《常见辅助线作法资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常见辅助线作法资料（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、辅助线的作法正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：方法一：从已知出发作出辅助线：DABCEFMN例1已知：在ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=分析：题设中含有D是BC中点，E是AD中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D点作DNCA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=，再证AEFDEN，则有AF=DN，进而有AF=（2）过D点作DMBF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF=方法二：分析结论，作出辅
2、助线ABDCE 例2：如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，求证：ABAC=AEAD分析：要证ABAC=AEAD，需证（或），需证ABEADC（或ABDAEC），这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得ABE=ADC=900(或ADB=ACE=900)又E=C（或B=E）因而得证。方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线ABCDEFM例3：过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E；求证：AEED=2AFFB分析：已知D是BC中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AEED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点
3、作DMEF交AB于M，可得，再证BF=2FM即可。方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线：（1）有弦，作“垂直于弦的直径”ABCDEO例4：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD分析：过O点作OEAB于E，则AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BDABCDE12O（2）有直径，构成直径上的圆周角（直角）例5：已知：如图，以ABC的AC边为直径，作O交BC、BA于D、E两点，且，求证：B=C 分析：连结AD，由于AC为直径，则有ADBC，又，有1=2，由内角和定理得B=C
4、（3）见切线，连半径，证垂直ABCDO123例6：如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB分析：连结OC，由于CD为切线，可知OCCD，易证：1=2，又因为2=3，所以1=3，则可得AC平分DAB（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例7：已知，直线AB经过O上的一点，并且OA=OB，CA=CB；ABCO求证：直线AB是O的切线分析：连结OC，要证AB是O的切线，需证OCAB，由已知可证OACOBC，可得OCA=OCB=900，结论得证。例8：已知，梯形ABCD中，ABCD，A=900，BC是O的直径，BC=CD+AB，AB
5、CDOE求证：AD是O的切线分析：过O点作OEAD，垂足为E，要证AD是O的切线，只要证OE是O的半径即可，也就是说需要证OE=，由于A=900，ABCD，可得ABCDOE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=，所以E点在O上，AD是O的切线。（二）练习1、已知： 如图，在ABC中，ADDB，AEEC求证： DEBC，DEBC2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，ADBC，AEBE，DFCF求证： EFBC，EF（ADBC）3、已知：如图27.3.13所示,在ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证：AE、DF互相平分。4、如图：已知：AB
6、为O的直径，弦CDAB，M为上一点，AM的延长线交DC的延长线于F，求证：AMD=FMC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例1.如图，以RtABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的A分别交BC、AC于点D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求A
7、的半径。解：过A作AHBD于H，则。BAAC，CAB=AHB=90。又ABH=CBA，ABHCBA，。 例2.如图，AB是O的直径,POAB交O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：。证明：过O作OCNP于点C，则。OCNP，POAB，POM=PCO=90。又OPM=CPO，OPMCPO，即。评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例3.如图，AB为半圆的直径，OHAC于H，BH与OC交于E，若BH
8、=12，求BE的长。解：连结BC。 AB为直径， ACBC。又OHAC，AO=BO， OHBC， OHE=CBE，HOE=BCE，OHECBE，。例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆上的一点, CDAB于D, 求证:。证明：连结AC、BC。 AB为直径， ACB=90，1+2=90。又CDAB，ADC=CDB=90，1+3=90，3=2，BCDCAD，即。评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例5.如图，已知MN为O的
9、直径，AP是O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求A的度数。解：连结OP，设A的度数为x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于点P，APOP，A+POA=90，即x+2x=90，解之得x=30，A=30。例6.如图,AB为O的直径,C为O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证1=2。证明：连结OC。DC切O于点C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特
10、殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点A、B、C在O上（AC不过O点），若ACB=60,AB=6，求O半径的长。解：作直径AD，连结BD。ACB与D都是所对的圆周角，D=ACB=60。又AD是直径，ABD=90，。例8.如图，在锐角ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，ABC的外接圆半径为R，求证：。证明：作直径CD，连结BD。CD为直径，CBD=90，。又A=D，即，同理可得，。评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30、45、60、90等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相
11、切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例9.如图，O1和O2外切于点A，BC是O1和O2外公切线，B、C为切点，求证：ABAC。证明：过点A作O1与O2的公切线AM交BC于点M。MA和MB分别切O1于点A、B，MA=MB，同理可得MA=MC，MA=MB=MC，即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上，ABAC。例10.如图，A和B外切于点P，CD为A、B的外公切线，C、D为切点，若A与B的半径分别为r和3r,求：CD的长；B的度数。解：连结AB，连结AC、BD，过点A作AEBD于E。、CD是A和B的外公切线，C、D为切点，ACCD，BDCD。又AEBD，四边形ACDE为矩形，CD=AE，
12、DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r。AB=r+3r=4r，。、在RtAEB中，B=60。评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差）等性质来沟通两圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦（或者作两圆的连心线）例11.如图，O1和O2相交于A、B两点，AD是O1的直径，且圆心O1在O2上，连结DB并延长交O2于点C，求证：CO1AD。证明：连结AB。 AD为O1的直径，ABD=90，D+BAD=90。又C和BAO1都是O2中所对的圆周角，C=BAO1，即C=BAD，D+C=90，CO1AD
13、。例12.如图，O1和O2相交于A、B两点，两圆半径分别为和，公共弦AB的长为12，求O1AO2的度数。解：连结AB、O1O2，使之交于H点。AB为O1与O2的公共弦，连心线O1O2垂直平分AB，O1AH=45，O2AH=30，O1AO2=O1AH+O2AH=75。评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。全等三角形作辅助线的常用方法一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N， （法二：图1-2） 延长BD交 AC于F，廷长CE交BF于G，二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。分析：因为BDC与BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于
