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1、第三章第三章 线性粘性流动线性粘性流动 如图所示，流体沿如图所示，流体沿x x轴方向作层状流动，在轴方向作层状流动，在y y轴方向有速度轴方向有速度 梯度。在梯度。在t=0t=0时，任取高度为时，任取高度为dydy的矩形微元面底边坐标为的矩形微元面底边坐标为 y y，对应的流体速度为，对应的流体速度为u(y);u(y);经过经过dtdt时间段后，矩形微元面时间段后，矩形微元面 变成如图所示的平行四边形，原来的变成如图所示的平行四边形，原来的 角变为角变为-d-d，其，其 剪切变形速率定义为剪切变形速率定义为d/dt(d/dt(单位时间内因剪切变形产生的单位时间内因剪切变形产生的 角度变化角度变
2、化) )。试推导证明：流体的剪切变形速率等于流体的。试推导证明：流体的剪切变形速率等于流体的 速度梯度，即速度梯度，即 题题1 1 证明：证明： 题题2 2 如图所示，采用平板拖曳流动（简单剪切流动）进行牛顿流体如图所示，采用平板拖曳流动（简单剪切流动）进行牛顿流体 粘度测试，已知板间距为粘度测试，已知板间距为2mm2mm，上板的宽为，上板的宽为5cm5cm，长为，长为10cm10cm， 以每秒以每秒0.1m/s0.1m/s的速度向前拖动，测得上板拖动的力为的速度向前拖动，测得上板拖动的力为1010牛顿。牛顿。 (1)(1)求流体剪切流动时剪切速率的大小。求流体剪切流动时剪切速率的大小。 (2
3、)(2)计算流体的粘度。计算流体的粘度。 (3)(3)写出流体在该剪切速率下的偏应力张量、速度梯度张量、应写出流体在该剪切速率下的偏应力张量、速度梯度张量、应 变速率张量的大小。变速率张量的大小。 解：（解：（1 1） (2)(2) 无无Z Z方向的剪切应力方向的剪切应力 代入应力值代入应力值 偏应力张量偏应力张量 (3)(3) 应力张量应力张量 无无Z Z方向的剪切应力方向的剪切应力 其中由于流体无压缩膨胀变形，故其中由于流体无压缩膨胀变形，故 速度梯度张量速度梯度张量 流体无压缩（膨胀）流体无压缩（膨胀） 无无z z方向速度方向速度 y y方向无速度方向无速度 应变速率张量应变速率张量 P
4、 20P 20 题题3 3 如图所示，已知圆形管道中牛顿流体层流流动时的速度分布为如图所示，已知圆形管道中牛顿流体层流流动时的速度分布为 其中其中 为管内流体的平均速度。为管内流体的平均速度。 （1 1）设流体粘度为）设流体粘度为 ，求管中流体的剪应力，求管中流体的剪应力 的分布公式；的分布公式； （2 2）如长度为）如长度为L L的水平管道两端的压力降为的水平管道两端的压力降为pp的表达式；的表达式； （3 3）求整个圆截面的体积流量。）求整个圆截面的体积流量。 （1 1）解解 （2 2）壁面处流体受力平衡）壁面处流体受力平衡 （3 3） 题题4 4 已知一牛顿流体在狭缝中流动，狭缝高为已知
5、一牛顿流体在狭缝中流动，狭缝高为15mm15mm，宽，宽 为为320mm320mm，长为，长为200mm200mm，测得入口处的压力为，测得入口处的压力为500Pa,500Pa, 在在3030秒测得流出体积为秒测得流出体积为2.4L.2.4L. (1)(1)求出该流体的粘度。求出该流体的粘度。 (2)(2)计算壁面处的剪切速率。计算壁面处的剪切速率。 (3)(3)计算壁面处的剪切应力。计算壁面处的剪切应力。 (4)(4)计算流动过程中最大速度。计算流动过程中最大速度。 解解（ （1 1） 代入已知条件，解得代入已知条件，解得 （2 2） 根据根据 当当y=h/2,y=h/2,壁面处的剪切速率为
6、壁面处的剪切速率为 （3 3）当当y=h/2,y=h/2,壁面处的剪切应力为壁面处的剪切应力为 （4 4） 当当y=0, y=0, 中央平面处的流动速度最大中央平面处的流动速度最大 如图所示为旋转黏度测定仪，该测定仪由内外两圆筒组成， 外筒以角速度旋转，通过内外筒之间的油液，将力矩传 递内筒；内筒上下两端用平板封闭，上端固定悬挂于一金 属丝下，通过测量金属丝扭转角度确定内筒所受的力矩为 M,若内外筒之间的间隙为1，底面间隙为2，筒高为L ，为了修正底面边界效应的影响，通常更换不同高度的外 筒进行同一转速的力矩的测定。计算油液粘度。 题题5 5 已知理想条件下流体粘度计算公式： 理想条件外筒所需
