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1、储油罐的变位识别与罐容表的标定摘 要本文是一个储油罐的变位识别与罐容表标定问题，通过对罐体容量的计算，得出罐体的储油量与油位高度的一个数学模型。问题一：分别对不变位和变位两种情况建立模型，然后把理论储油量与实际储油量的差别建立一个跟油位高的函数关系式，整合到理论模型中，减少误差，从而得出：不变位罐体的储油量与油位高度的一个数学模型为：纵向变位4.1的储油量与油位高度的一个数学模型为文章正文中的公式（6）。通过这个我们知道由于油罐发生变位，使得通过油位高得到的储油量要比实际储油量要高。并根据储油量与油位高的数学模型建立不变位和变位4.1的间隔位1cm的罐容表标定值（见附件）。然后针对一般纵向倾斜
2、，我们分五种情况进行分析，分别得出五种情况下，储油量与油位高的数学模型，罐体变位后使得罐容表的结果要比实际储油量要高。问题二：本文建立了罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的数学模型，并由模型确定了附件2中数据所对应的倾斜角：，。并给了此种变位的油位高间隔位10cm的罐容表标定值，并且通过数据验证了我们所建的模型的正确性与稳定性。一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内
3、油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模
4、型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、模型假设1、模型建立过程中不考虑储油罐的腐蚀磨损情况。2、本模型中把计算出的储油罐的容积近似为储油量。3、 由于理论储油量与实际储油量
5、存在差异，可把这个差值与油位高拟合出一条曲线，近似看作一些外界因素所导致的误差，整合到所求关系式中，得到比较精确的模型。三、符号说明S 油体截面面积记为 油位计测出的油位高度值 罐体低端（下陷端）的油位高度值 任意截面的油位高度为L 任意截面距储油罐左端的距离 球冠体的拱凸度四、问题分析与模型的建立及拟合问题一为研究罐体变位后对罐容表的影响，就需对变位前后罐容表的变化进行分析比较，需分别构建变位前后的储油量与油位高度的关系模型。因此，我们把问题一分为两种情况讨论。一、 变位前储油量与油位高度的关系模型任取垂直于储油罐底端的一个截面，可知该截面是一个椭圆。以椭圆形储油罐截面椭圆长半轴a、短半轴b
6、分别为横纵轴，建立如图所示的直角坐标系。为求油体体积，利用积分的方法来计算截面面积，再求出体积。图中阴影部分为罐中油体截面，油体截面面积记为S。 图一 根据所建立的直角坐标系，可得椭圆方程是，则 (1) 由此我们计算出该油位高度的储油量： (2)其中，。公式(2)即为我们建立的理论模型。为了验证该模型，我们利用Matlab软件，以附件一中表一（无变位累计进油量）中的数据检验此模型的拟合度。得到如下图像： 图二观察发现理论模型曲线要高出实际储油量的曲线，即理论模型所得储油量要比实际储油量高，差的比值均在3.4%左右。由于壁厚、罐内非油物体所占体积、温度等等外界因素均会引起误差。因此，为进一步提高
7、拟合度，减小误差，我们建立储油量的理论模型值与实际值之间的差值与相应油位高度h之间的关系模型。利用MATLAB画出与h的图像（其中纵轴为理论模型值与实际值之差，横轴为相应的油位高），如图三所示。图三利用MATLAB拟合此曲线方程，可得： (3)为了进一步提高模型的拟合度，我们将这一差值在原模型上减去，即得到储油量与油位高的一个新的模型： (4)公式(4)即为不变位时储油量与油位高的关系模型，该模型的误差控制在了0.01%以内我们就进一步完善了模型，通过利用附件一中的数据检验，模型的误差百分比控制在了0.1%以内。二、 变位后油位高度与储油量的关系当罐体变位后，对于固定的值，当罐内的油量处于不同
8、的范围时，罐内的油位高度与储油量间的数学关系是不同的，所以需要研究在不同的油量范围情况下，不同的油量高度和储油量之间的数学模型。通过分析总结，我们认为有如下五种情况：（一）当液面盖住所有罐底时即在纵向变位度，油位计所测油位高度满足1.2-0.4h02.05的情况下，油体部分的任意截面为椭圆的一部分，如图五。 图四参照（1）可得：；假设为油位计测出的油位高度，为罐体下陷端的油位高度值，任意截面的油高为；因为罐体纵向变位，油体任意截面的油高是连续变化的，所以直接建立连续性数学模型，通过几何关系将任意截面的油高h用该截面距下陷端的距离L和纵向变位角度来表示，即； 再通过以L为微元对面积积分，从而得出
