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1、第二章 控制系统的数学模型 （本章五次课） 第一节 基本概念 第二节 微分方程的建立 第三节 传递函数 第四节 动态结构图（方框图） 第五节 动态结构图的等效变换求传递函 数 第六节 信号流图和梅逊增益公式 第七节 控制系统的典型传递函数 第八节 典型环节的传递函数 单元内容总结 第一节 基本概念 一、控制系统数学模型的定义 描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。 二、建立控制系统数学模型的意义 数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。 三、建立控制系统数学模型的方法 1、理论建模* 2、试验建模 3、系统辨识 四、控制系统数学模型的几种形式 1、微分方程 2、传递函数* 3、频率特性*
2、第二节 微分方程的建立 一、微分方程的建立 1、无源电网络模型实例 2、机械位移实例 3、机械旋转实例 4、直流电动机系统实例 二、非线性模型的线性化 1、线性模型的特征齐次性和叠加性 2、非线性模型线性化问题的提出理论研究和工程应用的需要 3、线性化的基本方法静态工作点附近线性化（级数展开） 4、液位系统线性化模型求取应用实例 三、控制系统数学模型特征 1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数； 2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同； 3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据。 课后练习一 无源电网络模型实例 p 解题步骤及求取过程 p确定图示无源的网
3、络的输入ur(t)和输出uc(t) ； p依据回路电压定律，设置中间变量回路电流i(t)，从输入到输出建立原 始微分方程组； p代入消元，获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。 消除中间变量i(t)，化微分方程为规范结构形式 机械位移实例 p 解题依据 运动学定律： 作用力=反作用力 ; F = m a。 p 求取过程 输入外力F(t)；输出质量模块m的位移y(t)。 机械旋转实例 p 解题依据 运动学定律： 作用力矩=反作用力矩 ; M = J a p 求取过程 输入动力矩Mf；输出物体旋转角度或角速度。 直流电动机系统实例 p 解题依据 p基尔霍夫定律； p运动学定律； p直流发电机相关定
4、律。 p 求取过程 电网络平衡方程 电动势平衡方程 机械平衡方程 转矩平衡方程 （空载Ml=0） 液位系统线性化模型求取应用实例 p 求取过程 p确定系统的输入和输出 p建立原始方程组 p非线性模型线性化 p系统微分方程的求取 课后练习一 p 习题1 建立图示电网络输入电压和输 出电压之间的微分方程。 p 习题2 建立图示初箱输入流量和末 箱水位之间的微分方程。（两个 水箱的横截面积分别为C1和C2） 第三节 传递函数 p 问题的提出 p 传递函数的定义及表示形式 p零初始条件下输出象函数与输入象函数的比值。 p有理真分式多项式 p输出响应象函数为： p 传递函数的特征及性质 p 传递函数的求
5、取方法 传递函数的特征及性质 1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的 固有特性，与输入信号类型及大小无关。 2、传递函数只适用于线性连续定常系统。 3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统 可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对 应的传递函数也不相同。 4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统 的传递函数。 5、实际系统中有nm，n称为系统的阶数； 6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。 传递函数的求取方法及应用举例 方法一：依据系统微分方程求确定输入/输出间的传递函数 方法二：依据原始方程组代入消元求传递函数 方法三：电网络系统可利用复
