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1、河北师范大学 硕士学位论文 非自治动力系统测度熵的性质与计算 姓名：刘兆丰 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：朱玉峻 20100408 摘 要 本文的主要工作是对非自治动力系统引入了测度熵的概念，并对它的性质和计算进 行了较为细致的研究. 本文分为以下四个部分: 第一部分为引言, 介绍了动力系统中测度熵研究的背景及意义， 并给出了非自治动力 系统测度熵的定义. 第二部分, 给出了非自治动力系统测度熵的几个性质. 例如，设 (X,B,m) 为概率空 间, f1, = fi i=1 为保持测度 m 的映射序列, 则对于任意 k N , 我们有 hm(f k 1, ) khm(f1, )
2、, 其中 f k 1, 是由映射序列 fk i = fk (i1)k+1 i=0 所诱导的非自治动力系统. 另外， 我们还证明 了非自治系统的测度熵具有仿射性质, 即设 (X,B,m) 为概率空间, f1, = fi i=1 为 X 上 的保测映射序列. 对于任意 f1, -不变概率测度 m, 和 p 0,1 , 有 hp+(1p)m(f1, ) = ph(f1, ) + (1 p)hm(f1, ). 第三部分, 讨论了非自治动力系统测度熵与拓扑熵之间的关系, 得出了如下不等式 hm(f1, ) h(f1, ) + log2. 第四部分, 讨论了在随机动力系统的框架下， 非自治动力系统的一些结
3、果的改进. 关键词 :非自治动力系统; 随机动力系统;测度熵 III Abstract The main task of this paper is to introduce the concept of the measure-theoretic entropy for the nonautonomous dynamical systems and study its properties and calculation method. There are four sections in this paper. In the fi rst section, we give some bac
4、kground of the study of the measure-theoretic entropy and introduce measure-theoretic entropy for the nonautonomous dynamical systems. In the second section, we give some properties for the measure-theoretic entropy of the nonautonomous dynamical systems. For example, if(X,B,m) is a probability spac
5、e and f1, = fi i=1preserves a measure m on X, then for any k N, we have hm(f k 1, ) khm(f1, ), wheref k 1, is induced byfk i = fk (i1)k+1 i=0. In addition, we show that the measure- theoretic entropy for the nonautonomous dynamical systems has the affi ne property. That is, if (X,B,m) is a probabili
6、ty space, m, are f1, -invariant measures and p 0,1, then hp+(1p)m(f1, ) = ph(f1, ) + (1 p)hm(f1, ). In the third section, we discuss the relationship between the measure-theoretic entropy and the topological entropy and obtain the following inequality hm(f1, ) h(f1, ) + log2. In the forth section, w
7、e improve some results of the nonautonomous dynamical systems in the framework of the random dynamical systems. Keywords: nonautonomous dynamical systemsrandom dynamical systemmeasure- theoretic entropy IV 学位论文原创性声明 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文非自治动力系统测度熵的性质与计算 ，是在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不
8、 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者（签名） ： 指导教师确认（签名） ： 年 月 日 年 月 日 学位论文版权使用授权书 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在 年解密后适用本授权书） 论文作者（签名） ： 指导教师（签名） ： 年
