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1、分类号： 密级： 学校代码： 学号： 1 0 1 6 5 2 0 0 7 1 0 7 6 7 逢穿虚f 筢大学 硕士学位论文 非线性方程的精确求解及其可积系统 作者姓名： 学科、专业： 研究方向： 周运华 应用数学 孤立子理论 2010 年4 月 _ _ _ _ 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学
2、有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：指导教师签名： 签名日期：年月日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本文的研究内容如下：对一类孤子方程的解进行统一构造，并讨论它的一些性质，并 且将之推广：其次，讨论了烈方程族的无穷守恒律及其H a m i l t o n 结构；最后，借助达布 变换在
3、求解非线性方程族中的重要作用求解A K N S 方程。具体内容如下： 第一章，介绍了孤立子理论，非线性方程的精确求解和H a m i l t o n 结构及达布变换的 发展及未来的前景，同时介绍了现今已取得的重要成果和重要应用。 第二章中主要以K d v 方程和2 + I 维s i n - G o r d o n 为例，在前人的研究成果上做了统一 的构造和推广。通过利用修正的里卡蒂方程得到一个统一构造精确行波解的方法，并且 举出两个例子来展现这种方法在处理非线性波方程上的广泛应用。 第三章，从有限为动力系统L i o u v i l l e 可积性，即系统中的方程能表示为H a m i l t
4、 o n 方程，且存在n 个独立的互相对合的守恒量，同时在对孤子方程的研究中发现许多无限 维的L a x 可积系统也具有类似的性质。本文通过矾方程谱问题构造一个R i c c a t i 方程， 得到它的无穷守恒律。同时改进文献l I 明中的基底，利用迹恒等式得到它的H a m i l t o n 结 构。 ， 第四章，主要介绍了达布变换在求解非线性方程组中的重要应用，本文就以A K N S 入 手，从它的一个解得到它的n 个解，并在此基础上扩展成负指数次幂进一步讨论研究。 关键字：精确求解；H a m iIt o n 结构；无穷守恒；达布变换 t h ei d e aa n di m p o
5、 r t a n c eo fD a r b o u xt r a n s f e I r m a t i o n s ，t h es o l u t i o n so fAK NSe q u a t i o n sa r e s o l v e d C h a p t e r1 i s d e v o t e dt or e v i e w i n gt h eh i s t o r ya n dt h ed e v e l o p m e n to fh es o l i t o n t h e o r y ，s o l v i n g n o n l i n e a re q u a t
6、 i o na n dD a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s A tt h es a m et i m e , t h e a p p l i c a t i o n so f t h e s em e t h o d sa r ep r e s e n t e d C h a p t e r 2m a i n l yi n t r o d u c e st h eu n i f o r mc o n s t r u c t i o n so fK d ve q u a t i o na n d 2 + l d i m e n s i o ns i
7、 n - G o r d o ne q u a t i o n s ，w h i c ha r eb a s e do nt h ea c h i e v e m e n t so ft h ep r e s e n t e d d i s s e r t a t i o n C h a p t e r3f i r s tp r e s e n t st h ei n t e g r a b l i t yo fi n f i n i t ed y n a m i c a ls y s t e m T h a ti s t os a y ，t h e e q u a t i o n s i n
8、t h es y s t e mc a l lb e e x p r e s s e d a sH a m i l t o n i a ne q u a t i o n s A n dt h e r e a r en i n d e p e n d e n tc o n s e r v a t i o ne l e m e n t s S o m es i m i l a rp r o p e r t i e sW f f l ef o u n di nm a n yi n f i n i t e d i m e n s i o n a lL a xi n t e g r a b l es y
9、 s t e m I nt h ep a p e r ，t h ei n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a wo fam c c 撕 e q u a t i o nW a sg i v e nt h r o u g ht h eK Ne q u a t i o n A n dt h e no b t a i n si t sH a m i l t o n l a ns t r u c t u r e C h a p t e r4i n t r o d u c e sm a i n l ya b o u tt h ea p p l i c a t i o
10、 n so fD a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n si nt h e s o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sa n dad i s c r e t ep r o b l e m , A K N Se q u a t i o n , w h i c hW a se n l a r g e d a n o t h e rn e wf o r m K e yW o r d s ：T h ee x a c ts o l u t i o n ；T h eH a m i l t o n i a ns t
11、r u c t u r e ；I n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w ；T h e D a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s 一一 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 手商要I A b s W a c t 1 I l 绪论1 1 1 孤立子理论研究的发展历史和重要应用1 1 2 非线性方程( 族) 精确求解的发展概况1 1 2 1B i i c M u n d 变换和D a r b o u x 变换1 1 2 2 双线性方法2 1 2 3 其他方法。2 2 新的精确行波解的统一构造及其应用3 2 1 方法介
12、绍3 2 2 应用举例3 2 2 1K d v 方程3 2 2 22 + 1 维s i n G o r d o n 方程6 3K N 方程族的无穷守恒律及其H a m i l t o n 结构1 2 3 1 基本概念1 2 3 2K N 方程族的无穷守恒律1 2 3 3K N 方程的H a m i l t o n 结构1 4 3 4 结论1 7 4 一类新的达布变换及其应用18 4 1 达布变换的简单介绍1 8 4 2 负指数次达布变换一1 8 4 3 验证其在时间t 部分的不变性2 2 结论。2 3 参考文献2 4 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 6 致谢2 7 - - 辽宁师范硕士研究
13、生学位论文 1绪论 1 1孤立子理论研究的发展历史和重要应用 孤立子作为一门有着相对悠久历史的学科分支，在近些年的发展中取得了很多重要 的成就，特别是那些跟物理学紧密联系的学科，更是显现出它的重要作用，因此也得到 了迅猛的发展。 孤立子的现象的发现最早是由英国的一名叫J S R u s s e l 的科学家于1 8 3 4 年发现的， 他偶然发现在狭窄的河床中行走的船突然停止前进，就会在运河中形成一个波形不变的 水晕，并且在行进的过程中波的形状和速度无明显的变化，正是具有这样的不变性和稳 定性，R u s s e l 凭借着自身的实力和扎实的数学基础对这类波作了进一步的研究，取得重 要的成就，为后人的研究奠定了基础。 1 8 9 5 年，荷兰数学家K o r t c w e g 和他的学生d eV r i e s 瞪1 在对孤波的研究中发现波可以近 似为小振幅的长波，并得到了浅水波运动方程，由此孤波的存在性得到了理论上的证实， 而不仅仅局限于实验观察。然而，这种波的性质到底是什么，是否真的会保证在相撞后 仍然保持波形不变还是未得到根本解决。 直到1 9 6 5 年，美国数学家K r u s k a l 和Z a b u s k y 利用计算机对K d v 方程的两个波速不同 的孤波进行研究。得到了两波相撞的整个过程，并验证了孤波的形状和速
