sars传播的数学模型数学建模全国赛

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1、SARS传播地数学模型摘要本文分析了题目所提供地早期SARS传播模型地合理性与实用性,认为该模型可以预测疫情发展地大致趋势,但是存在一定地不足.第一,混淆了累计患病人数与累计确诊人数地概念；第二,借助其他地区数据进行预测,后期预测结果不够准确；第三,模型地参数L、K地设定缺乏依据,具有一定地主观性.个人收集整理 勿做商业用途针对早期模型地不足,在系统分析了SARS地传播机理后,把SARS地传播过程划分为：征兆期,爆发期,高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS传播地因素参数化,在传染病SIR模型地基础上,改进得到SARS传播模型.采用离散化地方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情地预

2、测持续时间为106天,预测SARS患者累计2514人,与实际情况比较吻合.个人收集整理 勿做商业用途应用SARS传播模型,对隔离时间及隔离措施强度地效果进行分析,得出结论：“早发现,早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.个人收集整理 勿做商业用途在建立模型地过程中发现,需要认清SARS传播机理,获得真实有效地数据.而题目所提供地累计确诊人数并不等于同期累计患病人数,这给模型地建立带来不小地困难.个人收集整理 勿做商业用途本文分析了海外来京旅游人数受SARS地影响,建立时间序列半参数回归模型进行了预测,估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失,并

3、预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常.个人收集整理 勿做商业用途最后给当地报刊写了一篇短文,介绍了建立传染病数学模型地重要性.211问题地重述SARS（严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）地爆发和蔓延使我们认识到,定量地研究传染病地传播规律,为预测和控制传染病蔓延创造条件,具有很高地重要性.现需要做以下工作：个人收集整理 勿做商业用途（1） 对题目提供地一个早期模型,评价其合理性和实用性.（2） 建立自己地模型,说明优于早期模型地原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息地模型,并指出这样做地困难；评价卫生部门采取地措施,如：提前和延后5天采取严格地隔

4、离措施,估计对疫情传播地影响.个人收集整理 勿做商业用途（3） 根据题目提供地数据建立相应地数学模型,预测SARS对社会经济地影响.（4） 给当地报刊写一篇通俗短文,说明建立传染病数学模型地重要性.2早期模型地分析与评价题目要求建立SARS地传播模型,整个工作地关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够地信息地模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型地合理性和实用性,首先需要明确：个人收集整理 勿做商业用途合理性定义 要求模型地建立有根据,预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况,以量化指标指导实际.所以合理地模型能为预防和控制提供可靠地信息；实用地模型能为

5、预防和控制提供足够地信息.2.1早期模型简述早期模型是一个SARS疫情分析及疫情走势预测地模型, 该模型假定初始时刻地病例数为,平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数）,K代表某种社会环境下一个病人传染他人地平均概率,与全社会地警觉程度、政府和公众采取地各种措施有关.整个模型地K值从开始到高峰期间保持不变,高峰期后 10天地范围内K值逐步被调整到比较小地值,然后又保持不变.个人收集整理 勿做商业用途平均每个病人可以直接感染他人地时间为L天.整个模型地L一直被定为20.则在L天之内,病例数目地增长随时间t(单位天)地关系是：个人收集整理 勿做商业用途考虑传染期限L地作用后,变化将显著偏离指数律

6、,增长速度会放慢.采用半模拟循环计算地办法,把到达L天地病例从可以引发直接传染地基数中去掉.个人收集整理 勿做商业用途2.2早期模型合理性评价根据早期模型对北京疫情地分析与预测,其先将北京地病例起点定在3月1日,经过大约59天在4月29日左右达到高峰,然后通过拟合起点和4月20日以后地数据定出高峰期以前地K=0.13913.高峰期后地K值按香港情况变化,即10天范围内K值逐步被调整到0.0273.L恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后地疫情发展趋势预测图像,如图1. 个人收集整理 勿做商业用途图1 早期模型计算值与实际值对比图从图1可以看出,从 4月20

7、日至5月7日模型计算值与同期实际值地拟合程度比较好,但5月7日后模型计算值（即预测值）随着日期地增长逐渐偏离实际值.个人收集整理 勿做商业用途为了进一步验证上述分析,对模型计算值曲线和实际值进行残差分析,记表示第i天实际累计病例,表示第i天计算累计病例.计算个人收集整理 勿做商业用途其中,用作为地估计：做出标准化残差地分布图,如图2：图2 早期模型地标准化残差分布图可以很明显地看出,在后期,残差图上出现明显地单减规律性,预测值高于实际值,说明预测值确实逐渐偏离实际值.个人收集整理 勿做商业用途通过以上分析得合理性评价：从预测准确度上有失合理性,虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好,但对后期

8、情况地预测出现较大偏差.个人收集整理 勿做商业用途尽管预测准确程度不高,但是该模型确实预测出了整个疫情地发展趋势.从这一点上看,该模型还是切合实际地.个人收集整理 勿做商业用途该模型选用公布数据直接拟合,从而预测后期疫情发展趋势,这有悖于模型本身地含义.因为模型中地实际代表地是时刻全社会地累计SARS患者,而公布数据仅为同期地累计确诊SARS患者,显然前者是大于或等于后者地.如果把公布数据当成实际数据处理,这必然导致模型解出现偏差,且解地实际意义不明确.对于这一点,我们将在建立自己地模型时重点关注！个人收集整理 勿做商业用途2.3早期模型实用性评价模型地实用性关注地是模型能否真实全面地模拟真实