9、 月 日 年 月 日 II 1引 言 1958年，Kolmogorov在遍历论中引入了测度熵的概念，并利用测度熵的同构不变性 证明了 “谱同构的两个符号与三个符号的Bernoulli移位不是同构的” ， 从而成功解决了困 扰遍历论研究者20年的著名问题. 这标志着熵的概念正式进入到动力系统领域的研究之 中. 自从测度熵的概念进入到动力系统理论以后，对它的研究立刻就成为动力系统研究 的重要内容之一， 而且伴随着动力系统理论的丰富与发展， 测度熵在动力系统研究中扮演 着越来越重要的角色. 测度熵与刻画系统复杂性的其它动力性质诸如： 混沌、 Lyapunov指 数以及分形维数等都有着密切的联系. 这
10、些联系的自然性根源是：1.从著名的Shannon- McMillan- Breiman定理（简称SMB定理）可以看到，测度熵反映的是在统计意义下系统 所具有的轨道个数随时间演化的指数增长率. 所以说，“熵越高， 轨道越多, 系统越混乱”. 这和混沌理论所揭示的“不可预测性”本质具有统一性. 2.作为SMB定理的拓扑版本 Brin-Katok的局部熵公式从信息论角度说明， 测度熵又可解释为系统邻近轨道信息丢失的 速度. 这自然与描述系统相邻轨道的分散速度的Lyapunov指数有着密切的联系. 在光滑遍 历理论中占据核心地位的Ruelle-Pesin熵公式正是这种联系的有力佐证. 3.自上世纪70
11、年 代Mandelbrot创立了分形几何学以来， 在动力系统理论中， 人们利用分形几何学的工具和 思想加深了对吸引子拓扑结构的研究和认识，并得到了分形维数与熵和Lyapunov指数之 间的关系. 基于测度熵在动力系统研究中的重要地位，与其相关的研究一直是人们关注的热点 领域. 特别地， 在确定性动力系统（即由一个映射迭代而产生的系统， 又称为自治动力系 统） 测度熵的研究中， 已有大量经典而深刻的结果， 参见1,2. 相比较而言， 非自治动力 系统（即由一列映射相继复合而产生的系统）测度熵的研究则刚刚起步，还有很多问题 有待探讨. 非自治动力系统的研究之所以受到人们的关注，原因在于当我们用数值
12、计算 的方法模拟确定性系统时， 舍入误差的存在自然导致非自治动力系统的产生. 另外， 非自 治动力系统与更具实际价值的随机动力系统的研究也有着密切的联系. 下面我们引入非自治动力系统测度熵的基本概念和记号. 设 (X,B,m) 为概率空 间, f1, = fi i=1 为一个映射序列. X上的恒同映射记为 Id . 令 N 表示全体正整 数的集合. 对于任意 i N,令 f0 i = Id, 对于任意 i,n N, 令 fn i = fi+(n1) fi+1 fi,fn i = (fn i )1= f1 i f1 i+1 f 1 i+(n1). ( f1 i 只是表示逆像, 因为我们并未假设每
13、一个 fi都可逆). 记号 f1, 表示 fi i=1 映射 序列, (X;fi i=1) 表示由映射序列 fi i=1 所诱导的非自治动力系统. 如果对于所有映射 1 fi,i N ,都保持同一个概率测度 m , 则称 f1, 保持测度 m 或者称 m 为 f1, 的不变 测度. f1, = fi i=1 的测度熵定义如下 定义 1.1. 设 (X,B,m) 为概率空间, f1, = fi i=1 为保持测度 m 的映射序列. 若 为 X 的有限划分, 则 hm(f1, ,) = limsup n 1 nHm( n1 _ i=0 f1i), 这里Hm(Wn1 i=0 f1i) = P An1
14、 i=0f i 1 m(A)logm(A), 称为 f1, 关于分割 的测度熵. f1,的测度熵定义为 hm(f1, ) = suphm(f1, ,), 这里是对 X 的全体有限划分取上确界. 注记 1.2. 这里 limsup 不可以替换为 lim , 因 Hm(n1 i=0f i 1 ) 不是次可加序列, an+p=Hm( n+p1 _ i=0 fi 1 ) =Hm( n1 _ i=0 fi 1 ) ( n+p1 _ j=n f j 1 ) an+ Hm( n+p1 _ j=n f j 1 ). Hm(Wn+p1 j=n f j 1 ) 与 ap= H(Wp1 i=0 fi 1 ) 没有大
15、小关系. 乍一看来，在上述定义中，所有fi,i N, 都保持同一个概率测度 m 的要求很强. 事 实上，如果每一个 fi,i N 都取自于一个保守系统, 特别地, 都取自于一个保体积系统, 这样自然诱导出符合上述条件的非自治系统. 另外，在下面的讨论中我们会发现, 即便在 这么强的条件下, 自治系统中关于熵的许多经典结果仍然不能推广至非自治动力系统的 情形. 我们还注意到，最近W.Ott，M.stenlund和L.-S.Young3对非自治动力系统的概率分 布的演化进行了研究， 他们证明了对扩张映射序列来说，“记忆”以指数的速度缺失. 本文的主要目的是研究非自治动力系统测度熵的基本性质与计算. 在第二节中, 讨论 了非自治动力系统测度熵的一些基本性质， 如非自治系统测度熵具有仿射性质; 在第三节 中, 主要讨论了非自治动力系统测度熵与拓扑熵之间的关系, 尤其是得到了在度量群上的 仿射变换序列的测度熵的结果; 在第四节中, 讨论了在随机动力系统的框架下，非自治动 力系统的一些结果的改进. 2 2非自治动力系统测度熵的基本性质 本节将讨论非自治动力系统测度熵的一些基本性质. 下面的命题来自于1. 命题 2.1. 设 (X,B,m) 为概率空间, A,C,D 为 X 的有限划分,则 (1) Hm(A C|D) = Hm(A|D) + Hm(C|A D)
