《导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.学生版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.学生版.doc（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.学生版 板块一.导数的概念 与几何意义知识内容1函数的平均变化率： 一般地，已知函数 y ? f ( x) ， x0 ， x1 是其定义域内不同的两点，记 ?x ? x1 ? x0 ， ?y ? y1 ? y0 ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ， f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 则当 ?x ? 0 时，商 称作函数 y ? f ( x) 在区间 x0 , x0 ? ?x （或 x0 ? ?x , x0 ）的 ? ?x ?x 平均变化率 注：这里 ?x ， ?y 可为
2、正值，也可为负值但 ?x ? 0 ， ?y 可以为 0 2函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义，当自变量在 x ? x0 附近改变量为 ?x 时，函数值相应的改变 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 如果当 ?x 趋近于 0 时，平均变化率 趋近于一个常数 l （也就是说平均变化率 ? ?x ?x 与某个常数 l 的差的绝对值越来越小， 可以小于任意小的正数） ， 那么常数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的 瞬时变化率 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0
3、) “当 ?x 趋近于零时， 趋近于常数 l ”可以用符号“ ? ”记作： ?x f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) “当 ?x ? 0 时， 0 或记作“ lim 符号“ ? ”读作“趋近于” ? l ”， ? l ”， ? x ? 0 ?x ?x 函数在 x0 的瞬时变化率，通常称为 f ( x) 在 x ? x0 处的导数，并记作 f ?( x0 ) 这时又称 f ( x) 在 x ? x0 处是可导的于是上述变化过程，可以记作 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) “当
4、?x ? 0 时， ? f ?( x0 ) ”或“ lim ? f ?( x0 ) ” ? x ? 0 ?x ?x 3可导与导函数： 如果 f ( x) 在开区间 ( a , b) 内每一点都是可导的， 则称 f ( x) 在区间 ( a , b) 可导 这样， 对开区间 ( a , b) 内每个值 x ，都对应一个确定的导数 f ?( x) 于是，在区间 ( a , b) 内， f ?( x) 构成一个新的函数，我 们把这个函数称为函数 y ? f ( x) 的导函数记为 f ?( x) 或 y ? （或 yx? ） 导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函
5、数 4导数的几何意义： 设 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 如 图 所 示 AB 为 过 点 A( x0 , f ( x0 ) 与 B( x0 ? ?x , f ( x0 ? ?x) 的 一 条 割 线 由 此 割 线 的 斜 率 是 ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ， 可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化 ? ?x ?x 率当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的最终第 1 页 共 1 页yD B C AOxx0x位置为直线 AD ，这条直线 AD 叫做此曲线过点 A 的切线，即 lim?x ?0f ( x0 ? ?x) ? f (
6、x0 ) ? 切线 AD 的斜 ?x率 由导数意义可知，曲线 y ? f ( x) 过点 ( x0 , f ( x0 ) 的切线的斜率等于 f ?( x0 ) 典例分析题型一：极限与导数【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为 ? ，则 ? 的取值范围是（ ） 180?) 60?) 90?) 180?) A (0? ， B (0? ， C (60? ， D (60? ， 在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ A ?n?2 ? ， ? n ? ?【例2】）?B ? n ?1 ? ， ? n ? ?C ? 0 ， ? 2? ?D ?n ?1 ? ?n?2 ， ? n n ? ?【例3
7、】? ? ） 2? ? A sin(sin ? ) ? cos ? ? cos(cos ? )对于任意 ? ? ? 0 ， ? 都有（C sin(cos ? ) ? cos ? ? cos(sin ? )【例4】B sin(sin ? ) ? cos ? ? cos(cos ? ) D sin(sin ? ) ? cos ? ? cos(sin ? )若 limx ?0f ( x) f (2 x) ? 1 ，则 lim ? _ x ?0 x xf ( x ? 1) f (2 ? 2 x) ? 1 ，则 lim ? _ x ?1 x ?1 x ?1f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ?
