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1、第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003 年 11 月 随机非光滑力学系统离散模型的建立 随机非光滑力学系统离散模型的建立 冯奇 （同济大学 上海 200092） 摘 要：摘 要： 近年来，非光滑力学引起极大的关注，因为非光滑模型不仅可以应用于力学系统的框架， 而且可以应用到 电网络和神经网络研究中。带单向约束的非光滑动力系统能分成不同的类型问题，它们或多或少反映了不同的研究 者的兴趣。其中一个题目是关于非光滑系统的庞加莱映射的建立。采用该方法能大量地节约计算机时间，但不幸的 是仅有极简单的系统才能导出其庞加莱映射。对于确定性系统，这个问题已被采用解析方法，数值方法和试验方法 研
2、究，但是对于随机系统，至今能找到的文献不多。在本文中，作者介绍自己在随机非光滑力学领域的研究成果。 其中包括： （1）系统地建立了一类随机碰撞系统的离散模型； （2）建立艇用动力系统的近似离散模型； （3）建立了 一类随机摩擦系统的离散模型；研究结果表明这些系统具有复杂的非线性性质。 关键词： 关键词： 非光滑力学，随机碰撞系统，随机摩擦系统，平均庞加莱映射 Discrete Models on stochastic non-smooth mechanical Systems FENG Qi (Tong Ji University，shanghai, 200092) Abstract: Rec
3、ently, scientists and engineers pay attention to the non-smooth mechanics, as non-smooth models overstep the framework of mechanical systems, since they also apply for instance to electrical and neural networks. The study of non-smooth dynamical systems subject to unilateral constraints can be split
4、 into different classes that more or less reflect the interest of the different groups of researchers. One title of them is modeling of Poincar map on non-smooth systems. With this potential method one can save a lot of times on computer. Unfortunately, even for very simple systems, it may be imposs
5、ible to obtain the impact Poincar map. For deterministic systems this problem has always been studied by analytical, numerical and experimental methods, but for random system, up to now one can find few references. In this paper, results by author studied in the field of stochastic non-smooth mechan
6、ics will be presented. Among them one may find the following ones: (1) systemic modeling of discrete models on a class of random vibro-impact systems; (2) modeling of discrete models 基金资助：国家自然科学基金赞助，No.10072040 作者简介：冯奇（1946-） ，女，上海人，教授，博士 1 for marine engine; (3) modeling of discrete models on a cla
7、ss of random friction systems. The results show that those systems possess complex nonlinear behaviors. key words: non-smooth mechanics, random vibro-impact systems, random friction systems, mean Poincar map 1 引言引言 近年来，非光滑力学引起极大的关注，因为非光滑模型不仅可以应用于力学系统的框架， 而且可以 应用到电网络和神经网络研究中。在这个主题中已发表了许多论文，文献1中，对 100
8、0 多篇有关文 章进行了详细综述，指出调查这类系统是很困难的，主要因为这类系统是非连续的，间隙类型的。 事实上非光滑系统是由一个常微分方程，微分代数方程和调协微分方程的混合杂交系统，通常的积 分方法是无能为力的；其次，如果一个力学系统有 n 个单向约束，确定其可能约束组合中的唯一真 实发生的一组是困难的，因此，强烈需要一种数值计算方法能处理这种杂交的非光滑的系统。一条 广义的途径是对于整个动力学过程建立离散时间模型，即庞加莱映射。如果该映射可明显写出，那 么得到的一个离散时间系统，它可以容易被积分，所需的计算机时间仅是通常积分的 1/1000，但不 幸的是甚至对非常简单的系统，导出其映射的显式
