随机信号分析第一章 概率论1.

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1、第一章 概率论 1.1 概率空间 1.1 .1 概率的定义 1. 随机事件 v人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可以分 为两类：一类是必然现象，或称确定性现象；另一 类是随机现象，或称不确定性现象. v必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总 是确定的现象；只要条件不变，试验结果在试验之 前是可以预言的. v随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不 一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象： 对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生 ，是无法预言的. v从例子可以看到，随机现象也具有规律性，这种规 律性可在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现 出来.这种规律性称为随机现象的统计

2、规律性. v概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律的一 门数学学科. （1 ）随机试验 v这些都是试验.通过仔细的分析，可以发现，这些试 验具有如下的共同特点： v（a）试验可以在相同的条件下重复进行； v（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先 已知的； v（c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的 v人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试 验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示. v随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称 作样本点，用字母e表示. 随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的 的样

3、本空间，记为. v例 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反 面出现情况，这也是个随机试验. v故样本空间 vS=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反). v例 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿 命，这是个随机试验. v设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间 vS=t|t0. v样本空间和空集作为的子集也看作事件. v由于包含所有的基本事件，故在每次试验中，必 有一个基本事件e 发生，即在试验中，事件S必 然发生；因此, 是必然事件. v又因在中不包含任何一个基本事件，故在任何一 次试验中,永远不会发生；因此,是不可能事件 .常用 ,分别表示必然事件与不可能事件. v必然事件与

4、不可能事件可以说不是随机事件，但是 为了研究的方便，还是把它们作为随机事件的两个 极端情形来处理. 特殊事件 在试验中可能发生也可能不发生的事情称为 随机事件，简称为事件，以字母A，B，C， 等来表示. (2)随机事件 v有了样本空间的概念便可以用集合的语言来定义事 件. v一般地，人们将事件定义为基本事件的某个集合， 即样本空间的某个子集，称事件A发生，当且仅当A 中的某一个基本事件出现. 例 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反 面出现情况，这是个随机试验. v在这个随机试验中，若设 vA表示事件“第一次出现正面”. v在一次试验中，A发生当且仅当在这次试验中出现 基本事件 v(正，

5、正)，(正，反) v中的一个. v这样可以认为A是由(正，正)，(正，反)组成的， 而将A定义为它们组成的集合 vA=(正，正)，(正，反). v又如 v事件B表示“两次出现同一面” v在一次试验中，B发生当且仅当在这次试验中基本 事件 v(正，正)，(反，反) v中的一个出现. v这样可以认为B是由(正，正)，(反，反)组成的， 而将B定义为它们组成的集合 vB=(正，正)，(反，反). v类似地，事件C=“至少有一次出现正面”，可定义为 集合 vC=(正，正)，(正，反)，(反，正). v事件D=“第一次出现反面”，可定义为集合 vD=(反，正)，(反，反). (3) 随机事件的关系和运算

6、 v在实际问题中，往往要在同一个试验中同时研究几 个事件以及它们之间的联系. v详细分析事件之间的关系，不仅可以帮助人们更深 入地认识事件的本质，而且可以大大简化一些复杂 的事件. v在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩 形域表示样本空间. v矩形内的每一点表示样本点e(基本事件). 样本点e 样本空间 v在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩 形域表示样本空间. v用矩形内的个圆表示事件A. A v在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩 形域表示样本空间,矩形内的每一点e表示样本点( 基本事件)，并用矩形内的两个圆分别表示事件A和 事件B. A B v1）事件的包含和相等

7、 v若事件A中的每一个样本点都属于事 件B(图1.1 )， BA v则称事件B包含事件A ， v记作 vAB v或vBA . 图1.1 A B v显然，这时事件A 发生必然导致事 件B发生. v故B包含A，也常定义为：“若A发生必然导致B发 生，则称B包含A”. v例如，在1.1节例6将一枚质量均匀对称的硬币投掷 两次，观察正反面出现情况，这个随机试验中，若 v设 A表示事件“第一次出现正面” C表示事件“至少有一次出现正面” v由于 A=(正，正)，(正，反) C=(正，正)，(正，反)，(反，正) v故有 AC. v对任意的事件A，有AS. S A v如果AB,且BA,则称A与B相等,记作

8、 A=B. v2）事件的积(或交) v同时属于A和B的样本点的集合(图1.2 )， S A B AB 图1.2 A B v称为A与B之积(或交) ， vA BvAB.v或 v显然，事件AB发生等价于事件A 与事件B同时发生，常称AB为A 与B同时发生的事件. v对任意的事件A，有 SA=A； v若AB，则有 AB=A. v3）互不相容事件 v若AB=，即A与B不能同时发生(图1.3)， S A B 图1.3 AB= v则称A与B为为互不相容 的事件(或互斥事件). v例如，在“记录某电话交 换台在一段时间内接到的 呼叫次数”这个随机试验中 ，若设 A=“呼叫次数不超过三次”， B=“呼叫次数大

