《非线性刚性延迟积分微分方程的稳定性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性刚性延迟积分微分方程的稳定性（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华中科技大学 硕士学位论文 非线性刚性延迟积分微分方程的稳定性 姓名：易晶晶 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：刘少平 20070530 华中科技大学硕士学位论文 I 摘摘 要要 本文研究了非线性刚性延迟积分微分方程的稳定性。 对),(D-类问题的常延 迟系统，给出了稳定和渐近稳定的判断条件，并采用复化梯形公式离散积分项的方 式得到了诸如单支方法、线性-方法、一般线性方法等数值方法的稳定性条件；对 于变延迟系统，考虑了一类延迟量满足Lipschitz条件且最小Lipschitz常数小于1的 非线性变延迟积分微分方程初值问题，减弱了通常方法对延迟量的限制条件，得到 了相应数值方法的稳
2、定性结果。本文还将微分方程的散逸稳定性研究推广到延迟积 分微分系统，取得了常延迟和变延迟积分微分系统的散逸稳定性结果。 关键词关键词：刚性 延迟积分微分方程 稳定性 散逸性 华中科技大学硕士学位论文 II Abstract This paper is devoted to studying the stability of nonlinear Stiff Delay Integro-differential Equations (DIDEs).For the system of delay with ),(D-problem, we gained the conditions of stabi
3、lity and asymptotic stability. When the trapezoid formula was used to approach to Integration ,the stability of numerical methods such as one-leg methods, general linear method can be obtained. When the variable delay statisfies Lipschitz condition and the minimum Lipschitz contant L是仅具有适度大小的 Lipsch
4、itz常数，问题满足该条件，即知问题允许出现刚性）及 满足条件 2 ),(),(,Revuxvtfxutfvu是积分步长，E是位移算子： 1nn Eyy + =， n y 是真解( )y t在 0n ttnh=+的值 的逼近， 0 ( ) k j j j xx = =， 0 ( ) k j j j xx = =是生成多项式。它们是实系数且既约的，满 足(1)0,(1)(1)1=。 将求解常微分方程初值问题(2.2.1)的k- 单支方法(2.2.2)用于求解延迟积分微分方 程初值问题(3.1.3)得 ),)(,)()( nnnn GyEtEhfyE= n=0,1,2, (2.2.3a) ),)(
5、,)(,)( )(,)(,)()(,)(,)( 2 1 1 1 2 1 mnmnn nnn m k knknnn yEtEtEg yEtEtEgyEtEtEghG = + += (2.2.3b) 这里mh/=, m是一任意给定的正整数，nhtn=, E是位移算子; 1+ = nn yEy, n y 是 )( n ty的逼近，0n时，)( nn ty=， n G 是 dytEg n n tE tE n )( )( )(,)(的逼近，由复 化梯形公式(2.2.3b)获得， = = k j j jx x 0 )(和 = = k j j jx x 0 )(是生成多项式，系数为实 数且没有公因子，并设1
6、) 1 () 1 (, 0) 1 (=。 类似地.应用相同的方法于问题(2.1.2)有 华中科技大学硕士学位论文 8 ),)(,)()( nnnn HzEtEhfzE= n=0,1,2, (2.2.4a) ),)(,)(,)( )(,)(,)()(,)(,)( 2 1 1 1 2 1 mnmnn nnn m k knknnn zEtEtEg zEtEtEgzEtEtEghH = + += (2.2.4b) 这里 n z 和 n H 分别是, )( n tz和 dztEg n n tE tE n )( )( )(,)(的逼近，0n时， )( nn tz=。 对任意给定的kk 是对称正定矩阵 ij
7、 gG =，范数 G 定义为 ,),( 2 1 1, = ， 使得当 1 tt 时有 MkdxexMye t t dssdxx t t t t 1 )( 0 )( )( 0 00 + 这里) 1 , 0)1 ( 2 1 1 +=vk 华中科技大学硕士学位论文 22 引理 3.1.2：设)(t，)(t，)(t和)(ty是区间),+上的连续函数，它们满足 + + +, 0, 0 是 N R 中标准内积范数。设)(ty是问题(4.1.1)(4.1.2)的一 贯真解，则 )()( 2 0 2 2 + yety t , 0t (4.1.3) 及 ),max()( 0 yty , 0t (4.1.4) 而
