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1、线性空间练习题一、单项选择题R3中下列子集（ ）不是R3的子空间A BC D二、判断题1.设则是的子空间.2、已知为上的线性空间，则维(）2.3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组线性表出，则维(W)s4、设是线性空间V的子空间，如果则必有三、1已知,是的两个子空间，求的一个基和维数2已知关于基的坐标为（1，0，2），由基到基的过渡矩阵为，求关于基的坐标四、设是数域P上的n维列向量空间，记1.证明：都是的子空间；2. 证明：.线性变换练习题一、填空题1设是线性空间的一组基，的一个线性变换在这组基下的矩阵是则在基下的矩阵_，而可逆矩阵T_满足在基下的坐标为_ .2设为数域
2、上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换：,则_，_，_ .3复矩阵的全体特征值的和等于_ ，而全体特征值的积等于_ .4设是维线性空间的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为_变换 .5数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为_维线性空间，它与_同构.6设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为_ .二、判断题1设是线性空间的一个线性变换，线性无关，则向量组也线性无关.（）2设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩的零度，有 （）3在线性空间中定义变换：，则是的一个线性变换.（）4若为维线性空间的一个线性变换，则是可逆的当且仅当0.（）5设为线性空间的一个线性变换，为的一
3、个子集，若是的一个子空间，则必为的子空间. （）三、计算与证明1设，问为何值时，矩阵可对角化?并求一个可逆矩阵，使.2在线性空间中定义变换： （1）证明：是的线性变换.（2）求与（3）3若是一个阶矩阵，且，则的特征值只能是0和1.欧氏空间练习题一、填空题1设是一个欧氏空间， ，若对任意都有，则_2在欧氏空间中，向量，那么_，_3在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么_，_4两个有限维欧氏空间同构的充要条件是_5已知是一个正交矩阵，那么_，_二、判断题1在实线性空间中，对于向量，定义，那么构成欧氏空间。( )2在维实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。 ( )3是维欧氏空间的一
4、组基，与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则。( )4对于欧氏空间中任意向量，是中一个单位向量。( )5是维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。( )6设是一个欧氏空间，并且，则与正交。( )7设是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。( )8若都是欧氏空间的对称变换，则也是对称变换。( )三、计算题1把向量组，扩充成中的一组标准正交基. 2求正交矩阵，使成对解角形。四、证明题1设，为同级正交矩阵，且，证明：2设为半正定矩阵，且，证明：3证明：维欧氏空间与同构的充要条件是，存在双射，并且 有 小 测 验 九一、填空题1、已知三维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为。2、设在此
5、内积之下的度量矩阵为 。3、在n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为 。4、在欧氏空间中，已知，则 ，与的夹角为 （内积按通常的定义）。5、设为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 。二、已知二次型（1）t为何值时二次型f是正定的？（2）取，用正交线性替换化二次型f为标准形三、设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为（1）令，证明是一个单位向量；（2）若与正交，求四、设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：证明：（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.五、已知是对称变
6、换，证明：的不变子空间的正交补也是的不变子空间小测验(六)一、填空题1、已知是的一个子空间，则维（V）， V的一组基是.2、在P4中，若线性无关，则k的取值范围是.3、已知a是数域P中的一个固定的数，而是Pn+1的一个子空间，则a，而维(W).4、设Pn是数域P上的n维列向量空间，记则W1、W2都是Pn的子空间，且W1W2，.5、设是线性空间V的一组基，则由基到基的过渡矩阵T，而在基下的坐标是.二、计算与证明1、 在线性空间P22中， 1） 求的维数与一组基.2） 求的维数与一组基.2、在线性空间P4中，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标，其中3、设1) 证明：在与A可交换的矩阵的全体W是一个子空间；2) 求W的维数和一组基；3) 写出W中矩阵的一般表达式。4、证明：是的一组基，并求在此基下的坐标。5、V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令证明：W1、W2皆为V的子空间，且6、设是的任意两个非平凡子空间，证明：
