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1、第 三 章 基本形体的投影 第一节 平面体的投影 第二节 曲面体的投影 第三节 平面与形体表面相交 第四节 直线与形体表面相交 第五节 两形体表面相交 1 空间物体可以看作是由一些简单的几 何体所组成。而这些简单的几何体又是由一 些表面围成。几何体可分为平面立体和曲面 立体两类。 本章主要介绍常见的一些立体的投影 及它们的三面投影图画法，为进一步分析复 杂的物体打下基础。 概 述 2 常 见 的 基 本 立 体 平 面 立 体 曲 面 立 体 棱柱棱锥 圆柱 圆锥 圆球 圆环 3 三棱柱的投影 三棱锥的投影 三棱柱体表面定点 四棱柱体表面定线 第一节 平面体的投影 三棱锥体表面定点 4 平面立
2、体侧表面的交线称为棱线 若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。 若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。 棱柱 棱锥 平面立体：由若干平面所围成的几何体， 如棱柱、棱锥等。 平面立体的投影 5 X O H Y W V Z 三棱柱的投影 直观图 投影图 6 三棱柱体表面定点 a （b ） y y b a a b 解题思路： 利用棱柱表面的 积聚性 7 W X H a O a c s b Y V b a c s A B C S Z （c ） b s a c b s a b c s a（c ）b s 三棱锥的投影 直观图 投影图 8 1 s b s a ac b m （n） s c a y2 c b
3、( ) y1 n n m m 2 y 1 y1 三棱锥体表面定点 解题思路： 辅助直线法定点 9 四棱柱体表面定线 b y y b a c d a c ( )d c d a b 10 圆柱体的投影圆柱体表面定点 圆柱体表面定线 圆锥体表面定点 球体的投影 球体表面定点 第二节 曲面体的投影 圆锥体的投影 圆锥体表面定线 11 常用的回转曲面立体,简称回转体. 直母线生成的回转曲面称为直线回转面如 :圆柱面、圆锥面等. 回转曲面是由母线(直线或曲线)绕 定轴线作回转运动生成的. 曲母线生成的回转曲面称为曲线回转面如 :圆球面、圆环面等. 曲面体的投影 12 在曲面立体表面上取点的方法: 素线法
4、纬圆法 E S 圆柱 圆锥 圆球 ：由曲面或曲面与平面共同 围成的立体。 学习要点曲面立体的投影特性及在形体表面上取点的方法 曲面立体 13 圆柱体的投影 直观图 投影图 14 A B aa b yA yA yB b b yB 注 利用积聚投影求点。 C c c a 圆柱体表面定点 15 a b y b c y 圆柱体表面定线 1 a (c“) (1“) b ac 1 16 圆锥面是由直线SA 绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。 圆锥体的组成: 由圆锥面和底面组成。 S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面 上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。 圆锥体的投影 17 圆锥体的投影 直观图 投影图
5、18 s s s S E e e 方法之一 : 素线法 (e) 圆锥体表面定点 19 S e s s s 方法之二 : 纬圆法 E e (e) 圆锥体表面定点 20 【例】已知圆锥表面的点A、C的V面投影及B点的H面投影,完成其它投影。 a c b a (b) (c) a b c 21 y y 圆锥体表面定线 a c 1 b a b a b 1 c 解题时注意 曲线AB的 性质 ( )c ( )1 22 球体的投影 直观图 投影图 23 M m m 注 纬圆法求点。 m 直观图 投影图 球体表面定点 24 M m m 注 纬圆法求点。 m 直观图 投影图 球体表面定点 25 y m m (n)
