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1、Chap 8-1 第8章 置信区间估计 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc 商务统计学(第5版) Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-2 学习目标 在本章中你将学到： n 构建和理解均值和比例的置信区间估计 n 如何根据所要得到的均值和比例的置信区间确定样本容 量 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-3 章节提纲 本章内容 n总体均值, 的置信区间 n
2、当总体标准差已知 n当总体标准差未知 n总体比例, 的置信区间 n确定所需的样本容量 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-4 点估计和区间估计 n点估计是单个数值 n置信区间提供了估计变动的额外信息 点估计 置信区间下界 置信区间上界 置信区间宽度 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-5 能够估计 总体参数 点估计 样本 统计量 (点估计) 均值 比例p X Basic Business Statistics, 11e 20
3、09 Prentice-Hall, IncChap 8-6 置信区间 n有多少不确定性是与总体参数的点估计相关? n区间估计比点估计提供了总体特征的更多信息 n这样的区间估计称为置信区间 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-7 置信区间估计 n区间给出了观测值的一个范围: n考虑样本统计量随着样本的不同而变化 n基于一个样本的观测值 n给出接近未知总体参数的信息 n以置信度表示 n例如95%的置信度， 99%的置信度 n不能为100%的置信度 Basic Business Statistics, 11e 20
4、09 Prentice-Hall, IncChap 8-8 置信区间例子 麦片包装例子 n 总体的 = 368且 = 15 n 如果取容量n = 25的样本，你知道 n368 1.96 * 15 / = (362.12, 373.88) 包括95% 的样本 均值 n当不知道时, 使用X 来估计 n如果X = 362.3 ，区间为362.3 1.96 * 15 / = (356.42, 368.18) n既然356.42 368.18， 基于此样本的区间正确的表述了 但，其他可能容量为25的样本的区间如何? Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice
5、-Hall, IncChap 8-9 置信区间例子 (续) 样本号X下界上界包含? 1362.30356.42368.18是 2369.50363.62375.38是 3360.00354.12365.88否 4362.12356.24368.00是 5373.88368.00379.76是 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-10 置信区间例子 n实践中只选择一个容量为n 的样本 n实践中不知道，因此也不知道 区间是否真正包 含 n但是知道以这种方式构造的区间95%的包含 n因此，基于这个样本，可以有95%
6、的把握相信区 间包含 (这就是置信度是95%的置信区间) (续) 注意: 95% 置信区间是基于我们使用Z = 1.96的事实 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-11 估计过程 (均值, , 未知) 总体 随机样本 均值 X = 50 样本 95%的置信度 介于40 和60 之间 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-12 一般公式 n所有置信区间的一般公式为 : 点估计 (临界值)(标准差) 其中: 点估计是样本统计量估计
7、总体参数 临界值是点估计和所要求的置信度的抽样分布产生的值 标准差是点估计的标准误差 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-13 置信度 n置信度 n置信区间包含未知总体参数 n百分数(低于100%) Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-14 置信度， (1-) n假设置信度=95% n也可写成(1 - ) = 0.95，(故 = 0.05) n一般的相关解释： n构造的所有置信区间95%包含未知的真实参数 n特别的，区间可以
8、包含也可以不包含真实参 数 n没有可能包含在一个特殊区间里 (续) Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-15 置信区间 总体均值 未知 置信区间 总体比例 已知 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-16 的置信区间 (已知) n假设 n总体标准差已知 n总体是正态分布 n如果总体非正态，则使用大样本 n置信区间估计: 其中 是点估计 Z/2 是正态分布的临界值以上的比例为/2对应的数值 是标准差 Basic Business
9、 Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-17 寻找临界值，Z/2 n考虑置信度是95%的置信区间: Z/2 = -1.96Z/2 = 1.96 点估计 置信下限 临界值 置信上限 临界值 Z : X : 点估计 0 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-18 常用置信度 n通常使用的置信度是 90%，95%，和99% 置信度 置信系数, Z/2 值 1.28 1.645 1.96 2.33 2.58 3.08 3.27 0.80 0.90 0.95 0.98
10、 0.99 0.998 0.999 80% 90% 95% 98% 99% 99.8% 99.9% Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-19 置信区间和置信度 置信区间 区间从 扩展到 (1-)x100% 区间包含； ()x100% 不包 含 均值的样本分布 x x1 x2 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-20 例子 n正态总体中的11个电路样本均值电阻为2.20 欧姆。从以往的测试中知道总体标准差是 0.35欧姆。 n
11、确定总体电阻真实均值的置信度是95%的置 信区间。 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-21 例子 n正态总体中的11个电路样本均值电阻为2.20 欧姆。从以往的测试中知道总体标准差是 0.35欧姆。 n解答: (续) Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-22 解释 n我们95%的确定真实均值电阻在1.9932和 2.4068欧姆之间 n尽管真实均值可能在也可能不在这个区间， 但是此种方法形成的区间95%的包含真实均 值 B
12、asic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-23 置信区间 总体均值 未知 置信区间 总体比例 已知 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-24 你知道实际上的吗? n可能不知道！ n几乎在所有的实际商业应用中，是未知的 n如果有一种情形，是知道的，那么也将是知道 的(因为计算需要用到) n如果你真实的知道，则不需要收集样本去估计 它。 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall,
13、 IncChap 8-25 n如果总体标准差 是未知的，我们可以用 样本标准差S来替代。 n这种做法是非常不确定的，因为S随着样 本的变化而变化。 n所以我们用t分布来代替正态分布。 的置信区间 (未知) Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-26 n假设 n总体标准差是未知的 n总体服从正态分布 n如果总体比服从正态，则使用大样本 n用学生t分布 n置信区间估计： (其中 t/2 是具有n -1自由度和/2的累积面积的t分布的临界值) 的置信区间 (未知) (续) Basic Business Statist
14、ics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-27 学生t分布 nt 是一个分布集 nt/2 的值依赖于自由度 (d.f.) n观察值在样本均值计算后是自由变化的 d.f. = n - 1 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-28 如果这三个数的均值是8.0， 那么X3一定是9 (即, X3 不是自由变化的) 自由度 (df) 这里，n = 3，所以自由度= n 1 = 3 1 = 2 (对于一个给定的均值，2个值可以是任意的数字，但是第三个数 是不能自由变化的) 思想：观察值
15、在样本均值计算后是自由变化的 例子：假设3个数字的均值是8.0 令X1 = 7 令X2 = 8 X3是多少？ Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-29 学生t分布 t 0 t (df = 5) t (df = 13) t-分布是钟形的对称的，但 其尾部比正态的“胖” 标准正态 (t 有df = ) 注意： t Z 是n增加 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-30 学生t分布表 上部的尾部面积 df.25.10 .05 11.000 3.078 6.314 2 0.817 1.886 2.920 30.765 1.638 2.353 t0 2.920 表的主体包含t值，但 没有概率 令: n = 3 df = n - 1 = 2 = 0.10 /2 = 0.05 /2 = 0.05 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, IncChap 8-31 选择t分布值 与Z值进行比较 置信 t t t Z 度 (10 d.f.) (20 d.f.) (30 d.f.) ( d.f.) 0.80 1.372 1.325 1.310
