基于斜率的圆锥曲线新定义

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1、基 于 斜 率 的 圆 锥 曲 线 新 定 义!王 伯 年 叶 增 明 李 国 云（ 上 海 理 工 大 学 ， 上 海 ， !#$）摘 要 为 解 决 圆 锥 曲 线 对 圆 、 椭 圆 、 抛 物 线 和 双 曲 线 统 一 的 定 义 问 题 ， 可 定 义 圆 锥 曲 线 是 动 点 与 二 定 点 连 线（ 或 其 中 一 连 线 为 折 线 ） 斜 率 之 积 为 定 值 的 轨 迹 。 此 法 不 但 较 好 地 解 决 了 圆 锥 曲 线 定 义 的 不 统 一 问 题 ， 而 且 数学 推 导 也 异 常 简 单 ， 有 着 明 显 的 优 点 。 此 外 ， 还 论 述 了

2、 按 此 定 义 ， 用 几 何 画 板 画 各 种 圆 锥 曲 线 时 ， 如 何 有 效设 置 生 成 点 的 问 题 。关 键 词 圆 锥 曲 线 定 义 的 统 一 性 双 斜 率 之 积 几 何 画 板 生 成 点! # $%& %()*)+ +( ,+)- ,./0%1 23 45+6%1%&( )*+& ,- .-(/+( 0+ 12*32（ 4+5-67+83 *9 :;&(;&+ 9*6 :-;- 8E* /*5+( ?+-7 E+8; 7?*A- !G&= !&6- 9*6/-= B3 *- /*5+( A*+8 ;- =-6+5&8+*9 8;- -N2&8+*， &=

3、8;- 9*6/ *9 8;- -N2&8+* &6- 5-63 7+/A?-C;- (-6&8+( A*+8 *9 =6&E+( 8;- UVSTHOT0 UVWX, TDY TPP0HOTHWD:Z*?C!# D*C!2C!#!朱 自 强 教 授 推 荐收 稿 日 期 ： ! 年 G! 月 GR 日探 讨 一 种 新 的 统 一 的 圆 锥 曲 线 定 义 ， 是 有 其 积 极 意 义 的 。! 基 本 方 程 的 推 导在 图 ! 中 ， 直 线 ! 和 直 线 是 二 条 动 直 线 ， 各 自 有 一 个 定 点 !（ !， #） 或 !（ ， #） ， 此 二 条动 直 线 的

4、交 点 为 #（ ， $） ； 在 一 定 的 条 件 下 ， 此 交 点 的 轨 迹 可 形 成 特 定 的 曲 线 ， 如 圆 锥 曲 线 。图 ! 二 动 直 线 的 相 交现 设 直 线 ! 的 斜 率 为 %!， 直 线 的 斜 率 为 %， %!与 %的 乘 积 为 %， 当 % 为 定 值 时 ， 点 #（ ，$） 的 轨 迹 是 圆 锥 曲 线 。按 照 直 线 的 斜 率 表 达 式 ， 对 直 线 ! 有 ：$ $ %!（ % !） （ !）对 直 线 有 ：$ $ %（ % ） （ ）以 上 二 式 相 乘 ， 得 到 ：$ % % （ !& ） & ! （ ）上 式 的

5、 % $ %!%， % 为 二 动 直 线 的 斜 率 之 积 。 式 （ ） 尚 可 进 一 步 简 化 ， 如 设 $ % !$ &， 式 （ ）变 为 ：$ %（ % &） （ (）上 式 是 很 简 单 的 二 次 代 数 方 程 ， 用 它 即 可 很 简 单 地 导 出 圆 、 椭 圆 和 双 曲 线 的 方 程 。（ !） % $ % ! 时 ， 生 成 圆此 时 ， 式 （ ） 变 为 ：& $ &（ )）上 式 是 圆 的 标 准 方 程 ， 而 且 此 时 的 & 是 圆 的 半 径 。（ ） % * # 时 ， 生 成 椭 圆此 时 ， 式 （ ） 变 为 ：+& $+（

