《非线性奇异问题和脉冲方程解的相关研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性奇异问题和脉冲方程解的相关研究（139页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上海师范大学 博士学位论文 非线性奇异问题和脉冲方程解的相关研究 姓名：孙彦 申请学位级别：博士 专业：计算数学 指导教师：曾六川 20100101 上海师范大学博士学位论文中文摘要 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学中一个重要的分支学科它具有丰富的理论和先进的 方法为处理实际问题所对应的各种数学模型，如非线性微分方程，偏微分方程和非线性积 分方程等提供了有效的理论工具国内的张恭庆教授，陈文山原教授，郭大钧教授，孙经先教 授等在菲线性泛函分析的各个领域都取得了辉煌成就( 见文献 2 8 1 1 4 1 1 ) 非线性奇异问题是近几十年来非线性泛函分析关注的一个重要方面半序B a n a c h
2、 空间 中非线性奇异微分方程和脉冲微分方程是微分方程研究中一个可望获取丰硕成果的重要 研究课题由于它不断出现在各种应用学科中，例如：大气对流、生物、医学、化学、经济 学、流体力学、核物理、边界层理论、非线性光学等近年来倍受国内外数学家及自然科 学家的高度重视 本文利用非线性泛函分析中发展起来的的多种先进方法，如拓扑度方法，锥与半序方 法，不动点指数理论，不动点定理结合微分方程中的上下解方法，最大值原理，比较原理等， 来研究几类非线性奇异微分方程边值问题，脉冲微分积分方程边值问题和测度链上动力方 程边值问题正解的存在性，唯一性，解的迭代序列，误差估计及构造收敛于解的迭代算法 等，都得到了一些有意
3、义的新成果，其中不少已在国内外重要学术期刊上发表如J M a t h A n a l A p p l ，J C o m p u t A p p l M a t h ，( A p p l M a t h C o m p u t ，( A p p l M a t h L e t t ， N o n l i n e a rF u n c t A n a l A p p l ，( A c t aM a m H u n g a r ) ) ，应用数学学报等 本文共分七章主要内容如下： 在第一章，介绍本文的背景知识及主要工作，并给出了后面几章要用到的非线性泛函分 析中的有关预备知识和引理 在第二章，主要讨
4、论下列非线性奇异二阶和四阶常微分方程组 ， Iz ( 4 ) ) = f ( t ，z ，可) ，I j c ，z ，Y ) ( 0 ，1 ) R + R + ， l 一矿( t ) = g ( t ，z ) ，( t ，z ) ( 0 ，1 ) j 矿， Iz ( o ) = z 7 ( o ) = z ( 1 ) = z ”( 1 ) = 0 ， ly ( 0 ) = V ( 1 ) = 0 ， 其中f C ( ( o ，1 ) XR + R + ，R + ) ，夕C ( ( 0 ，1 ) R + ，R + ) ，矿= 【0 ，+ 。) ，f ，夕在t = 0 或t = 1 处奇异，而且允
5、许，在z = O O k 奇异已知文献多数得到的是边值问题正解存在的充 分条件，寻求正解存在的充分必要条件是重要而有趣的，但很困难，而我们获得了新结果 在适当的条件下，利用不动点定理和单调迭代技巧，得到了弹性梁方程组正解存在唯一性 的新成果，也得到了解序列的收敛速率及误差估计，这是对解序列的一个新刻划我们还注 意到解的迭代序列是明确的，这有助于数值实现 在第三章，研究了非线性奇异边值问题 I 中文摘要 上海师范大学博士学位论文 在第一节，我们考察下列奇异二阶N e u m a n n 边值问题( N B V P ) I 矿+ k 2 z = y ( t ) g ( t ，z ) ，0 0 ，0
6、 0 是一个参数，在( o ，盯( 1 ) ) 上u ( t ) 0 ，使得让( 芒) 的6 一导数与积 e o 1 器存在，u ，h c ( ( o ，盯( 1 ) ) ，( o ，+ ) ) ，c ( 【o ，盯( 1 ) 】【o ，+ ) ，【o ，+ ) ) ，口，b ，c ，d 0 ，且 一南+ 焉佃厂雨A s 。5 丽+ 币而扣c 上雨 0 。 利用锥上的不动点指数理论，得到了测度链上S t o r m L i o u v i l l e 边值问题正解存在的新的判 别准侧，我们的结果推广并改进了许多已知结果 在第三节，我们考虑下列测度链上二阶非线性微分方程m 一点奇异边值问题 茁(
7、 t ) 4 - g ( t ) f ( t ，z ) = 0 ，0 0 ，0 0i sap a r a m e t e r , u ( t ) 0o n ( 0 ，盯( 1 ) ) s u c ht h a tb o t ht h ed e l t ad e r i v a t i v eo fu ( t ) a n dt h e i n t e g r a l 片1 u A ( ，r ) e x i s ta n du ，h c ( ( o ，盯( 1 ) ) ，( o ，+ 。o ) ) ，c ( 【0 ，盯( 1 ) 】【0 ，+ o o ) ，【o ，+ o 。) ) ， 口，b ，
8、c ，d 0 ，s u c h t h a t r ：2 b ca d + u ( 口( 1 ) )恤厂嵩 。 B ya p p l y i n gf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m sf o ro p e r a t o r so nac o n e ，e x i s t e n c ec r i t e r i aa l e d e v e l - o p e df o rp o s i t i v es o l u t i o n so fS t u r m - L i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u