9、表达都是不可能的。因此至今，极大多数工作局 限在简单的确定性系统范畴。 确定性非光滑系统已被采用解析方法，数值方法和试验方法研究，但是对于随机系统，至今能找到 的文献不多。在本文中，作者介绍自己在随机非光滑力学领域的研究成果。其中包括： （1）系统地 建立了一类随机碰撞系统的离散模型； （2）建立艇用动力系统的近似离散模型； （3）建立了一类随 机摩擦系统的离散模型；研究结果表明这些系统具有复杂的非线性性质。 2 一类随机碰撞系统一类随机碰撞系统 在文献2-5中，作者导出了一类随机碰撞系统的碰撞庞加莱映射的通式，通过实例分析，指出该类 系统的复杂的非线性性质。这一类随机碰撞系统可归之于下面的数
10、学问题： ( )( ) = = = +=+ + kiNiN kiN ksd ttgEgE ttmigE tttFtFKqqCqM , , 2 , 1, 0 , & & & （1） 式中，和i N gE i N g E & 分别为第 j 个可能接触点的平均相对位移和平均相对速度，上标+，-分别 表示碰撞前后，为碰撞时间。 （1）式中第一式表示系统在相继两次碰撞之间（即自由相）的运动 方程，它具有随机，光滑性质，并且方程中无高阶项，因此，自由相的封闭形式解可得到。 （1）式 中第二，三式分别表示系统在接触相，接触点的位移连续条件和碰撞方程。由于系统可能有 m 个接 触点，其可能的约束组合有种，因此
11、，决策真实发生的约束组合是第二个需要解决的问题， 当 m 个数不大时，可以通过解 m 个超越方程，并取其最小值为碰撞时间间隔，从而可以导出平均碰 撞庞加莱映射。文献5给出该映射的通式。 k t 12 m 如果自由相方程的第 j 个固有频率为零（0= j ），因系统带有空隙单元，则自由相方程为非线性 性质，其映射的通式如下： 2 = + + + 1 1 1 k j k j k j qE qE XE & ( ) () () 1 1 1 222 1 1 + + + + + += kj k k jkj eqEdeupeqE k j t t kj t jkj & ( ) jk t t jkj dqqE
12、k k += + + 1 1 & （2） 如果自由相方程的第 j 个固有频率不为零（0 j ） ，则自由相方程为线性性质，其映射的通式如 下： ()( )( 1 1 1 exp1 exp exp 1 + + + + = + kj k jj t t j k jkj k j AXEduBtA XEAXE k k ) （3） Mesh plane 1 1 1 V1 e 图 1 齿轮啮合模型 Fig.1 Mechanical model of mesh 由于版面限制，在此仅给出代表性结果。图 1 给出齿轮啮合模型， （0= j 情况） 。图 2-3 展示其随 机 Rattling 振动分别考虑叠加噪声
13、和调幅噪声情况时的分叉图。图 2 指出系统在叠加噪声情况，通 过周期倍分叉和间隙混沌的路径通往随机混沌，而在图 3 调幅噪声情况，几乎处处混沌，看不出经 典的路径2 ，5，6，7，10。 图5给出由四个不对称布置的带刚性限位装置的隔振器支撑的艇用主机力学模型， （0 j 情况），本例仅考虑三自由度模型。图6-7给出主机振动的第三模态平均速度的 功率谱。 图6表示外激励幅值为2620N， 此时第三模态平均速度的功率谱指出周期性质， 而当外激励幅值增加到2650N时，图7指出宽带谱的性质，表示系统具有随机混沌9 ，10。 3 图 2 频域内分叉图（叠加噪声） Fig.2 The bifurcati
14、on diagram in the frequency（added by noise） 图 3 频域内分叉图（调幅噪声） Fig.3 The bifurcation diagram in the frequency(modulated with noise) d L2L-LL LL-LL k 11 2 z1x y 2 图 4 主机结构图 Fig.4 The structure diagram of the marine engine 4 0100200300400500 0 2 4 6 8 10 12 14 x 10 4 Pvv3 图 5 第 3 模态平均速度的功率谱图（p=2620N） Fi
15、g.5 The power spectrum of the third modal mean velocities 0100200300400500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Pvv3 图 6 第 3 模态平均速度的功率谱图（p=2650N） Fig.6 The power spectrum of the third modal mean velocities 3 带刚性限位装置的艇用设备抗冲隔振系统的离散模型带刚性限位装置的艇用设备抗冲隔振系统的离散模型 为了防止大冲击作用引起的艇用机电设备过大位移，一般采用 Stop 限位。当采用刚性
16、 Stop 限 位时，设备可能与 Stop 发生碰撞，反而增加加速度，则可能引起设备破坏。因此，正确设计限位装 置的前提，是建立其合适的力学模型。 带刚性限位装置的艇用设备抗冲隔振系统是一类非线性系统，其非线性由以下三方面因数组 成： （1）刚体欧拉方程本身非线性； （2）隔振器弹簧阻尼非线性； （3）碰撞现象属于非光滑，非线 性性质。我们的目的在于考虑主要矛盾，合理取舍这些非线性因数。根据我们的研究，由于 Stop 的 作用，带 Stop 的隔振器在振动过程中，被限制在线性范畴，因此，实际可以按线性弹簧阻尼器考虑； 带刚性限位装置的艇用设备抗冲隔振系统组成一类碰撞振动系统(Vibro-impact system), 碰撞作用 必
