《非线性方程xaxqai（q0）的hermite正定解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性方程xaxqai（q0）的hermite正定解（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、山东大学 硕士学位论文 非线性方程X+AXA=I（q0）的Hermite正定解 姓名：杨树林 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：张玉海 20080822 山东大学硕士学位论文 非线性方程X + A 木X q A - , - - Z ( q 0 ) 的H e r m i t e 正定解 杨树林 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到 方程的解在现实生活中，方程x + A + “ A = J r 的来源相当广泛，包括控制理 论，动态规划，统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域由于 H
2、c r m i t e 正定解在实际中应用较多，所以我们只讨论此类解的情况，以下所说 的方程的解均指H e r m i t e 正定解关于此类方程的求解通常涉及到三个问题： ( 1 ) 可解性问题，即方程有解的充分和必要条件；( 2 ) 数值求解问题，即有效 的数值方法； ( 3 ) 解的扰动分析 首先，本文讨论了方程 x + A 4 X q A = ， ( 1 ) 在q 0 时的可解性，主要结论如下： 定理l 方程( 1 ) 有解的充要条件是存在非奇异矩阵眠使得 A = ( W W ) 一口2 Z 其中矩阵 是列酉正交的，此时方程( 1 ) 有解x = w 肛方程所有的解 都可以用这种方式构
3、造 定理2 若A 是非奇异矩阵，方程( 1 ) 有解的充要条件是存在酉矩阵P ，Q 和对角矩阵F 0 。 0 ，使得 A = P F q 2 Q y ：P 其中r + 2 = ，此时X = P F P 是方程( 1 ) 的解 山东大学硕士学位论文 定理3 对于方程( 1 ) ，不可能存在两个解x ( ) 和x ( 2 1 ，使得 x ( 1 x ( 2 ) 或x ( 1 x ( 2 定理4 若方程( 1 ) 有正定解X ，则 ( a ) p ( X 学A A 8 x 警) l ( b ) p ( X 一：1 A + A ，x 牛) l ( C ) 若A 为非奇异矩阵，则x a A 定理5 若，
4、f 分别是方程( 1 ) 的解X 的最小和最大特征值，A 是A 的特征 值，则三者之间有如下关系： 等外f 、宁 其次，当q 0 时，本文通过两种不同的迭代方法，利用不动点定理分别 求出r 方程( 1 ) 的迭代解，并且讨论r 迭代解的收敛性 定理6 如果A 为非奇异矩阵，当0 l 时，若I I A 一A 一1 | | s ( 斋) 9 ，则 ( a ) 方程( 1 ) 有唯一解X ，且满足0 x 南 ( b ) 此解可以由以下迭代给出： 溉+ 1 = 陋“( 一) A 。】1 q 佗= 0 ，1 ，2 ，( 2 ) 其中X o 0 - s - I 】 ( c ) 令6 = ( 赤) i ，则
5、 I I X , , 一剐! 禹I I x ，一Y o l | ，I I X 一x I I _ 1 ，0 0 T h e o r e m1E q ( 1 ) h a sas o l u t i o ni fa n do n l yi fA a d m i t st h ef o l l o w i n gf a c t o r i z a t i o n ： A = ( 1 4 彤) 一2 Z w h e r eWi san o n s i n g u l a rs q u a r em a t r i xa n dc o l u m n so f t h i sc a s eX = W 4W
6、i 8as o l u t i o na n da l lt h es o l u t i o l l st t 粥“ o r t h o n o r m a l I n c a nb ef o r m e di nt h i sw a y T h e o r e m2F o ra n yi n v e r t i b l em a t r i xA C “- , E q ( 1 ) h a sas o l u t i o ni fa n do n l y i ft h e r ee x i s tu n i t a r ym a t r i c e sPa n dQ a n d ( h a
7、g o n a lm a t r i e sr 0a n d 0w i t h r + 2 = Is u c ht h a t A = P + r q 2 Q P I nt h i sc a s eX = P F Pi sas o l u t i o no fE q ( 1 ) V 山东大学硕士学位论文 T h e o r e m3T h e r ed on o te x i s tt w oe o m p a r e a b l es o l u t i o n st oE q ( 1 ) I ti si m p o s s i b l e t h a tf o ra n yt w os o
8、 l u t i o nX ( 1 ) a n d X ( o fE q 。( 1 ) s u c ht h a t X ( 1 ) X ( 2 ) o rX ( 1 ) X ( m T h e o r e m4I fE q ( 1 ) h a sap o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o nX ，t h e n ( a ) f ，( X 学A A + X 警) l ( b ) ( X 学。4 + A x 警) 1 ( c ) I fAi si n v e r t i b l e t h e nX 一4 A A T h e o r e m5I f7