6、 m n 球体表面 的特殊点 可利用轮 廓素线的 投影直接 求出。 (n) y 球体表面定点(特殊点） 26 第三节 平面与形体表面相交 平面与曲面立体表面相交 平面与平面立体表面相交 27 平面与形体表面相交 截交线 (a)截交线 A B S C 截平面 截交线 切割体(b) A B S C 截面 切割体 28 截交线为封闭的平面折线平面多边形。 其各条边棱面（或底面）与截平面的交线； 其各顶点棱线（或底边）与截平面的交点。 求解方法： 交点法：求平面立体的棱线与截平面之交点， 再将同一棱面上的交点两两相连。 交线法：求平面立体的棱面与截平面的交线。 可见性的判别：可见棱面上的截交线可见，否
7、则不 可见 。 A C B 平面与形体表面相交 29 VP 正垂面P截割三棱柱的截交线 1 2 3 3 1 2 1 3 2 30 【例】求截平面P与四棱柱的截交线。 a b(d) m(n) a b d m n d b a nm 31 PV s s a bc a c b 【例】求截平面P与三棱锥的截交线。 1 2 3 1 2 3 32 PH s a b c a b cs 注意：同一棱面上的两点才能连接。 【例】求截平面P与三棱锥的截交线。 2 3 4 1 2 3 4 1 33 四棱锥切割体的投影 1 y 2 y 1 y 2 y 1 2(3 ) 4(5 ) 6 6 45 3 1 2 1 3 2 5
8、 4 6 34 【例】已知切割体的V面投影，完成其H、W面投影。 注意：同一棱面上 的两点相连接 1 a b c s s abc 2 5 3(4 ) 6 1 2 3 5 6(4 ) ba(c) s 1 2 3 4 5 6 35 1 23 4 5 6 7 8 6“ 5“ 【例】已知棱柱切割体的两投影，求H面投影。 步骤： 1、根据“三等关系”作出原形体的投影。 2、利用积聚投影和类似形的概念，作出断面的投影。 3、修正棱线的投影。 1“2“ 3“ 4“ 8“7“ 78 6543 12 36 截交线为封闭的平面曲线(含直素线)，或平面曲线与直线组成。 平面与曲面立体相交 求解的方法：素线法，纬圆法
9、 P 特殊点 P 特殊点：轮廓线上的点、椭圆的长短轴的端点等 掌握体的截交线的特性及投影的求法、可见性判别 学习要点 37 圆柱的截交线 38 截平面与圆柱轴线的倾角为 ，其交线的H投 影为椭圆，且椭圆的长、短轴随的变化而变化 截平面与圆柱轴线成45时,投影为圆 圆柱的截交线 39 yy yy PV 正垂面P截割圆柱的截交线 5(6 ) 3(4 ) (8 )7 2 3 1 4 5 1 6 5 6 1 4 8 7 2 3 ( ) 7 ( ) 2 ( ) 8 40 yy yy 圆柱切割体的投影 1 23( ) 4 5 ( ) ( ) 6 7 7 5 1 4 6 3 5 79( ) 8 9( ) 9
10、8 2 68( ) 1 4 3 2 41 【例】已知圆柱切割体的正面投影，求其它两投影。 步骤： 1、求截交线的投影。 2、求相邻截平面之交线。 3、判别可见性。 2 1 3 5 4 2(3) 4(5 ) 1 6 6 1“ 5“ 3“ 2“ 4“ 6“ 42 平面与圆锥相交 根据截平面的不同位置有五种情况： 圆锥的截交线 P 圆 P 椭圆 P 两条素线 P P平行于圆锥上一 条素线抛物线 P P平行于圆锥上两条 素线双曲线 43 平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线 44 VP 正垂面P截割圆锥的截交线 1 (8 )7 5(6 ) (4 ) 3 2 4 6 8 1 3 5 7 1 8 6