8、 3?x ? ?x【例5】若 limx ?1【例6】设 f ( x) 在 x0 可导，则 lim A 2 f ? ? x0 ?x ? 0等于（）B f ? ? x0 ?C 3 f ? ? x0 ? ） D 2D 4 f ? ? x0 ?【例7】f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1，则 f ?( x0 ) 等于（ 3?x 2 3 A B C 3 3 2若 lim?x ?0【例8】b 为非零常数，则 lim 设 f ( x) 在 x 处可导， a ，A f ?( x)【例9】B (a ? b) f ?( x)f ( x ? a?x) ? f ( x ? b?x) ?（ ?x C
9、 (a ? b) f ?( x) D f ?( x)?x ?0） 设 f ?(3) ? 4 ，则 limh ?0A ?1【例10】f (3 ? h) ? f (3) ） ?（ 2h B ?2 C ?3D 1若 f ?(a) ? 2 ，则当 h 无限趋近于 0 时，f (a ? h) ? f (a) ? _ 2h【例11】已知函数 f ( x) ? x2 ? 8x ，则 lim?x ?0f (1 ? 2?x) ? f (1) 的值为 ?x第 2 页 共 2 页【例12】1 f (2 ? ?x) ? f (2) 已知 f ( x) ? ，则 lim 的值是（ ? x ? 0 x ?x 1 1 A
10、? B 2 C 4 4） D ?2【例13】若 f ( x ? 1) ? f (1) ? 2x2 ? x ，则 f ?(1) ? _ 已知函数 f ( x) 在 x ? x0 处可导，则 lim A f ?( x0 ) B f ( x0 ) f ( x0 ? ?x)2 ? f ( x0 )2 ?（ ?x ? 0 ?x C f ?( x0 )2 D 2 f ?( x0 ) f ( x0 )【例14】）【例15】计算 lim3n ? 2 ? _ n? 4n ? 3【例16】 limn2 ? 2n ? _ n ? 2n2 ? 3【例17】将直线 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 l3 :
11、x ? ny ? n ? 0 （ n ? N* ， n 2 ） x 轴、 y 轴围成的封闭图形的面积 记为 Sn ，则 lim Sn ? n?【例18】 lim ? 1 ? n ? ?A【例19】5 31 1 1 ? ? n 3 32 3 3 B 2? ?（ ?） C 2 D不存在如图，在半径为 r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接 正六边形，如此无限继续下去设 Sn 为前 n 个圆的面积之 和，则 lim Sn ? （ ）n?r OA 2r 28 B r 2 3C 4r 2D 6r 2【例20】 lim ? x ?11 2 ? ? ? 2 ? ? _ 2 ?
12、x ? 3x ? 2 x ? 4 x ? 3 ? 1 n( n ? a ? n) ? 1 ，则常数 a ? _【例21】若 limn ?【例22】 limx?( x ? ) cos x x? ? _【例23】 limn ?1? 2 ? 3 ? n ? _ n2第 3 页 共 3 页【例24】 lim ?x ?0?1 2 ? ? ? ? _ ? x x( x ? 2) ?【例25】 limx ?1x ?1 ? _ x ? 3x ? 42【例26】 lim ? x?21 ? ? 4 ? ? ?（ 2 ? x ?4 x?2? 1 A ?1 B ? 4x x?x ? x ?1） C1 4D 1【例27
13、】 limx ?1【例28】a2 ， ?， an ? R ， n ? N? ， 已 知 对 一 切 设 函 数 f ( x) ? a1 sin x ? a2 sin 2 x ? ? ? an sin nx ， 其 中 a1 ， sin x x ? R ，有 f ( x) sin x 和 lim ? 1 ，求证： a1 ? 2a2 ? ? ? nan 1 x ?0 xB， C 的坐标分别为 (0 ， 4) ， (2 ， 0) ， (6 ， 4) ，则 如图，函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ，其中 A ， f ( f (0) ? ；函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) ? y4 3 2 1【例29】ACOB1 2 3 4 5 6x【例30】如图， 函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ， 其中 A ，B ，C 的坐标分别为 ? 0 ，4? ，? 2 ， 0? ，? 6 ， 4? ， f (1 ? ?x) ? f (1) 则 f ( f (0) ? ； lim （用数字作答） ? ?x ?0 ?xy4 3 2 1ACOB1 2 3 4 5 6x【例31】y下列哪个图象表示的函数在 x ? 1 点处是可导的（y y）yO1xO1xO