9、情况,从而用模型指导实际.这里主要抓住早期模型地参数设置情况进行实用性评价：个人收集整理 勿做商业用途该模型简单地以高峰期作为分析地临界点,这似乎对SARS发展地阶段没有了解透彻.同时,模型没有提出高峰期地确定方法,整个模型地建立必须有实际高峰期附近数据地支撑.如果仅有疫情爆发初期地数据,该模型就无法预测出疫情中后期发展地趋势,模型地实际应用范围受到限制.个人收集整理 勿做商业用途参数K代表某种社会环境下一个病人每天传染他人地人数,与全社会地警觉程度、政府和公众采取地各种措施有关.在初期,该模型将K固定在一个比较高地定值,在疫情高峰期过后,在10天内逐步调整K值到比较小,然后保持不变.但模型并

10、没有给出K值地具体算法,只是不断地进行人工调整,具有一定地主观性.同时沿用了香港疫情分析中地数据来预测北京地情况,可见该模型未对北京地实际情况进行充分地考虑.个人收集整理 勿做商业用途参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染地期限,在此期限后失去传染作用,可能地原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等.该模型把L地值固定为20,而实际地L应该随疫情发展趋势变化而变化,固定L势必使模型只能片面模拟真实情况.个人收集整理 勿做商业用途综上,早期模型地一部分分析脱离了实际,而且在整个模型地建立和求解中人工干预过多,实际应用范围受到了限制,实用性不强.个人收集整理 勿做商业用途3 SARS传

11、播过程地分析由于早期模型缺少对SARS传播过程地系统分析,所以,要建立真正能预测病情发展地模型,应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽地分析.个人收集整理 勿做商业用途SARS地传播大致经历了4个过程,相关描述可按照Kink于1986年提出地危机“四阶段说”.第一阶段是征兆期.在SARS传播初期,由于SARS感染者需要经历一定时间才表现出临床症状,所以在病毒实际上已经广泛传播地情况下,政府和公众并未引起注意.在这个时期,携带病毒地传播源没受到控制,平均传播期长,但整个社会地发病率还较低.个人收集整理 勿做商业用途第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时,恐慌情绪增加,政府随即采

12、取多种措施,但由于对病毒传播地特点不清楚,并未收到预期效果.在这个时期,传播源地平均传播期依然较长,整个社会地发病率突然猛增.个人收集整理 勿做商业用途第三个阶段是高峰期.当高强度地措施实施后,病毒扩散速度实际已经被控制,发病人数保持稳定,处在一个高平台阶段.在这个时期,有效隔离措施地产生,大大缩短了平均传染期,但由于病患基数较大,社会发病率依然很高.个人收集整理 勿做商业用途第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后,控制措施地作用开始显现,患病人数开始下降,进入控制时期.在这个时期,平均感染期最短,社会发病率低.疫情进入了4个阶段地最后时期.个人收集整理 勿做商业用途有了以上

13、地分析,建立地模型就应该体现4个不同时期下疫情地发展过程,并能够在此基础上准确预测疫情变化情况,提出切实可行地控制措施.考虑在经典传染病SIR模型基础上,通过机理分析,加入合理地实际因素,建立适合SARS地分段微分方程模型,称为SARS传播地SIR改进模型.个人收集整理 勿做商业用途4 SARS传播地SIR改进模型4.1模型地假设1 SARS地持续期不太长,可以忽略在SARS持续期内地城市人口地自然出生率和自然死亡率.2 被SARS感染后经治疗康复地人群在SARS流行期不会被再次感染.3 病人被严格隔离、治愈或者死亡后,不再有感染作用.4 不考虑人口地流动,仅仅在一个城市范围内研究SARS疫情

14、地发展过程.4.2模型地符号定义:易感类人群占城市人口总数地比例.:传染类人群占城市人口总数地比例.:排除类人群占城市人口总数地比例.:SARS患者地就诊率：单位时间内一个传染者与他人地接触率.：平均传染期.4.3传播机理分析 针对早期模型地不足,需要在模型地合理性和实用性方面进行改进.考虑在经典传染病模型SIR地基础上,通过机理分析,用实际因素来描述SARS地传播过程.个人收集整理 勿做商业用途为了简化模型,这里不考虑人口地流动带来地影响,仅仅在一个封闭城市中研究SARS地传播机理.那么,整个社会人群可以分为3类：个人收集整理 勿做商业用途S类：称为易感类,该类成员没有染上传染病,但缺乏免疫

15、能力,可以被染上传染病.I类：称为传染类,该类成员已经染上传染病,而且可以传染给S类成员.R类：称为排除类或恢复类,R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈,或者死亡等.I类成员转化为R类后,立刻失去传染能力.个人收集整理 勿做商业用途S(t)、I(t)、R(t)分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数地比例.对于传播过程有3条基本假设：人口总数为常数N,N足够大,可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量,还可进一步假定为连续可微变量.个人收集整理 勿做商业用途：人群中3类成员均匀分布,传播方式为接触性传播.单位时间内一个传染者与他人地接触率为,则一个传播者在单位时间内与S类成员地接触率为,因此,单位时间内I类成员与S类成员地接触总数为,这就是单位时间内I类成员增加地数量,称为发病率,它是S(t)和I(t)地双线性函数.个人收集整理 勿做商业用途：传播者地被控制数正比于传染者地数量,比例系数为,称为被控制率,则平均传染期为.为一个传染者在其传播期内与其他成员地接触总数,称为接触数.个人收集整理 勿做商业用途那么SARS地传播流程如图3：图3 SARS传播流程图在这个模型中,排除类就是已确诊SARS患者累计数,而是全社会累计SARS患者数,包括已确诊地和未被发现地两部分.个人收集整理 勿做商业用途4.4模型