11、4 2 3 5 7 ( ) 2 45 【例】求侧平面P与圆锥的截交线。 分析： 圆锥的表面没 有积聚性，必须通 过素线法或纬圆法 求解截交线上的特 殊点及一般位置点 。 c“ b“ a“ a b(d) c b a PV c(e) d e d“ e“ PH 46 wP HP 正平面P截割圆锥的截交线 3 1 45 2 3 ( )54 ( )2 1 143 52 47 圆锥切割体的投影 1 2(3 ) 4 (5 ) (7 )6 (9)8 10 2 4 6 8 10 9 7 3 1 5 1 3 5 7 9 8 6 4 2 10 48 平面与球相交 截交线为圆，但其投影可能是圆、椭圆或直线（积聚）。
12、球的截交线 PV R R RH RW 49 正垂面P截割球的截交线 PV 1 （6 ） 5 3（4 ） 7 （8 ） 2 6 (4) (8)(7) (3) 5 1 (5) (3) 7 (6)(4)8 2(1) ( ) 2 50 球切割体的投影 1 ( )23 76( ) 8 7 5 1 5 4( ) 3 8 6 4 2 1 7 8 35 6 2 4 51 不完整圆球面视图及其表面的曲线 52 第四节 直线与形体表面相交 直线与形体表面相交 直线AB与三棱柱的贯穿点 直线KL与三棱锥的贯穿点 直线AB与圆柱的贯穿点 水平线AB与圆锥的贯穿点 正垂线AB与球的贯穿点 53 直线与立体表面相交所得的
13、交点称为贯穿点(两个)。 贯穿点的求解方法：辅助平面法 1. 经过已知直线作一个辅助截平面； 2. 求出此辅助截平面与已知立体的截交线； 3. 确定所求截交线与已知直线的交点。 辅助截平面：一般选择投影面的垂直面 特殊情况(有积聚性)可直接求出贯穿点。 可见性的判别：直线穿进形体内部的那一段线不需要画出，其余与 形体重影的线段应判别可见性，不可见的画虚线。 掌握体的贯穿点的特性及其投影的求法 可见性的判别 学习要点 P L M N 直线与形体表面相交 54 a b a b m n m （n ） 直线AB与三棱柱的贯穿点 55 直线KL与三棱锥的贯穿点 a k b k a b s s l c c
14、 l m n n m V P 56 a a b b 直线AB与圆柱的贯穿点 m n 3 3 n m 57 a a b b V P 水平线AB与圆锥的贯穿点 m(n ) m n 58 【例】求直线AB与圆锥的贯穿点。 b a (b)a n)(m m n 59 a b （b ）a (m n ) 正垂线AB与球的贯穿点 n m 60 【例】求直线AB与球的贯穿点。 a a b b n PV m n (m) 61 两形体表面相交 两个三棱柱的相贯线 三棱锥与四棱柱的相贯线 三棱柱与圆锥的相贯线 四棱锥与圆柱的相贯线 圆柱与圆柱的相贯线 第五节 两形体表面相交 圆柱与圆锥的相贯线 62 相贯线的特性：
15、1. 共有性：相贯线是两立体表面的交线也是其表面的分界线。 2. 封闭性：相贯线一般为封闭的空间折线或空间曲线，特殊情况下 相贯线为平面图形。 35 两立体相贯 利用辅助平面法求作相贯线并准确作出相贯线上 的特殊点并掌握可见性的判别。 学习要点 两立体相交，称为相贯，其表面交线称为相贯线。 相贯的分类： 互贯全贯 63 35 两立体相贯 一、两平面立体相贯 相贯线由空间折线组成，特殊情况下相贯线为平面折线。 求解方法： 交点法：求出两立体中所有参与相贯的棱线与另一立体棱面的贯穿 点。可归结为求解直线与平面的交点。 交线法：直接求出两平面立体棱面的交线。 连点的原则： 连点时，只有当两个折点对每一个立体来说都位于同一棱面上才能 相连接（同一折点不能连三条相贯折线）。 判别相贯线的可见性： 由相贯线所在的棱面的可见性决定，两个都可见的棱面相交出的相 贯线才可见，只要有一个棱面是不可见的，则为不可见。 64 【例1】求两个三棱柱的相贯线。 1 1 3 2 4 2 34 5 6 5“ 6“ E、 F、 G A、C 、B X X X （1）互贯，一组相贯线 。 （2）求A、B、F三条棱线 的六个贯穿点。 （3）连点并判别可见性。 （4）补全投影轮廓线。 c b a c a b a“ c“ b“ f g ge ef e“g“ f “ 交点法： 3“4“ 1“2“
