通过三个具体的应用实例介绍线性 代数在工程技术、经济管理等领域中的 应用，并给出利用Matlab软件来求解这 些具体问题的方法。 药方配制问题 交通流量分析 人口迁徙问题 一、药方配制问题 n通过中成药药方配制问题，达到理解向 量组的线性相关性、最大线性无关组向 量的线性表示以及向量空间等线性代数 的知识 问题：某中药厂用9种中草药（A-I）， 根据不同的比例配制成了7种特效药，各 用量成分见表1（单位：克） 1号 成药 2号 成药 3号 成药 4号 成药 5号 成药 6号 成药 7号 成药 A10214122038100 B120122

2、5356055 C531105140 D79255154735 E012255336 F255355355550 G94172523925 H651610103510 I821202620 一、药方配制问题 n（1）某医院要购买这7种特效药，但药 厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问 能否用其他特效药配制出这两种脱销的 药品。 n（2）现在该医院想用这7种草药配制三 种新的特效药，表2给出了三种新的特效 药的成分，请问能否配制？如何配制？ 1号新药 2号新药 3号新药 A4016288 B6214167 C14278 D4410251 E53607 F5015580 G7111838 H416

3、821 I145230 一、药方配制问题 n解：（1）把每一种特效药看成一个九维列 向量，分析7个列向量构成向量组的线性相 关性。 n若向量组线性无关，则无法配制脱销的特 效药； n若向量组线性相关，并且能找到不含 的一个最大线性无关组，则可以配制3号和 6号药品。 一、药方配制问题 n在Matlab窗口输入 nu1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; nu2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; nu3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; nu4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; nu5=20;35;5;15;5;35;2;10;0; nu6=38;6

4、0;14;47;33;55;39;35;6; 一、药方配制问题 u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 U0,r=rref(U) 计算结果为 一、药方配制问题 nU0= r= 1 2 4 5 7 n1 0 1 0 0 0 0 从最简行阶梯型U0中可以看 n0 1 2 0 0 3 0 出，R（U）=5，向量组线性 n0 0 0 1 0 1 0 相关，一个最大无关组为 n0 0 0 0 1 1 0 u1，u2，u4，u5，u7， n0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2 n四个零行 u6=3u2+u4+u5 n 故可以配制新

5、药 一、药方配制问题 n（2）三种新药用v1，v2，v3表示，问题 化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示， 若能表示，则可配制；否则，不能配制 。 n令U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3 nU0,r=rref(U) n由U0的最后三列可以看出结果 一、药方配制问题 n计算结果为 可以看出 v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7 v3不能被线性表示， 所以无法配制 二、交通流量的分析 n通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的 建立与求解 n问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都 是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车 流量。 n针

6、对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相 等。 n请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流 量xi（i=1,2,3,4） 二、交通流量的分析 260 251 D C 320 357 360 260 A B 220 292 单行道4节点交通图 二、交通流量的分析 n解：根据已知条件，得到各节点的流通方 程 A： B： C： D： 二、交通流量的分析 n整理得方程组为 n在Matlab窗口输入 二、交通流量的分析 n计算结果为 二、交通流量的分析 n由于U的最后一行全为零，方程组中只有 三个有效方程，所以有无穷组解。以 为自由变量，其解为 三、人口迁徙模型 n设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口

7、的分布则因居民在市区和郊区之间 迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到 郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区 。假如开始时有30%的居民住在市区， 70%的居民住在郊区，问10年后市区和 郊区的居民人口比例是多少？30年、50 年后又如何？ 三、人口迁徙模型 n这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变 量用市区和郊区两个分量表示。 n一年以后，市区人口为xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊区人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0 n用矩阵乘法来描述，可写成： 三、人口迁徙模型 n从初始到k年，此关系保持不变，因此上 述算式可扩展为 n 输入：A0.94,0.02;0.06,0

8、.98, x00.3;0.7 x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0 n得到： 三、人口迁徙模型 n本题特征值和特征向量的意义： n无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向 一组常数0.25/0.75。 n为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值， 我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可 以更清楚地看到乘以矩阵A的效果，先求A的特 征值和特征向量，得到 三、人口迁徙模型 n令 n n它是特征向量的整数化，得到 四、其他应用：情报检索模型 情报检索模型： n假如数据库中包括了n个文件，而搜索所用的 关键词有m个。可以把数据库表示为mn的矩 阵A。比如有7本

9、书，6个关键词x（初等，代数 ，矩阵，理论，线性，应用）：则A就是67 的矩阵。书名中有此关键词的就将该对应元素 置1。 n搜索结果可以表示为乘积yATx，它是n1列向 量。于是y的各个分量就表示各书与搜索向量 匹配的程度。y值最大的元素对应于匹配最好 的书籍，是读者可能最需要的。 四、产品成本的计算： 产品成本的计算： 某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度 生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产 品上的成本表。 成本矩阵为M， 季度产量矩阵为P 四、产品成本的计算 n将M和P相乘，得到的矩阵设为Q，Q的第一行 第一列元素为 Q(1,1)0.140000.320000.1558001870

10、 不难看出，Q表示了夏季消耗的原材料总成本。 从线性变换的角度来看，Q矩阵把以件数为单 位的产品空间映射到了以元为单位的成本空间 。 四、用逆阵进行保密编译码 n在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是 把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组 整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率 来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能 对应于字母E。 n可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A 是一个行列式等于1的整数矩阵，则A1的元 素也必定是整数。而经过这样变换过的消息， 同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破 译。 n接收方只要将这个消息乘以A1就可以复原。 四、网络和图 n图为1，2，3，

11、4四个城市之间的空运航线，用有向图 表示。则该图可以用下列航路矩阵表示： n经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市， 可以由邻接矩阵的平方A2A12来求得。 四、信号流图模型 n信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号 变换关系的工具。 n右图方程如下： n写成矩阵方程 nx=QxPu n移项整理，可以得到求信号向量x的公式。 u x1x2 -G2 G1 四、信号流图模型 ( I Q ) x= Pu，x = inv( I Q )*Pu n定义系统的传递函数W为输出信号与输入信号 之比x/u，则W可按下式求得： W=x/u = inv( I Q )*P 四、平板稳态温度的计算 四、化学方程

12、的配平 n确定x1,x2,x3,x4，使两边原子数相等称为配 平，方程为 n写成矩阵方程 四、现代飞行器外形设计例 n把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件 沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方 体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内 外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方 程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界 变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。 对一个飞行器，小立方体的数目可以多达 400,000个，而要解的联立方程可能多达 2,000,000个。 四、卫星遥感图象处理 n卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像， 对每一个区域，可以获得七张遥感图象。利用 多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息 ，因为各种地貌、作物和气象特征可能对不同 波段的光敏感。而在实用上应该寻找每一个地 方的主因素，成为一张实用的图象。每一个象 素上有七个数据，形成一个多元的变量数组， 在其中合成并求取主因素的问题，就与线性代 数中要讨论的特征值问题有关。