9、于五次”， v则 v由于 A=0,1,2,3， B=6,7,8,， v从而 AB=， v因此A与B为互不相容 的事件. v再如必然事件S与不可能事件是互不相容的事件. v如果A1,A2,An中的任意两个事件是互不相容的， 则称A1,A2,An是互不相容的. v4）事件的和(或并) v至少属于A和B二者之一的所有样本点组成的集合 ( 图1.4)， S AB AB 图1.4 A B v称为A与B之和(或并) ， vAB v显然，事件AB发生，表示A发生 或B发生或A与B同时发生，即A与B 中至少有一个发生. v因此，常称AB为A与B中至少有一 个发发生的事件. v若A与B是互不相容的事件，则它们的

10、和AB也记 为A+B. v例如，在“将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观 察正反面出现情况”这个随机试验中，若设A表示事 件“第一次出现正面”，B表示事件“两次出现同一面” ，D表示事件“第一次出现反面”，则由于 vA=(正，正)，(正，反) B=(正，正)，(反，反) D=(反，正)，(反，反) v故有 vAB=(正，正)，(正，反)，(反，反) vA+D=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反 ). v5）事件的差 v包含在A中而不包含在B中的所有样本点组成的集合 (图1.4)， S A-B B A 图1.5 A -B v称为A与B之差，vAB. v显然，事件AB发生， 表示事件A发

11、生而B不 发生. v例如，在1.1节例6的“将一枚质量均匀对称的硬币投 掷两次，观察正反面出现情况”这个随机试验中，若 设A表示事件“第一次出现正面”，B表示事件“两次出 现同一面”，C表示事件“至少有一次出现正面”，D表 示事件“第一次出现反面”，则由于 vA=(正，正)，(正，反) vB=(正，正)，(反，反) vC=(正，正)，(正，反)，(反，正) vD=(反，正)，(反，反) v故有vAB=(正，反)，AC=，AD=A. v对任意的事件A，有 vAA=，A=A，AS=. v6）对立事件 vS与A之差SA (图1.6)， A AcS 图1.6 Ac v称为A的对立事件， vAc . v

12、由定义可知，在任意一次试验中，A与Ac不可能同 时发生，但它们二者之中必然有一个发生. v因而，Ac就是“A不发生”，且(Ac)c=A，即 v显然，若事件A、B满足 AB=，AB=S， v则A、B互为对立事件： B=Ac，A=Bc， v即 v此外，对任意两事件A、B有： AB=ABc v即 v事件的和与事件的积可以推广到n个事件及可列无 限多个事件上去. v用A1A2An或 v表示“A1,A2,An中至少有一个发生”的事件，称之 为A1,A2,An的和. v当A1,A2,An互不相容时，它们的和可以写成 A1+A2+An或 v用 v表示“A1,A2,An, 中至少有一个发生”的事件， 称之为A

13、1,A2,An,的和. v用 v表示“A1,A2,An同时发生”的事件，称之为 A1,A2,An的积. v上面利用集合的概念描述了事件的概念、关系及运算，为了 将它们与集合论中的相应的部分对照，列表如下. 符 号 概 率 论 集 合 论 S e A Ac AB A=B AB AB AB AB= 样本空间，必然事件 不可能事件 基本事件(样本点) 事件 A的对立事件 事件A发生必然导致事件B发生 事件A与事件B相等 事件A与事件B至少有一个发发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A与事件B互不相容 空间(全集) 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B相等 A与B的

14、并集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有公共元素 事件与集合的概念、关系及运算对照表 符 号概 率 论集 合 论 S e A Ac AB 样本空间，必然事件 不可能事件 基本事件(样本点) 事件 A的对立事件 事件A发生必然导致事件B发生 空间(全集) 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 事件与集合的概念、关系及运算对照表续 符 号概 率 论集 合 论 A=B事件A与事件B相等A与B相等 AB事件A与事件B至少有一 个发发生 A与B的并集 AB事件A与事件B同时发生A与B的交集 AB事件A发生而事件B不发生A与B的差集 AB=事件A与事件B互不相容A与B没有公共元 素 v由于事件、事

15、件的关系及运算与集合、集合的关系 及运算是相当的，故根据集合的运算性质可以推得 事件的运算性质如下： v（1）交换律: v AB=BA ， AB=BA ； v（2）结合律： v(AB)C=A(BC) ， v(AB)C=A(BC) ； v（3）分配律: v(AB)C=(AC)(BC) ， v(AB)C=(AC)(BC) ； v（4）对偶原理： v (AB)c=AcBc， v(AB)c=AcBc ； v即 v都发生的对立事件是至少一个不发生；至少一个发 生的对立事件是都不发生. v对偶原理在事件的运算中经常用到，它可以推广到 更多个事件的情况，即 v用语言表述为：事件和的对立事件等于对立事件的 积

16、，事件积的对立事件等于对立事件的和. v例 在检查某种圆柱形零件时，要求它的长度和直径 都必须合格. v设A、B、C分别表示事件“直径合格”，“长度合格” ，“产品合格”，则 v(a)CA,CB； v(b) Cc,Bc,Ac分别表示“产品不合格”，“长度不合格 ”，“直径不合格”； v(c) C=AB； v(d) Cc=AcBc； v(e) C=ABc. v例 某射手向一个目标进行三次射击，令 v则 v例3选择题： v若随机事件A、B满足 AB =AcBc 则( ). v(A) AB=； (B) AB=S； (C) AB=A； (D) AB=B. v解：由对称性知(C)、(D)不成立，否则两个都成立