7、的旋转扭矩为解解 作业作业： 分析牛顿流体在两平板狭缝间作简单剪分析牛顿流体在两平板狭缝间作简单剪 切流动过程中的应力张量、速度梯度张切流动过程中的应力张量、速度梯度张 量（剪切速率）以及应变速率张量。量（剪切速率）以及应变速率张量。 3.1.2.43.1.2.4同轴环隙中的旋转流动同轴环隙中的旋转流动 采用柱面坐标系采用柱面坐标系 （r r， ，z z），）， 只是绕轴的圆周只是绕轴的圆周 运动，运动， r r z= z= zz=0 =0 只有只有 r r= = r r 同轴环隙中的旋转流动也叫做库埃特流动，是指在外圆筒和内圆筒之间环同轴环隙中的旋转流动也叫做库埃特流动，是指在外圆筒和内圆筒
8、之间环 形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角速度形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角速度（rad/srad/s） 做圆周运动，没有沿轴向和径向的流动。做圆周运动，没有沿轴向和径向的流动。 设外圆筒与内圆筒之间间隙充满牛顿流体，内圆筒以角速度旋转，外圆筒固定。 环隙外径为Ro，内径为Ri 周向剪切速率：周向剪切速率： 对于离轴线对于离轴线r r的周向流体层的作用扭矩的周向流体层的作用扭矩MM（r r）为：）为： 径向为径向为r r的圆周面剪切速率为（根据牛顿流体方程）的圆周面剪切速率为（根据牛顿流体方程） 积分并由边界条件积分并由边界条件r=Rr=Ro o， ，= =得得
9、 对不同位置对不同位置M(r)=MM(r)=M 0 0 ，上式变形为 上式变形为 积分积分 由边界条件由边界条件r=Rr=R o o 时，时，（r r）=0=0 代入代入 于是得到角速度函数于是得到角速度函数 于是流体的径向周向速度于是流体的径向周向速度 剪切应力剪切应力 于是于是 剪切速率剪切速率 在固定内壁面在固定内壁面 r=Rr=Ri i： ： 在固定外壁面在固定外壁面 r=Rr=Ro o： ： 例题例题 要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒固定，外筒旋转，使要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒固定，外筒旋转，使 在环隙内的液体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在在环隙内的液体周向拖曳流
10、动时，内外的剪切速率的差在 10%10%之内。外圆筒半径之内。外圆筒半径10cm10cm，高，高10cm10cm。 1 1）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？ 2 2）如果此粘度计内流体）如果此粘度计内流体 100s100s-1 -1, ,圆筒的最大转速（ 圆筒的最大转速（r/minr/min）多）多 少？少？ 3 3）如果粘度计内充满）如果粘度计内充满2020 。C C的甘油，其 的甘油，其=1.496Pa.s=1.496Pa.s。外圆筒以。外圆筒以 最大转速旋转，需多大的消耗功率？最大转速旋转，需多大的消耗功率？ 解解: :(1)
11、(1) 内圆筒剪切速率为内圆筒剪切速率为 外圆筒剪切速率为外圆筒剪切速率为 根据题意根据题意 解得解得 (2)(2) 内圆筒剪切速率最大内圆筒剪切速率最大 解得解得 (3)(3) 根据粘度计算公式根据粘度计算公式 解得解得 1 1 绘出简图并推导牛顿流体在稳定的同轴环隙中的旋转拖曳流绘出简图并推导牛顿流体在稳定的同轴环隙中的旋转拖曳流 动的角速度、周向速度、剪切速率分布方程。动的角速度、周向速度、剪切速率分布方程。 2 2 要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒旋转，外筒固定，要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒旋转，外筒固定， 使在环隙内的液体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在使在环隙内的液
