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1、贺胜中学初三数学组 数的开方和 二次根式 考点聚焦 考点1 平方根、算术平方根与立方根 平方 平方 立方 数 的 开 方 平方根 算术平 方根 立方根 一个数x的_等于a，那么x叫做a的立方根 考点2 二次根式的有关概念 a0 二 次 根 式 定义 防错 提醒 最简二 次根式 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (2)被开方数不含分母。 考点3 二次根式的性质 0 a a 0 0 0 0 二 次 根 式 的 性 质 考点4 二次根式的运算 0 0 0 0 二次根式 的加减 先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 二次根
2、式 的乘法 二次根式的 除法 考点5 把分母中的根号化去 常 用 形 式 及 方 法 题型一 二次根式概念与性质 【例1】 (1)等式 成立，则实数的范 围是( ) Ak3或k3. 题型分类 深度剖析 D (2)已知a、b、c是ABC的三边长，试化简： . 解：原式|abc|abc|bca| |cab| (abc)(bca)(cab)(a bc) 2a2b2c. 探究提高 1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负. 2.注意二次根式性质( )2a(a0)， |a|的区别， 判断出各式的正负性，再化简 知能迁移1 (1)( )2的平方根是_ ，9的算术平方根 是_，_是64的立方根 解析：
3、( )22,2的平方根是 ； 3； 4. 3 4 (2)(2011烟台)如果 12a，则( ) Aa B. a Ca D. a 解析：由12a0，得a . B 1x4 解析：|1x| (x1)(4x)2x5 |1x|x10 x1 且 4x0x4. 1x4. (1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； (2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的 数是1和0，立方根等于本身的数是1、1和0； (3)一个数的立方根与它同号； (4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简再进 行开方运算 题型二 二次根式的运算 【例2】 (1)下列运算正确的是( ) A2 4 6 B. 4 C. 3 D
4、. 3 解析： 3，选C. (2)计算： 2 . 解：原式2 . C 解： 原式 探究提高 1.二次根式化简，依据 (a0，b0)， (a0，b0)，前者将被开方数变形为有m2 (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的 数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将其移到 根号外. 2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式 3二次根式乘除结果要化简为最简二次根式 题型三 二次根式混合运算 【例3】 计算： 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解： (1)原式 (2)原式 =（10-9）2012=1 探究提高 1.二次根式混合运算，把若干个知识点综 合在一起，计算时要认真仔细.
5、 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便 知能迁移3 (1) ( )0 解：原式3 3 1 1 (2)(3)2 ( )1； 解：原式9229 (3)已知 的整数部分为a，小数部分为b，求a2 b2的值 解： 题型四 二次根式运算中的技巧 【例4】 (1)已知x2 ，y2 ，求：x2xy y2的值； (2)已知x 3，求x 的值 解 =42-1=15 （2） =（-3）2-4 =5 （1） 探究提高 1.x2xyy2是一个对称式，可先求出基本 对称式xy4， xy1，然后将x2xyy2转化为(xy)2xy ，整体代入即可. 2.注意到(x )2(x )24，可得(x )2 5， x . 知能迁移4
6、 (1)若y x3， 则10x2y的平方根为_； 6 (1)解析： x2，y238， 10x+2y=102+28=36 (3)已知x ，y ，求 的值； 21 21 21 1 2 -2 答题规范 2注意二次根式运算中隐含条件 考题再现 已知：a ，求 的值 学生作答 解：原式 a1 a1 . 当a 时， 原式 1(2 )12 . 规范解答 解：a 1，a10. |a1|1a. 原式 a1 . 当a 时， 原式 1(2 )3. 能力提高 (1)题目中的隐含条件为a 1，所以 |a1|1a，而不是a1； (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键 之一，上题中的隐含条件 |a1| 1a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析 能力的培养，提高解题的正确性. 失误与防范 1.求 时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式 |a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类 讨论 2.化简二次根式的题目，形式多样，应先化简后求值，应力 求把根号去掉在求算术平方根时，要先用含绝对值的式 子表示含字母的式子，保证求原式的算术平方根有意义， 然后再根据题目条件，判断求绝对值的式子的符号 3一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探求 思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响 求解过程的附加条件要特别注意，问题中的条件没有主 次之分，都必须认真对待
