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1、习 题 二 第二章：一元函数微分学 1 3. 设 f(x) 在 x=x0 点处可导, 试计算下列极限. 2 3 5. 讨论下列函数在点是否可导? f(x)在 x=0 处连续. 由导数定义有: 因此函数 f(x) 在 x=0 点处可导.4 f(x) 在 x=0 处连续, 由导数定义有: 因此 f(x) 在 x=0 处不可导. 5 6. 确定 a, b 的值, 使 在 x=1点处可导. 解: f(x) 在 x=1 处连续, 因此有 a+b=1 x=1 处左导数: 2xx=1=2 右导数: a 因此有 a=2, b=-1 6 *7. 若函数 f(x) 在 x0 点可导, 且 f(x0)0, 试计算极
2、限 7 8. 设曲线 y=2x-x3 (1) 求 (1, 1) 点处的切线方程及法线方程; (2) (x0, y0) 点处的切线通过 (0, -2) 点, 求 (x0, y0) 点及该点处的切线方程、法线方程. (1) y=2-3x3 y|x=1=2-3=-1 切线方程: y-1= - (x-1) x+y-2=0 法线方程: y-1= x-1 x-y=0 8 8.(2) 解: 过 (x0, y0) 的切线方程: y-y0=(2-3x02)(x- x0) 因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0) 过 (0,-2), x=0, y=-2 代入: -2-2x0+
3、x03 =-2x03 +3x03 x03 =-1, x0=-1, y0=-1 切线方程: y+1=-x-1 即 x+y+2=0 法线方程: y+1=x+1 即 y=x 9 12.(5)求导数 10 13. (1) y=xlnx (5) y = x2x+(2x)x y=e2xlnx+exln(2x) =e2xlnx(2xlnx)+exln(2x)xln(2x) = 2x2x(lnx+1)+(2x)xln(2x)+1 y=elnxlnx=elnxlnx2lnx1/x=xlnx2lnx/x ln y=1/2ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex) 11 14.求由下列方程确定的隐函数的导数.
4、 (1) y=1+xey y=ey+xeyy (1+xey)y=ey (2) y=tan(x+y) y=sec2(x+y)(1+y) 1-sec2(x+y) y=sec2(x+y) 12 14. (3) x y=y x 两边取对数：y ln x=x ln y 两边求导数： (4) xy=ex+y y+xy=ex+y(1+y) 13 15.试证明曲线 上任一点处的切线 , 截两个坐标的截距之和为 a 解: 对方程两边求导: 切线方程: 化为截距式: 截距之和为 14 16.求下列函数的二阶导数 (3) y=xx ln y=x ln x 1/yy=ln x+1 y=xx(ln x+1) 15 16
5、.(4) 两边对 x 求 导: 16 17.设 f (x) 存在, 求下列函数的二阶导数 y=f (x+e-x) y=f(x2) 2x y=2f(x2)+f(x2) 4x2 (2) y=lnf(x) 17 19.一质点作直线运动, 其运动规律为 , 其中路程 s 的单位为米, 时间的单位为秒, 求质 点在第四秒末的速度与加速度? 答: 4 秒末的速度为1/4 米/秒, 加速度为 -1/32 米/秒2 18 20. 许多肿瘤的生长规律为 其中, v 表示 t 时刻的肿瘤的大小(体积或重量 ), v0 为开始 (t=0) 观察时肿瘤的大小, a 和 A 为正常数. 问肿瘤 t 时刻的增长速度是多少
6、? 19 26.利用 LHospital 法则求下列函数极限 (1) (2) 20 26. (3) 21 26. (4) 22 26. (5) 26. (6) 23 26. (7) 26. (8) 24 26. (9) 设函数 f(x) 存在二阶导数，f(0)=0, f(0)=1, f(0)=2, 试求 因函数二阶可导，函数及其导数在 x=0 处连 续 由洛必大法则： 25 26. (10) 设函数有二阶连续导数,且 解: 化为指数函 数 由洛必大法则 由(9) 题结果有: 因此原式 =e2 , 求 26 27.试确定下列函数的单调区间 (3) f(x)=xe-x , (4) (3) f(x)
7、=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0 驻点: x=1 当 x0, 当 x1 时 f (x)1 时 f (x)2 时 f(x)0. x=3为极小值点. f极小(3)=0 -112345 -2 -1 1 2 3 4 30 29. 试问 a 为何值时, 函数 f(x)=a sin x+1/3sin3x 在 x=/3 处具有极值? 它是极大值, 还是极小值? 并求此极值. 解: f(x)=a cos x+cos3x 当 x=/3 时 a cos /3+cos=0, a/2-1=0 , a=2 f (x)=-2sin x-3sin3x f (/3)=-23/20 所以曲线在 (-,+) 内是凹的.