6、 % %&） $ ! （ ,）如 设 $ % %&， 上 式 变 为 ：+& $+$ ! （ -）#, 数 学 理 论 与 应 用上 式 是 椭 圆 的 标 准 方 程 ， ! 是 椭 圆 长 轴 之 半 ， 是 椭 圆 短 轴 长 之 半 。（ !） # # 时 ， 生 成 双 曲 线此 时 ， 式 （ !） 变 为 ：$%!$& %$%（ #!$） # （ (）如 设 $ #!$， 上 式 变 为 ：$%!$& %$%$ # （ )）上 式 是 双 曲 线 的 标 准 方 程 ， ! 是 双 曲 线 与 $ 轴 交 点 （ 顶 点 ） 横 坐 标 之 正 值 。虽 然 ， 圆 、 椭 圆

7、和 双 曲 线 可 用 式 （ !） 十 分 简 单 地 导 出 ， 但 抛 物 线 却 无 法 导 出 ， 这 有 着 深 刻 的原 因 ， 如 下 所 述 。! 导 出 抛 物 线 方 程 的 途 径圆 、 椭 圆 和 双 曲 线 都 在 $ 轴 上 有 着 与 原 点 & 对 称 的 二 个 顶 点 #和 $， 如 图 # 所 示 ， 但 抛 物线 却 没 有 这 样 的 对 称 点 。 因 为 抛 物 线 是 从 椭 圆 变 成 双 曲 线 或 是 从 双 曲 线 椭 圆 变 成 椭 圆 的 过 渡曲 线 或 极 限 曲 线 ， 它 与 $ 轴 只 有 一 个 交 点 ， 使 得 式

8、（ !） 不 能 直 接 用 于 抛 物 线 。为 此 ， 将 原 来 直 线 # 与 直 线 $ 相 交 的 方 式 作 此 改 变 ： 直 线 $ 不 变 ， 而 与 之 相 交 的 是 折 线 ， 先由 图 # 中 的 点 #到 点 (， 再 由 点 ( 到 点 (（ $， %） 构 成 。 因 此 ， 直 线 $ 的 斜 率 仍 为 ：#$ %（ $ & !） （ #*）而 折 线 中 斜 线 的 斜 率 为 ：# %!可 将 上 式 的 #与 图 # 中 点 #和 点 (（ $， %） 连 线 斜 率 #统 一 表 示 为 ：# %（ )$ + !） （ #）对 于 圆 、 椭 圆

9、和 双 曲 线 上 式 的 ) #； 对 于 抛 物 线 则 ) *。式 （ #*） 与 式 （ #） 相 乘 ， 得 到 ：%$ # （ $ & !）（ )$ + !） （ #$）上 式 的 # #$， 它 是 基 于 斜 率 的 圆 锥 曲 线 统 一 表 达 式 。 对 于 抛 物 线 ) *， 式 （ #$） 变 为 ：%$ !#（ $ & !） （ #!）上 式 是 抛 物 线 标 准 方 程 在 顶 点 位 移 后 变 为 ：%$ $*（ $ & $*） （ #,）的 形 式 ， 只 是 此 时 焦 点 到 准 线 距 离 * 和 顶 点 的 坐 标 $*为 ：* !#%$； $*

10、 !上 式 的 # 可 取 正 值 或 负 值 ， 相 应 于 抛 物 线 在 同 一 顶 点 的 右 侧 或 左 侧 。总 之 ， 式 （ #$） 有 效 地 解 决 了 圆 、 椭 圆 、 双 曲 线 和 抛 物 线 的 统 一 定 义 问 题 ， 而 且 其 推 导 也 十 分简 单 。 基 于 双 斜 率 的 圆 锥 曲 线 的 画 法如 何 将 基 于 斜 率 的 圆 锥 曲 线 定 义 用 于 其 图 形 的 绘 制 ， 尚 需 作 进 一 步 的 探 讨 ， 关 键 在 作 图#-基 于 斜 率 的 圆 锥 曲 线 新 定 义时 ， 将 直 线 ! 和 直 线 的 斜 率 在 图

11、 上 表 示 出 来 。 为 此 ， 以 画 椭 圆 的 图 为 例 ， 说 明 画 法 的 原 理和 步 骤 。图 ! 基 于 双 斜 率 的 圆 锥 曲 线 的 画 法首 先 ， 斜 率 !与 斜 率 !之 积 !、 椭 圆 长 轴 长 之 半 和 图 上 #$ 之 长 （ 其 值 愈 小 愈 好 ） 需 要给 定 ， 或 者 给 定 和 椭 圆 短 径 之 半 %， 再 按 ! # %$!算 出 ! 之 值 。现 采 用 （ 几 何 画 板 ） %为 绘 图 软 件 ， 并 采 用 数 形 结 合 的 方 法 ， 除 了 直 接 的 几 何 画 图 外 ， 还 藉助 有 关 参 数 的

