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1、 本章内容 Contents chapter 2 常见的几种力 共点力作用下物体的平衡 一般物体的平衡 平衡的种类 流体静力学 边长为a的均匀立方体，对称地放在一个半径为r 的圆柱面顶 部，如图所示，假设静摩擦因数足够大，足以阻止立方体下 滑，试证物体稳定平衡条件为 a r 当立方体偏离一个很小的角度，无滑动地沿圆柱体“滚动”至触点C时 ，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为O和O，如图所示，因为 弧 ， 而弧 所以 如果，就有 此时可保证立方体的重心在过C点的铅垂线的左方，也就是说立方体 所受重力和支持力的合力矩会使它恢复到原来的位置，即立方体处于 稳定平衡 O r O C 如果，就有 O r
2、 O C 注意:是正方体转过的微小角度. O r O C 当立方体偏离一个很小的角度，无滑动地沿圆柱体“滚动”至触点C时 ，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为O和O，如图所示. 因为弧 ， 满足弧 所以 解得 则可保证立方体有回复力矩, 即立 方体处于稳定平衡 O r O C C 因为角度极小,因此可忽略O相对O 的水平移动,仔细计算为角度的平 方项,即二阶小量,可以忽略. 当立方体偏离一个很小的角度，无滑动地沿圆柱体“滚动”至触点M时 ，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为O和O，如图所示，因为 解得 且 O r O M C C 稳定平衡条件是重心位置C高于C. 对于很小的角度 即 否则会向下
3、滑动. 用一根细线铅直悬挂一根长为l的均匀细木杆，置于水桶內水面上方 ，如图所示当水桶缓慢上提时，细木杆逐渐浸入水中当木杆浸 入水中超过一定深度 l时, 木杆开始出现倾斜现象,已知木杆密度为 ,水 的密度为 , 求l. l A C D B mg F 设杆的截面积为S，密度为，水的密度为0，杆浸在水中的长度为l，微扰 使杆偏离重力线一个小角度. 重力的力矩为 浮力的力矩为 临界点为 即 可解得 因为 所以取 A C D B mg F 要使根号成立要使根号成立, ,则水的密度大于木杆的密则水的密度大于木杆的密 度度. .因此因此 木杆将偏离重力线木杆将偏离重力线. .否则为稳定平衡否则为稳定平衡.
4、 .所得所得 结果是杆处于随遇平衡时的值结果是杆处于随遇平衡时的值. . 如图所示，将一支正六棱柱形铅笔放在斜面上，斜面倾角 =40o，铅笔与水平方向的成角，铅笔静止，试问： （1）铅笔与斜面之间的静摩擦因数至少为多大？ （2）角至少为多大？(竞赛书第31页第14题) mgcos mgsin mg a O x y O mgsin mgsincos 如图所示，所取的截面过这支笔的重心，x轴与铅笔的棱平行，y轴 与铅笔的棱垂直，且两者都在斜面上，z轴(图中未画出)为垂直斜面 向上由笔不滑动， 得 由笔不转动，通过O点的棱为轴，摩擦力力矩为 0, 则弹力矩及重力矩为： （等号成立时弹力对轴无力矩）
5、（表示重力各个方向的分力）得 （46o30） 或者：设正六面体的截面边长为a， 由力矩平衡条件，有 在竖直墙面上有两根水平木桩A和B，有一细木棒置于A之上、 B之下时与竖直方向成角静止，棒与A、B的静摩擦因数都为 0，现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠，如图所示， 求此时棒的重心的位置离A桩的距离已知木桩沿杆方向相距 2a. A B 联立解得： 设想x=0，此时棒与木桩B无作用力但由于0足够大，fA就能维持细棒 平衡；当x0时，细棒与木桩B产生弹力，细棒更不会下滑 所以要使细棒静止，其重心与木桩A之间的距离应满足的条件是 () () 设A木桩与重心之间的距离为x，由平衡条件，有 重心为轴