12、体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在 10%10%之内。外圆筒半径之内。外圆筒半径10cm10cm，高，高10cm10cm。 1 1）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？ 2 2）如果此粘度计内流体）如果此粘度计内流体 100s100s-1 -1, ,圆筒的最大转速（ 圆筒的最大转速（r/minr/min）多）多 少？少？ 3 3）如果粘度计内充满）如果粘度计内充满2020 。C C的甘油，其 的甘油，其=1.496Pa.s=1.496Pa.s。内圆筒。内圆筒 以最大转速旋转，需多大的消耗功率？以最大转速旋转，需多大的消耗功率？ 作业
13、作业 解解: :(1)(1) 内圆筒剪切速率为内圆筒剪切速率为 外圆筒剪切速率为外圆筒剪切速率为 根据题意根据题意 解得解得 (2)(2) 内圆筒剪切速率最大内圆筒剪切速率最大 解得解得 (3)(3) 根据粘度计算公式根据粘度计算公式 解得解得 作业：作业： 1.绘出简图并推导牛顿流体在圆管道内压力流动的 速度和流量方程。 解：采用柱面坐标系（解：采用柱面坐标系（r r， ，z z），假设流体的），假设流体的 粘度为粘度为 ，壁面处流体速度为零，流体沿周向和径，壁面处流体速度为零，流体沿周向和径 向速度为零，只有轴向速度，即向速度为零，只有轴向速度，即 取任意半径为取任意半径为r r的圆柱单元
14、体，根据受力平衡的圆柱单元体，根据受力平衡 解得解得 根据剪切速率的定义、牛顿流体方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程 （1 1） r r到到r+drr+dr的圆柱体的体积流量的圆柱体的体积流量 整个圆截面的流量，积分得：整个圆截面的流量，积分得： 2.绘出简图并推导牛顿流体在狭缝内压力流动的速度和流量方程 。 解：采用直角坐标系，假设流体的粘度为解：采用直角坐标系，假设流体的粘度为 ，壁面处流体速度为零，流体沿，壁面处流体速度为零，流体沿x x方向流动方向流动 。 沿狭缝中央平面任取狭缝中的一薄片单元，受沿狭缝中央平面任取狭缝中的一薄片单元，受 到的驱动力为到的驱动力为pw2ypw2y，上下
15、面的流动阻力为，上下面的流动阻力为 yxyx2lw 2lw。 根据受力平衡：根据受力平衡： 速度分布方程速度分布方程 根据剪切速率的定义、牛顿流体方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程 （1 1） 单元体体积流量为，得体积流量方程单元体体积流量为，得体积流量方程 狭缝截面体积流量狭缝截面体积流量, ,积分得积分得 请分析毛细管内非牛顿流体的表观粘度与真实粘度，表观剪切速率请分析毛细管内非牛顿流体的表观粘度与真实粘度，表观剪切速率 与真实与真实 剪切速率剪切速率 的关系。的关系。 毛细管流变仪壁面剪切应力毛细管流变仪壁面剪切应力 定义表观粘度定义表观粘度 真实粘度真实粘度 解解：（：（1 1） （
16、2 2） 2. 2. 试推导非牛顿流体稠度试推导非牛顿流体稠度 与表观稠度与表观稠度 之间关系。之间关系。 解解： 解解 1 1）求出不同剪切速率下的入口效应压力值）求出不同剪切速率下的入口效应压力值 *在近似相同的剪切速率下，不同口模长径比的入口处压力降基本相同， 与口模长径比无关。 当表观剪切速率为 2 2） 3 3） 4 4）求出长径比为）求出长径比为1616的不同剪切速率下的熔体真实粘度的不同剪切速率下的熔体真实粘度 方法一：方法一： 方法二：方法二： 4对聚合物熔体的粘性流动曲线划分区域，并说明区域名称及对应的粘度名称，解 释区域内现象的产生原因。 答：第一牛顿区：粘度为零切粘度。此时由于切变速率很小，虽然缠结结 构能被破坏 ， 但破坏的速率等于形成的速率，缠结点数目处于动态平衡，故粘度保持恒定，表现为 牛顿流体的流动行为；