9、油体体积： （二）当液面未全盖住罐底，但油位表示数仍大于0.当时（如图五），油体部分任意截面的面积参照（1）可得；由于油体未覆盖全部罐底，故对面积积分时，积分上限发生改变，此时有 图五 图六（三）当油液面漫过了油罐下陷端顶点但未漫过油位探针所在孔处时即当时（如图六），由于这种情况下，有一部分油体的截面是整个油罐截面，而有一部分的截面仍为椭圆的一部分，所以我们小组把此时的油体体积分两部分计算。1、油体截面为完整椭圆部分的体积：；2、油体部分为椭圆一部分的体积：；所以该情况下油体的体积；（四）当储油量大于时油位表示数始终为1.2.此时液面漫过了油位探针所在孔。（五）当储油量小于时油位表示数始终为0
10、.这一临界状况的体积是液面正好漫过油位探针下端处时的油体体积。此时，而液面高度则变为； 为了验证上述模型的正确性，我们需使用附件一中表三表四的数据对模型进行拟合。由于附件中给定的油位高度均在1.2-0.4h02.05的范围内，其中，所以我们选择上述情况的第一种情况进行检验。即油面高度和储油量之间满足（5）式，利用MATLAB，我们计算出其中为油位计所测油位高，a=0.89，b=0.6.我们以附件一中表三的油位高度为原始数据，将其带入上述模型中，计算出了相应的储油值。见图（图中须有模型测算值及实际数值）。通过对比模型测算的油量值与实际油量值，我们发现误差百分比在5%左右浮动，这一误差是可以接受的
11、。为了进一步缩小模型测算值与实际数值间的误差，我们尝试建立测算值与实际值间的差值与相应油位高的函数关系，通过在MATLAB中画差值与油位高的图像，如图 图八 图七对于上图我们利用MATLAB拟合，差值与油位高间近似满足下列关系此我们得出，利用上述模型进行测算时，测算值与实际值间的差值与相应的油位高之间是存在近似的函数关系的，为了进一步拟合模型，减小误差。我们在原模型的基础上减去这个差值，建立新的油面高度与储油量之间的数学模型，即对于这一新的模型，我们进一步缩小了由于壁厚、温度等因素造成的误差，误差范围控制在1%以内，极大提高了模型的拟合度。（6）式就是变位后储油量与油位高度之间的模型。三、罐体
12、变位后对罐容表的影响由（6）式我们给出了油位高度与储油量间的模型，我们通过将附件一中表三的油位高度代入（3）中，算出了变位后由系统通过油位高度给出的油量值，这即为变位前的罐容表（见附件一），这一值是有较大误差的。我们再通过将同一油位高度值代入（6）中，给出了准确的变位后罐容表（见附件二）。通过比较变位前后的罐容表我们认为，变位使得罐容表给出的油量值大于实际值。四、由（6）式我们给出了变位后间隔0.01m的罐容表标定表（附件二）问题二 为建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，我们首先建立罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。如图，油罐发生横向偏转角后，油位计所
13、示油位高度记为，即图中DF=，EDC=，图中为过截面圆心且垂直于截面圆水平切线的线段，AB=R，HC为过液面与油位计交点的平行于AB的线段。则有， ，所以，于是我们得到对应的实际液面高应为 上述求的过程，修正了由于油罐体 横向偏转造成的油位高度差值。我们记这一液面高为，即。但由于罐体同时还发生了纵向倾斜，所以此时的并非为实际的油位高度。的值在图中应为MC的长度，为了由油位计的示数得到正确的储油量，我们用来表示油罐中心处的截面油高H。如图，AC为过C点平行与罐底MN的的直线，MC与AN均垂直于罐底，因为，于是油罐中心处截面油高到此我们就利用已知的油位计所测油位高度、纵向倾斜角度参数及横向偏转角度三个量表示出了油罐中心处截面油位高。下面我们参考其他文献，对不同范围内的所对应的储油量进行计算。1. 当 （如图） （7）对于两端球冠体部分的容油量按下面的方法计算，其中为拱凸度，即为 （8） 由于罐体发生了纵向倾斜，使得罐体在两端的油位高是不同的，球冠部分高端的油位高球冠部分低端的油位高 （9） 于是有和的计算同（8）式，只是在计算时用代换（8）式中的，计算时用代换（9）中的。于是有油罐体储油量2. 当时，油面较低，未完全漫过罐底，此时=0，罐内油量满足。这时罐内储油量的长和在储油长中点垂直于罐底的高分别为 （10） (11)的计算同（7）式。但需将（9）中的H、L分别用上述、
