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1、l 1.1.轴向变形和虎克定律轴向变形和虎克定律 绝对变形: l1 P P P P 线应变:（相对变形,无量纲） 2-8 拉压杆的变形 虎克定律：（力与变形的关系） （1） （2） (2)代入(1) EA 抗拉(压)刚度 E 弹性模量，常用GPa的单位（由实验测定） 轴向变形 微段变形微段变形 累加的结果：累加的结果： 变截面变轴力杆的拉压变形变截面变轴力杆的拉压变形 当杆内轴力随长度变化或者杆的横截面积不是常 数，则应当先求微段变形，然后将微段变形累加 微段dx变形量： 此公式更 具有一般 性，但是 计算比较 复杂。 解解: : dxdx x x d d1 1 P P d d2 2 P P
2、l l D Dx x A Ax x 例：例：求图示变截面杆的变形。 阶梯杆的拉压变形阶梯杆的拉压变形 将阶梯阶梯直杆分成m段，对每一段，轴力和横截面积 均为常数，则等截面直杆公式适用。因此： 注意： m综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数 例1：钢质阶梯杆受两力作用。AC段横截面积 A1=20mm2，CD段横截面积A2=10mm2。材料的 弹性模量E=200GPa。试求：杆端D的伸长量l 5 N (kN) 10 1m 0.5m1m B C D 10KN 15KNA 分析： （1）画轴力图 （2）综合不同轴 力和横截面积相 交形成的最大分 段为3段 2.2.横向变形、泊松比横向变形、泊松比
3、 横向变形： 横向应变： 泊松比(Poissons ratio): （ 与 总是符号相反） b b1 l l1 P P P P 材料名称E(GPa) 碳 钢1962160.240.28 合 金 钢1902200.240.33 灰口铸铁1151600.230.27 铜及其合金731300.310.42 铝 合 金700.33 花岗石49 石灰石42 混凝土14360.160.18 木材（顺纹）1012 橡胶0.0080.47 表1 几种常用材料的E和的数值 1.拉伸与压缩静不定问题概念 所有的未知力均能由静 力平衡方程确定的结构称为静定结构。 而仅仅用平衡方程不能 求得所有的未知力的结构称为静
4、不定结构或超静定结构。 静定结构 静不定结构 P P 1 2 3 210 拉伸与压缩静不定问题 P 1 2 3 P 因此，求解静不定问题，因此，求解静不定问题， 1 1 除了根据静力平衡条件列出平衡除了根据静力平衡条件列出平衡 方程外；方程外； 3 3 进而根据弹性范围内的力和变形进而根据弹性范围内的力和变形 之间关系（胡克定律），即物理之间关系（胡克定律），即物理 条件，建立补充方程。条件，建立补充方程。 2 2 还必须在多余约束处寻找各构件还必须在多余约束处寻找各构件 变形之间的关系，或者构件各部变形之间的关系，或者构件各部 分变形之间的关系，这种变形之分变形之间的关系，这种变形之 间的关
5、系称为间的关系称为变形协调关系变形协调关系或或变变 形协调条件形协调条件 (compatibility (compatibility relations of deformation) relations of deformation). . P 1 2 3 解：列平衡方程 P A (一次静不定) 例1 图示结构，三根杆的材料及横截面积为 试求三杆的轴力。 找变形协调关系（几何方程） 123 A A, DL3 DL2 aa 物理方程： 补充方程： 将物理方程代入几何方程得补充方程 P 1 2 3 变形协调关系（几何方程） 平衡方程与补充方程联立求解 P A 这个例题虽然是一个具体问题，但是其求
6、解 方法具有一般性，由此可归纳出： 求解静不定问题的一般方法 2.根据结构的约束条件画变形图,找变形 协调关系,列几何方程; 3.由力与变形(或温度与变形)的物理关系 , 列物理方程; 4.联立几何方程与物理方程建立补充方程; 1.画受力图,列平衡方程,判断静不定次数; 5.补充方程与平衡方程联立解全部未知力. 平衡方程 几何方程 物理方程 补充方程 例1 求图示两端固定等直杆的约束反力 P ab BA P 几何方程: 物理方程: 代入平衡方程解得: 平衡方程: 解：解除约束,以约束反力代替 为得到变形协调方程，解除多余约束，代之 以约束反力。分别考虑外力和多余约束反力 产生的位移叠加。设B为
7、多余约束。 多余约束B处的实际位移必须为0 P B A lP B A lR 解得: 设杆的B段有初始间隙，求约束反力 解： 几何方程: 设外力在B处的位移大于初始间隙 B处的实际位移为初始间隙 P B A lP B A lR P ab BA 物理方程: 解得: 例2 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木 材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分 别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 几何方程 物理方程及补充方程： 解：平衡方程:P 1m P N 2 4N 1 P y P y 4N1 N2 250 250 解平衡方程和补充方程，
8、得: 求结构的许可载荷： 角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2 P 1m P 250 250 P 1m P 250 250 超静定结构的特点之一：超静定结构中杆件的内力按 照杆件的刚度占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越 大，杆件承受的内力越大。 例3： 图示悬吊结构ABC梁刚性，各杆EA相同，求各杆内力 解：1.平衡方程 2.几何方程 P A C B aa l 1 2 l 3.物理方程 补充方程与平衡方程联立解得: 温度应力和装配应力的概念 1、制造误差引起的应力称为装配应力。超静 定结构在制造误差等变形因素的影响下会引起 应力。 2、温度变化引起的应力称为温度应力。超静 定结构在温
9、度变化外界因素的影响下会引起 应力。 一、温度应力 由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。 式中： 为材料的线膨胀系数。 对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆 件的变形为： RA RB DLT RB DLR 解：1.平衡方程 (共线力系) (一次静不定) 例5：输热管道AB长为L， 横截面积A，材料的弹性摸 量E，热膨胀系数为，试 求：当温度升高T(oC) 时 管内的应力。 AB L DLT RB DLR 3.物理方程 4.补充方程 补充方程与平衡方程联立解得: 5.温度应力 2.几何方程 例6： 图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短 求各杆装配应力 aa l 12 3 A B
10、 N1N2N3 AB 解：1.平衡方程 2.几何方程 在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静 定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。 二、装配应力 3.物理方程 4.补充方程 补充方程与平衡方程联立解得: aa l 12 3 A B N1N2N3 AB P PP P PP 应力集中： 理论应力集中系数 弹性力学计算 实验测试（光弹性实验） 2-11 应力集中概念 由于结构或功能上的需要 ，使构件截面尺寸或形状发生 突变引起的应力急剧增加的现 象。 对弹性体某一局部区域的外力 系，若用静力等效的力系来代替 ；则力的作用点附近区域的应力 分布将有显著改变，而对略远处 其影响可忽略不计。 圣文南(Saint-Venant)原理: 如右图所示，根据现代力学 分析方法（有限元计算方法或光 弹性测试方法）的研究结果显 示： 由于在杆端外力作用的方式 不同，将会对对杆端附近处处各截面 的应应力分布产产生影响（应应力非 均匀分布），而对远对远 离杆端的各 个截面，影响甚小或根本没有影 响。 本次作业 2-42, 2-43