8、(2) y=ln(x2-1) 曲线在 (-,+) 内是凸的. 38 38. 求下列曲线的凹凸区间与拐点。 （1）y=3x4-4x3+1 y=12x3-12x2 令 y“=36x2-24x=12x(3x-2)=0 x=0, x=2/3 (-, 0)0(0, 2/3)2/3(2/3,) y“+0-0+ 曲线线凹拐点凸拐点凹 39 38.（2）y=ln(1+x2) 令 y“=0 , x=-1, x=1 (-, -1)-1(-1, 1)1(1, ) y“-0+0- 曲线线凸拐点凹拐点凸 40 38. (3) x=-3 ，x=0 x=3 处, x(-,-3)-3(-3,0)0(0,3)3(3,) y“+
9、0-0+0- 曲 线线 凹拐点凸拐点凹拐点凸 41 38.（4）y=(x-5)5/3+2x+1 x=5 处函数连续, 而二阶导数不存在 当 x0 故 (-, 5) 内函数是凸的 (5, +) 内函数是凹的 x =5 是拐点. 42 *39. 已知曲线 y=ax3+bx2+cx+d 在 (1, 2) 点处有 水平切线, 且原点为该曲线上的拐点, 求 a, b, c, d 之值, 并写出此曲线方程. 解: y=3ax2+2bx+c y=6ax+2b 曲线过 (1, 2): 2=a+b+c+d 曲线过原点: 0=d 当 x=1 时, y=0 : 3a+2b+c=0 当 x=0 时, y=0 : 2b
10、=0 解方程组得: a= -1, b=0, c=3, d=0 曲线方程: y=-x3+3x 43 40. (1) 求下列曲线渐近线 因此曲线有水平 渐近线 : y =1 因此曲线有垂直渐近线: x =1 -4-224 -10 -5 5 10 44 因此曲线有垂直渐近线: x =0 因此有斜渐近线 y = x 45 40. (3) 描绘下列函数的图形 定义域: (0,+), 渐近线为 x=0, y=0 46 (0,e)e(e,e3/2)e3/2(e3/2,+) f(x) + 0 - f“(x) - 0 + f(x)极大拐点 f(e)=1/e , f(e3/2)=3/2e-3/2 e e3/2 4
11、7 40. (4) 驻点: x=-1, x=3; x=1 处不可导. x=1 处二阶导数不存在, 渐近线: x=148 f(-1)=2 f(0)=-9/4 f(3)=0 (-,-1)-1(-1, 1) 1(1, 3)3(3,+) f(x)+0-不存-0+ f“(x ) -不存+ f(x)极大极小 -4-224 -2 2 49 练习题： 函数 在（-，+）内可导，则求 f(0) 2. y = sin x2+ln2x , 则 y= 3. y = e-2x-arctan2 , 则 dy = 4. y = x3+3 在 x=1 处的切线方程为 5. y=x+exy 求 y 6. 求极限: 50 10. 投石入水，在水面上产生同心圆形波纹， 若最外一圈波纹扩大时，其半径的增加率恒为 6 米/秒; 求第 3 秒末被扰动水面面积的变化率. 11. 求曲线 在 t=0 相应的点处的切 线方程. 7. 验证 f(x)=arctan x 在 0, 1 上是否满足拉格 朗日中值定理. 若满足, =? 8. 求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 在 -4, 4 的最值 9. 画函数 f(x)=x2/3(x-5) 的草图. 51