6、B为轴 由式可知，所以本式仅对适用 若 A B A B mg fA NA fB NB 静止流体内一点的压强,等于过此点任意一假想面元上正压力大小 与面元面积之比,当面元面积趋于零时.在重力的作用下,静止流体内等 高的各点的压强相等,在竖直方向上压强随流体深度增加而增加. P=P0+ gh 式中P0为流体上表面的大气压强,为流体密度,h为深度. 由于液体的可流动性, 在液体中任意取一小面元, 液体分子间的 相互作用必定垂直于该面元面无切向力,由于该面元是在液体中某点 任取的,可以断定: 压强与方向无关,对液体中任一点来说压强是一确 定值. 浮力是浸没在静止流体中的物体受到流体对它的各个方向的总
7、压力的合力. 浮力的方向是竖直向上的, 其大小等于被物体所排开的 流体的重力. F= gV 浮力 的大小与物体的重量无关,与物体在流体中的深度无关. 式中为流体的密度,V为物体浸没在流体中的体积. 一个半径为R的马德堡半球，抽成真空后置于大气压 强为p0的空气中，不计球壳重量，则两半球的压力为 A B C D E E 如图所示，A是一块质量为M的木块，B是质量为m的小铁块 ，共同浮在水面上，若将小铁块从木块上取下而直接放在水 中，那么水的高度将如何变化？ B A 考查所排开的水的体积。 木块和铁块一起时，排开水的重量等于木 块与铁块的总重量，排开水体积为 其中0为水的密度。 铁块在水中时，木块
8、排开水的重量等于木块的重量，铁块排开水的体 积等于铁块的体积，则排开水的总体积为 因为水的密度小于铁的密度，即0铁，所以，可见水面下降。 一个圆台的体积为V，底面积为S，全部浸没在深为H，密度为的水中，且圆台的底部 与容器底面紧密连成一体，如图所示，试分析圆台是否受到浮力。大气压强为p0. 浮力的本质是液体对物体的压力的合力。由于圆台 底部与与容器底面连成一体，水对圆台的底部无压 力，水对圆台上表面的压力向下，水对圆台侧面的 压力为垂直侧面斜向上。将圆台分成两部分，中间 部分的高为h，则圆柱体只受到向下的压力 剩余部分受到水对它向上的作用力为 因此，圆台受到合力为 讨论：（1）当时，合力向上，
9、有浮力。 时，合力向下，无浮力。 时，合力为零，处于临界状态。 （2）当 （3）当 H S 有一密度为1，半径为r 的半球放在盛有密度为2的液体的容器底部，它与 容器底部密切接触（即半球表面与容器底面间无液体），如图所示，若液 体深度为H，问半球体对容器底部的压力是多大？大气压强为p0. H r 设想半球体的下底面有液体，下底面受到的液体压力为 半球体受到的浮力为 因此，半球体上表面受到的液体的压力为 这样，半球体对容器底部的压力，由平衡条件，有 如图所示，半径为r 的球浮于密度为1和2的分层液体的界面处，设 分界面正好位于球的直径平面上，问球所受到的浮力有多大？ 1 2 由上、下半球面的压力
10、差关系，可以 证明阿基米德定律仍成立，因此 （可以分两个半球进行讨论，设中央处的压强为p，则分别隔离两个半 球，可证明结论成立。 如果是均质球，则两部分的密度相同。） h h1 1 2 h2 如图所示，杯中盛有密度为的均匀混合液体，经过一段时间之后， 变为两层均匀液体，其密度分别为1和2（21），设总体积不变， 问杯内底面所受液体压强是否因此而改变？如有改变，是增大还是减 小？ 因为液体的总质量不变，若杯子是柱形的，显然液体分层后对容器底面的压强相等，但 现在倾斜的杯壁也支持了一部分液体的重量，故液体对杯底的压强可能要发生变化。 液体对杯底的压强决定于竖直液柱的重量和杯底的横截面积，而竖直液柱的重量又等于 全部液体的重量减去斜柱部分液体的重量，假定密度大的液体在杯底形成的厚度很小， 甚至可以忽略不计，则斜柱部分全是密度为1液体，显然斜柱部分的液体重量和原来相 比减小，竖直液柱重量增大，杯底受液体压强增大，这是用极端推理方法求得的。以下 作一般的证明。 h1 1 2 h2 设分层后的液面，如图所示，S为混合液体的平均横截面积，S1，S2分 别是密度为1和2液体相应的平均横截面积，h1，h2分别是密度1和2 液体相应的高度，由于总体积不变，则 又由于总质量不变，则 液体对杯底的压强在分层前后分别为 解得 因为 整理后得 因此 即 即 所以