9、ep r o b l e m O u r r e s u l t si m p r o v ea n d e x t e n dm a n yr e c e n tr e s u l t s I nS e c t i o n5 3 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gs e c o n d 。o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn o n l i n e a rs
10、 i n g u l a rm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s X A A ( t ) + g ( t ) f ( t ，z ) = 0 ，0 0 ，使得B ( O ，R ) 3U ，而B ( O ，R ) = 【z E I 忙0 I l y l l ，VY o a ( P ) ，i ( ZQ ( P ) ，P ) = 0 ； ( i i ) 如果0 a ( V ) 并且l l T 训 o ， ( i i ) B x p z ，对任意z K I “ 1a Q 及0 1 ， 第二章弹性梁方程组正解存在的充分必要条件及迭代逼近 上海
11、师范大学博士学位论享 并且 g ( t ，叫z ) t U 一南g ( t ，茹) ，对任意( t ，z ) ( 0 ，1 ) XR + ，t I J 1 定义方程N ( 2 1 。1 ) 的C ( I ) C ( J ) 正解，是指( z ，Y ) C ( I ) nC 1 ( ，) f qC 2 ( ，) nc 4 ( J ) C ( I ) n C a ( J ) 满足方程组( 2 1 1 ) ，并J i b ( t ) ，! ，( 亡) 在J 上不恒为零( z ，可) 称为C 3 ( J ) C 1 ( J ) 正解， 是指z ( 3 ) ( o + ) 及z ( 3 ) ( 1 0
12、) 存在，( o + ) 与y ( 1 一o ) 均存在( z ，Y ) 称为方程组( 2 1 1 ) 的正解， 如果( z ，Y ) 是方程组( 2 1 1 ) 的解，并g z ( t ) 0 ，u ( t ) 0 ，对任意t J 我们用忙I I = m a xJ x ( t ) l 表示C ( J ) 中的范数令C + ( ，) 表示C ( ，) 中非负连续函数全体， 显然C + ( j ) 是C ( j ) 中的一个锥 众所周知( z ，Y ) c o ，i n C l 【o ，i l n C 幢【0 ，i n c 4 【o ，l 】xC O ，i l n C a o ，1 】是方程组(
13、 2 1 1 ) 的 一对正解当且仅当( z ，9 ) c o ，l 】Xc o ，l 】是下列非线性积分方程组 z ( 亡) = G x ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ，y ( s ) ) d s ，对任意t I ， J ! ， ( 2 2 3 ) 可( t ) = G 2 ( t ，s ) 夕( s ，z ( s ) ) d s ，对任意t I 嗣一对I E J 眸 显然，上述非线性积分方程组( 2 ，2 3 ) 等价于下列非线性积分方程 z ( t ) = Z 1G - ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ，Z 1G 2 ( s ，r ) 夕( 丁，z ( 丁)
14、 ) d 丁) d s 对任意亡j 现在，我们定义非线性积分算子A ：D 。一D 。如下： ( A z ) ( 亡) = Z 1G z ( ，3 ) ，( 3 ，z ( 我Z 1G 。( s ，丁) 夕【丁，z ( r ) ) d 丁) 幽，对任意t J ， 其中D e = 扛c + ( J ) I 存在正常数尥，仇z 使得m x e 2 ( t ) x ( t ) 尥e 2 ( t ) ，t I ) 及 舰= s u p m 0Ix ( t ) m e 2 ( 亡) ，t ，) ，尥= i n f M 0lx ( t ) M e 2 ( t ) ，t J ) 本章m ， 磊采用上述取法令矿仇
15、是算子A 的一个不动点则 矿( t ) = i C i ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) Z 1G 2 ( s ，丁) 9 ( r ，矿( 丁) ) d r ) d s ，对任意亡J 通过直接计算，我们得到 V 4 k ) = f ( t ，z + ( nZ 1G 2 ( 芒，r ) 9 ( 丁，z + p ) ) d r ) d t ，对任意亡， 上海师范大学博士学位论文第二章弹性粱方程组正解存在的充分必要条件及迭代逼近 因为G l ( o ，s ) = G 1 ( 1 ，s ) = 0 ，爰G 1 ( o ，s ) = 象G l ( 1 ，s ) = 0 ，0s ts1 那么我们得到 z ( o ) = ( z ) 7 ( o ) = z + ( 1 ) = ( z ) ( 1 ) 于是，通过直接计算，我们得到( 可) ”( t ) = g ( t ，z ) 和旷( o ) = 旷( 1 ) = 0 所以，( 矿，Y ) 是方 程组( 2 1 1 ) 的一对解 于是，方程组( 2 1 1 ) 存在正解等价于非线性算子A 存在正的不动点，即如果z ( 亡) 是A 在C o ，1 】中的一个不动点，那么方程组( 2 1 1 ) 有一对正解 ，卢) ，可以表示为 IQ ( 亡) = z ( t ) ，t I ， Ip ( t ) = f o I C