12、计 算 ， 省 略 了 一 些 次 要 的 几 何 作 图 步 骤 ， 并 可 给 出 定 量 的 结 果 ， 具 有 方 法 上 的 简便 性 和 准 确 性 ， 应 该 推 荐 使 用 。 此 外 ， 还 可 将 动 点 的 轨 迹 显 示 为 动 画 式 的 作 图 过 程 。在 图 中 ， 先 画 上 水 平 的 & 轴 ， 在 其 上 设 置 原 点 #、 点 !和 点 ； 过 点 # 画 垂 直 & 轴 的 (轴 ， 并 在 其 上 设 置 生 成 点 )， 它 是 沿 ( 轴 上 下 运 动 的 动 点 。 生 成 点 的 设 置 十 分 重 要 ， 它 是 联 系给 定 的 作

13、 图 条 件 和 需 要 的 作 图 结 果 （ 轨 迹 ） 的 桥 梁 。 设 置 好 生 成 点 ) 后 ， 在 原 点 # 的 右 侧 设 置点 $； 使 得 )$ 线 段 的 斜 率 !为 ：!# #)$#$ （ !&）已 知 !后 ， !可 算 出 ：!# !$!（ !）为 了 使 得 具 有 斜 率 !和 !的 线 段 均 与 生 成 点 直 接 有 关 ， 如 在 图 中 线 段 #* 具 有 斜 率!， 只 需 线 段 #* 之 长 为 ：#* # #)$!（ !(）在 生 成 点 ) 上 下 的 运 动 过 程 中 ， 式 （ !&） 中 #$ 之 值 是 不 变 的 ， 而

14、 #) 之 值 不 断 变 化 ， 使 得 斜率 !不 断 变 化 ， 斜 率 !也 作 相 应 的 变 化 。 最 后 ， 过 点 作 线 段 )$ 的 平 行 线 ， 过 点 !作 线 段)* 的 平 行 线 ， 此 二 平 行 线 的 交 点 +（ &， (） 即 为 符 合 要 求 的 轨 迹 点 ； 随 着 生 成 点 ) 的 运 动 ， 即 形成 符 合 给 定 参 数 的 椭 圆 曲 线 。在 图 中 ， 斜 率 !取 正 值 ， 斜 率 !取 负 值 ， ! 为 负 值 ， 点 +（ &， (） 的 轨 迹 为 椭 圆 ； 如 果 保 持线 段 )$ 不 变 ， 而 将 线 段

15、 )* 画 在 ( 轴 的 线 段 )$ 的 同 侧 ， ! 变 为 正 值 ， 点 +（ &， (） 的 轨 迹 则 为 双曲 线 。 如 果 同 时 画 上 这 样 的 二 点 ， 则 会 同 时 画 出 椭 圆 和 双 曲 线 ， 它 们 分 别 对 应 于 ) ! )相 同 的 椭圆 和 双 曲 线 ， 即 显 示 出 二 条 不 同 的 曲 线 ， 这 是 其 它 的 方 法 难 于 达 到 的 。对 于 抛 物 线 ， 它 的 画 法 更 为 简 单 ， 首 先 求 出 图 * 中 线 段 )!的 斜 率 !： 数 学 理 论 与 应 用! #$ （ !$）图 ! 抛 物 线 的 画 法然 后 求 出 线 段 #% 的 斜 率 !%：!% !#!（ !&）再 按% #!%（ %）将 点 % 设 置 在 & 轴 上 ， 作 点 # 与 点 % 的 连 线 ， 线 段 #% 的 斜 率 即 为 !%。 过 点 # 作 与 & 轴 的 平 行线 ， 过 点 %作 与 线 段 #% 的 平 行 线 ， 此 二 线 的 交 点 ， 即 为 抛 物 线 的 轨 迹 点 。 结 论（ !） 圆 锥 曲 线 可 新 定 义 为 动 点 与 二 定 点 连 线 斜 率 之 积 为 定 值 的