6、阻抗的直接求取传递函数 方法四: 依据系统的输入输出信号求传递函数 方法二举例 解题过程： 注意： 负载效应！ 方法三举例 解题过程： 应用复阻抗概念和分压定理使 电网络传递函数的求取过程大大简化！ 方法四举例 系统单位阶跃输入及零初始条件下的输出响应为： 求传递函数。 第四节 动态结构图（方框图） p 方框图的组成 p信号线 p方框 p引出点 p和点 p 方框图的特点 p系统结构直观明了，且具有明确的物理意义和数量关系，是定量分析 系统性能最直观的图形表示方法； p简化复杂系统传递函数的求取过程； p便于在不同输入或输出情况下全面分析系统性能； p便于进行控制系统的设计与改造。 p 方框图的
7、绘制 方框图的绘制 p绘制依据：基于系统物理模型对应的原始方程组 的象函数表达式，或基于电网络的复阻抗表示形 式。 p绘制思路：从系统的输入到输出，按信号的传递 方向和形式以及传递强度，分别用信号线、方框 、和点或引出点依次表示成图形的形式。 p 应用举例： p双容水箱 p无源网络 课后练习二 双容水箱 依据原始模型 无源网络 无源网络依据复阻 抗概念直接绘制 课后练习二 n习题1 绘制图示电网络的方框图。 求输出电压与输入电压之间的传递函 数。 n习题2 绘制图示液位系统的方框图。 求初级水箱入口流量与末级水箱水位 之间的传递函数。 第五节 方框图等效变换求传递函数 p方框图的等效变换法则
8、p基本变换法则 p串联 p并联 p反馈连接 p移动变换法则 p和点互换 p引出点互换 p和点与方框的互换 p引出点和方框的互换 p等效变换应用举例 变换准则： 变换前后变换部分的所有外部信 号等价！ 课后练习三 基本变换法则 串联 并联 负反馈联结 移动变换法则 n和点互换 n引出点互换 移动变换法则 p和点与方框的互换 p引出点和方框的互换 等效变换应用举例1 X Y 解开铰链为独立回路！ 方法：引出点往一起移动，或和点往一起移动。 等效变换应用举例2 化整为零！ 方法：消除独立的串联、并联和反馈回路 课后练习三 第六节 信号流图和梅逊增益公式 n信号流图的组成 n节点：表示信号。节点分为三
9、种：源节点 、汇节点和混合节点。 n支路：信号传递的方向和大小。 n信号流图与动态结构图（方框图） n对应关系：方框与支路；和点、引出点、信号线与节点。 n由方框图绘制信号流图 n由信号流图绘制方框图 n梅逊增益公式 n利用梅逊增益公式求传递函数 由方框图绘制信号流图 梅逊增益公式 n基本术语 前向通路； 前向通路增益；回路；回路增益；互不接触回路。 n梅逊公式 输入与输出之间的传递函数： 特征式对应于第K条 前向通路的余子式 特征式 前向通路条数 第K条前向 通路的增益 利用梅逊增益公式求传递函数 n基于信号流图 n基于方框图 局部应用梅逊公式， 简化求取过程！ 第七节 控制系统的 典型数学
10、模型 n 系统开环传递函数 n给定输入下的闭环传递函数 n扰动输入下的闭环传递函数 n给定输入下的误差传递函数 n扰动输入作用下的误差传递函数 n系统总输出响应象函数： n系统总误差响应象函数： n特征方程 求 取 举 例 第八节 典型环节的传递函数 比例环节 延迟环节 微分环节（理想和实际） 积分环节 一阶惯性环节 一阶微分环节 二阶振荡环节 二阶微分环节 课后练习四 课后练习四 单元总结 n主要内容 n解题类型 n单元测验 主要内容 n数学模型的定义 n建立数学模型的意义 n数学模型的形式：微分方程、方框图、信号流图和传递函数。 n控制系统数学模型种类：开环、确定输出/输入的闭环、特征方程
11、。 n建立数学模型的方法：理论推导、等效变换和梅逊公式。 n在系统性能分析中，所需系统数学模型的常见种类： 开环传递函数：典型环节的乘积形式、零极点分布形式。 闭环传递函数：给定输入下的闭环和扰动输入下的闭环。 误差传递函数：给定输入下的误差和扰动输入下的误差。 特征方程。 解题类型 n基于物理模型求传递函数（电网络、运动、液位） n基于物理模型绘制方框图求传递函数 n基于定义（输入输出）求传递函数 n基于方框图求传递函数（等效变换、梅逊公式） 开环 确定输出/输入的闭环 特征方程 u 等效变换和梅逊公式的局部应用 u 开环传递函数、各种闭环传递函数、特征方程之间的关系 u 传递函数和微分方程之间的转换关系 单元练习 1、已知单位负反馈系统的开环传 递函数，求系统的单位脉冲响 应和单位阶跃响应。 2、试绘制下图所示无源网络方框图并求 传递函数，其中R1=R2=1，L=1H， C=1F。 3、已知系统结构图如下，试 求系统的传递函数： 123