8、且问题(4.1.1)- (4.1.2)定义了 N R上的一散逸动力系统，对, 0有界吸引集 ), 0( +B这里), 0( +B是一球心为 0，半径为 +的开球。 将以上研究范围扩展到延迟动力系统，得到 设X是一实或复的有限维空间，时有 . )( )( 2 + + 开球)/(, 0(+= BB是其吸引集。 4.2 积分微分方程的散逸稳定性 4.2.1 常延迟积分微分方程的散逸稳定性 设X是实或复的有限维空间，时，有 华中科技大学硕士学位论文 29 + + 22 2 )( c ty (4.2.3) 即系统是散逸的。对任意0，开球), 0( 22 + + = c BB是其吸引集。 4.2.2 Ru
9、nge- kutta 方法的散逸稳定性 设),(cbA表 示 一 给 定 的Runge- kutta方 法 ，)( ij aA =是 一ss阵 ， T s bbbb),.,( 21 =和 T s cccc),.,( 21 =是两向量， 假设, 10 c),.,2, 1(si =。 令mh/= 是给定步长，定义节点,.),1 , 0( )( hcttnnht jn n jn +=)( 1+n ty的逼近 1+n y由以下方法 定义 = += s j j n jijn n i GYfahyY 1 )()( ),( si,.,2 , 1= (4.2.4a) = + += s j j n jjnn G
10、Yfbhyy 1 )( 1 ),( (4.2.4b) 这里 j n j GY, )( 分别是)(hcty in +与 + + + hct hct jn jn jn dyhctg )(,(的逼近 = = += s r mn r mn r n jjr s r m q s r qn r qn r n jrg n rr n jjrj YttgahYttbhYttfahG 1 )()()( 111 )()()()()( ),() ,(),(为 PQ 公式。我们恒设问题(4.2.4)有唯一解 sn s nn XYYY),.,( )()( 2 )( 1 定义 4.2.1 设 H 是一个有限 Hilbert
11、空间，L 是一个实常数，方法),(cbA（积分 项用 PQ 公式逼近）称为有限维)(lD散逸的。如果用该方法以步长mh/=求解问 题(4.2.1)，(4.2.2a)(4.2.2b)且1)2(3 2 2 2 22 r使 得对任意的初值函数)(t存在)(sup),( 0 0 thn t =都有 0 ,nnryn (4.2.5) 特别在)0(D散逸的方法简称为D散逸的。 定义 4.2.2 设lk,为实常数，方法),(cbA称为是),(lk代数稳定的，如果存在一 华中科技大学硕士学位论文 30 对角的非负矩阵),.,( 21s ddddiagD =，使得 ij MM =是非负定的，这里 = DelAb
12、De Delek M T T 2 21 + DAlAbbDADA DAlebDe TTT TTT 2 2 (4.2.6) 对任意非负矩阵),.,( 21s ddddiagD =，我们在 s H 中定义一个伪内积 = =时，可得 .) 1(4)(61 2 0 2 2 2 2 22 2 hdmRbsmAdchyn+ 这里 = + + +=)(),(,(),(Re2)(),()(tytytftytyty dt d tY )()(2)()(2)(2tYttYtt+ 上式两边同乘以 d t e 0 )(2 得 )()()(2) )( 00 )(2)(2 tYttetYe dd tt + 对于任给的,0
13、21 +tt上式两边在区间, 21 tt上积分得到 dxxYxxetYetY t t dd tt + 2 1 00 )()()(2)()( )(2 1 )(2 2 + 2 1 20120 )(2)( 00 )(2( 01 )(2 t t xttt dxxYetYe ).1 ()(2)( )(2 0 0 )(2( 01 )(2 120 2 1 20120 tt t t xttt edxxYetYe + (5.1.5) 当 1 , 0t时，取, 0 21 ttt=则由(5.1.5)并注意到0 00 + ，我们得到 ).1 ()(0()( 00 2 0 0 2 0 00 0 0 tt eeYtY +
14、 + + (5.1.6) 由于0 0 ，所以. 1 0 2 0 00 0 0 + + t e 记),1 ( 0 2 0 0 t er =于是由(7.1.6),当 1 , 0t时我们有 .)0()(rYtY+ (5.1.7) 而 .)0() 1 (rYY+ (5.1.8) 其中 =. 0 2 0 00 0 0 t e + + 一般地，类似于上面的证明，对于任给的非负整数m，当) 1,+mmt时有 .)()(rmYtY+ (5.1.9) 而 华中科技大学硕士学位论文 34 .)() 1(rmYmY+ (5.1.10) 于是，当) 1,+mmt时，通过递推我们得到 .)0(2)2( 2)2()()( 1 0 2 rrYrrmY rrmYrmYtY m j jm + + = L (5.1.11) 由于, 10=bak