9、 i st h em i n i n m mc h a r a c t e r i s t i cv a l u eo fX ，fi st h em a x i m u mc h a r - a z t e r i s t i cv a l u eo fX Ai st h ec h a r a c t e r i s t i cv a l u eo fA ，t h e nw eh a v e ： S e c o n d ，t h i sp a p e ro f f e r st w od i f f e r e n ti t e r a t i v em e t h o d st oa p p
10、 r o x i m a t et h es o l u t i o n s o ft h eE q ( 1 ) w i t hq 0a m l - c o n v c r g ( y n c eb P h a v i o r so ft kb a s i cf i x e dp o h l ti t l r a t i o n s o h l t i o n sa r ei n v e s t i g a t e db yt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s 。 T h e o r e m6S o p p o s et h a tAi si n v e
11、r t i b l ea n dl I A A I l 雨1 ，0 1 ，t t l e n ( a ) E q ( 1 ) h a sam f i q u es o l u t i o nX a n dt h es o l u t i o ns a t i s f i e s0 x 看与， ( b ) T h es o l u t i o nc a nb eo b t a i n e db yt h ef o l l o w i n gm a t r i x , s e q u e n c e I ) C o 0 ：煮玎 ( c ) eT h ee s t i m a t e s 墨+ l
12、= 【A 一( 卜一) A 一1 】1 q n = 0 ，1 ，2 ， 弱一X l l 1 ，0 0 ， ( 2 ) I I Q I l 旧- 1 | I ， 则对方程 X A X 一1 A = Q 爻一A * X 。A = 亩 的任意解X ，又；都有 料和觜三 粉+ 觜( 2 + 耕) 并且，如果 鲋I I 赢 3 山东大学硕士学位论文 则 觜I X l 三 错+ 赞1 4 1 ”， | I 一训lP T 在方程( 1 3 ) 研究的基础上，J G I v a n n o v ，V I t t a s a n o v 和B V M i n c h e v 将 此类问题进行了扩展，在【1 3
13、中讨论了方程X 士A t x 一。A ：，的情况首先， 此文在第三节提供了方程( 1 3 ) ( g = 一2 ) 的两个迭代方法即： 1 = c r I ，Q 0 ； I 咒，= 晒j 而，s = 0 l ， 疋X o 十= 。：7 1 1 ，, t + r 以。O 耳；。4 ，s ：0 州1 一 ( 1 4 ) i 疋十l = ，+ 以。x 2 4 ，s = ， r 一7 其次，此文给出了方程( 1 3 ) 的解存在的充分条件，其重要结果概括如下： 1 若A 非奇异且满足以下条件 ( i ) A 4 A ， (iii)沁J2Amin(ALA*)(卫厕-C&-1)2“ ，、 其中a 夕0 ：
14、则方程( 1 3 ) 有正定解 2 若( i ) A 4 A n 2 ( n 1 ) ， ( i i ) 等一击A 4 A o ， 0 使得 A = P + F g 2 Q Z P 其中r + 2 = ，此时X = P + r P 是方程( 1 4 ) 的解 证明必要性 若方程( 1 7 ) 有解，由定理( 2 1 ) 知：存在非奇异矩阵w ：使得 A = ( 仇7 。) 一口2 Z 山东大学硕士学位论文 且 Z 是列酉正交的，则 兰 可扩展为一个酉矩阵( 兰V ) 由C S 分解定理【文_ 献】知存在酉矩阵阴，U 2 P , K ，对角阵K 0 ，0 ，使得： ( 兰u V ) = ( 管u
15、 。2 ) ( K - K E ) ( 孑曼) ， 其中，r + 2 = ， 则7 = U , K P Z = u 2 E g , 由于彤为非奇异矩阵，故K 0 令Q = P U 2 ，F = K 2 0 ，可知Q 为酉矩阵，r + 2 = j ，所以 A = ( 彤+ ) 一q 2 Z = ( P K 晖U t K P ) 一口2 巩P = P F q 2 Q E P 并且，X = w W = P 2 K 。W 以K P 一口2 U 2 E P = P K + K P = P K 2 P = P 。r P 充分性 若存在酉矩阵P ，Q 和对角矩阵F 0 , E 0 ：F 十2 = ，使得= P F q 2 Q E P ，令X = P F P ，得 X 十4 X q A = P + F P + ( P F 一口2 Q E P ) ( P + F P ) q ( P r q 7 2 Q E P = P ( r 2 ) P ) = ， 即x = P + F P 是方程( 1 7 ) 的解 证毕 定理2 3 对于方程( 1 7 ) ，不可能存在两个解x ( 1 ) 和x ( m ，使得 x ( 1 x ( 2 ) 或x ( 1 x ( 2 ) 证明分两种情况 ( 1 ) q
