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1、个人收集整理 仅供参考学习泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象授课题目第二讲无穷小与函数的连续性课时数4教学目的通过教学使学生掌握无穷小量及无穷小量，无穷大量的概念。无穷小量与无穷大量之间的关系，函数的连续性的判定及函数的间断点的求法。重点难点1用等价无穷小量代换求极限2函数的连续性的判3. 间断点的求法教学提纲第二讲无穷小与函数的连续性. 无穷小如果,就说在这个极限过过程中是无穷小量。.无穷大 ，就说在这个极限过过程中是无穷大量。无界量4.函数的连续性定义1 函数在点的某一领域内有定义，如果(1)极限存在；(2) 。那么就称在点连续。、函数的间断点 第
2、一类间断点 左右极限相等（可去间断点）间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在教学过程与内容教学后记第二讲无穷小与函数的连续性无穷小量、函数的连续性、间断点的判定等问题的实质是极限问题，理解这些问题的概念，熟练运用求极限的方法是解决这类问题的关键。. 无穷小如果,就说在这个极限过过程中是无穷小量。【说明】（1）说一个函数（数列）是无穷小量，必需指明在哪个极限过程中。在这个极限过程中是无穷小量，在另一个极限过程中不一定是无穷小量。时，是无穷小量，但时，不是无穷小量；（2）0是唯一可作为无穷小的常数；（3）作为无穷小量（），主要看低次方项；作
3、为无穷大量（），主要看高次方项；在同一变化过程中如果,就说是比高阶的无穷小,记作;如果,就说是比低阶的无穷小.如果,就说与是同阶无穷小;如果,就说是关于的k阶无穷小，.如果,就说与是等价无穷小,记作.例1：当时，与是等价无穷小，则求k.【解】 由题设， =，得例2：时无穷小量，排列起来，使排在后面的是排在前面的一个的高阶无穷小量。排列顺序是（ ） a) b) c) d) 【说明】（1）无穷小量的阶主要看它和哪个同阶，然后再阶排定顺序； （2）无穷小量求导数后阶数降低一阶。【解】，应选。例3：设函数在的某邻域具有二阶连续导数，且证明：存在惟一的一组实数，使得当时， 【分析】条件告诉我们因而同上，
4、。【证】略.无穷大 ，就说在这个极限过过程中是无穷大量。定理：当自变量在同一变化过程中时，（）若为无穷大量，则为无穷小量。（）若为无穷小量，且，则为无穷大量。【说明】常见无穷大量的阶无界量如不存在使，对，都有，则称在上无界，则上无界，则上无界例4：时，变量 是( C ) a)无穷小 b) 无穷大；c)无界，但不是无穷大； d)有界，但不是无穷小4.函数的连续性 函数在点的某一领域内有定义，如果(1)极限存在；(2) 。那么就称在点连续。如果函数在开区间内每一点都连续,则称在开区间内连续;如果函数在开区间内连续,在点右连续,在点左连续,则称函数在闭区间上连续。如果,就说函数在点左连续。如果,就说
5、函数在点右连续。例：。【解】 ，、函数的间断点设函数在点的某去心领域内有定义.在此前提下,如果函数有下列三种情形之一:在没有定义;虽在有定义,但不存在;虽在有定义,且存在,但;则函数在点为不连续,而点称为函数的不连续点或间断点.间断点的分类:第一类间断点:左极限及右极限都存在，可去间断点: ，(补充定义使之连续)跳跃间断点:，第二类间断点: 左极限及右极限至少有一个不存在，无穷间断点: ， 第一类间断点 左右极限相等（可去间断点）间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）例6：求的间断点，并指出它的类型。【分析】由于初等函数在定义域内都是连续的，所以间断点必定是无定义的或分段函数的分点。【解】，是第二类间断点，是第一类间断点，是第二类间断点例7：，求的间断点，并指出其类型【解】 可去间断点，第二类间断点，例8：,=？时,在x=0点连续，x=0是可去间断点。【解】 = =令，有 ，得或.当a=-1时，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，因而x=0是f(x)的可去间断点.例5：确定的值，使得有第二类间断点及可去间断点。【解】常数，6
