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1、第三章 简单的优化模型 -静态优化模型 3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 消费者的选择 3.5 生产者的决策 3.6 血管分支 3.7 冰山运输 现实世界中普遍存在着优化问题. 建立静态优化模型的关键之一是根据 建模目的确定恰当的目标函数. 求解静态优化模型一般用微分法. 静态优化问题指最优解是数(不是函数). 简单的优化模型(静态优化) 3.1 存贮模型 问 题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出. 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元
2、，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小. 要 求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系. 问题分析与思考 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元. 日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元. 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元. 平均每天费用950元 平均每
3、天费用2550元 10天生产一次,平均每天费用最小吗? 每天费用5000元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数. 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数. 目标函数每天总费用的平均值. 周期短，产量小 周期长，产量大 问题分析与思考 贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小. 模 型 假 设 1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 建 模 目 的 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每
4、天总费用的平均值最小. 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理. 模 型 建 立 0t q 贮存量表示为时间的函数 q(t) T Q r t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0. 一周期 总费用 每天总费用平均 值（目标函数） 离散问题连续化 一周期贮存费为 A =QT/2 模型求解求 T 使 模型解释 定性分析 敏感性分析参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响 T对c1的(相 对)敏感度 c1增加1%, T增加0.5% S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或r增加1%, T减少0.5% 经济批量订货公式（EOQ公式） 用于订货供应情
5、况: 不允许缺货的存贮模型 模型应用 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 回答原问题c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天订货一次(周期), 每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货. 思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别? 允许缺货的存贮模型 A B O q Q r T1t 当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失. 原模型假设：贮存量降到零时 Q件立即生产出来(或立即到货 ). 现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足. T 周期T, t=T1贮存量降到零
6、一周期总费用 一周期 贮存费 一周期 缺货费 每天总费用 平均值 （目标函数） 一周期总费用 求 T ,Q 使 为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T, Q记作Q. 允许缺货的存贮模型 不允许 缺货 模型 记 允许 缺货 模型 不 允 许 缺 货 允许 缺货 模型 O q Q r T1tT 注意：缺货需补足 Q每周期初的存贮量 R 每周期的生产量 R （或订货量） Q不允许缺货时的产量(或订货量) 存 贮 模 型 存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的 重要理论基础, 也有实际应用. 建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下 可以不考虑(习题1)? 建模中假设生产能力为无限大(生产时
7、间不计), 如果生产能力有限(大于需求量的常数), 应作怎 样的改动(习题2)? 3.2 生猪的出售时机 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg. 问 题 市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售? 如果估计和预测有误差，对结果有何影响? 分 析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大. 求 t 使Q(t)最大 10天后出售，可多得利润20元. 建模及求解 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8gt 销售收入 R=pw 资金投入 C=4t 利润 Q= RC 估计r=2
8、， 若当前出售，利润为808=640（元） t 天 出售 =10 Q(10)=660 640 g=0.1 =pw 4t 敏感性分析 研究 r, g微小变化时对模型结果的影响. 估计r=2， g=0.1 设g=0.1不变 t 对r 的（相对）敏感度 生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%. r t 敏感性分析 估计r=2， g=0.1 研究 r, g微小变化时对模型结果的影响. 设r=2不变 t 对g的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低g增加1%，出售时间提前3%. g t 强健性分析 保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售. 由 S(t,r)=3 建议过一周后(t=7)重新
9、估计 , 再作计算. 研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 . w=80+rt w = w(t) p=8gt p =p(t) 若 (10%), 则 （30%） 每天收入的增值 每天投入的资金 利润 3.3 森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量. 问题 分析 问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决
10、定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小. 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 问题 分析 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形. t1t2Ot B B(t2) 分析B(t)比较困难, 转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度). 模型假设 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度). 2）t1tt2, 降为x (为队员的平均灭火速度). 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 . 假设1）的解释 r
11、B 火势以失火点为中心，均匀向四 周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比. 面积 B与 t2 成正比 dB/dt与 t 成正比 模型建立 b O t1tt2 假设1） 目标函数总费用 假设3）4） 假设2） 模型建立 目标函数总费用 模型求解 求 x使 C(x)最小 结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数 其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数 b O t1t2 t 模型 应用 c1,c2,c3已知, t1可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果 解释 c1烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用, t1开始救火时刻, 火势蔓延速度
12、, 每个队员平均灭火速度. 为什么? ,可设置一系列数值 由模型决定队员数量 x 3.4 消费者的选择 背景 消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱， 选择购买若干种需要的商品. 根据经济学的一条最优化原理“消费者 追求最大效用” ，用数学建模的方法帮助消 费者决定他的选择. 假定只有甲乙两种商品供消费者购买， 建立的模型可以推广到任意多种商品的情况. 当消费费者购购得数量分别为别为 x1, x2的甲乙两种商品时时 ，得到的效用可用函数u (x1, x2)度量，称为为效用函 数. 效用函数 利用等高线线概念在x1, x2平面上画出函数u 的等值线值线 , u (x1, x2)=c 称为为等效用
13、线线 等效用线就是“ 实 物交换模型”中的 无差别曲线，效用 就是那里的满意度 . O x2 u(x1,x2) = c x1 c增加 一族单调减、下凸、 互不相交的曲线. 效用最大化模型 p1, p2甲乙两种商品的单单价, y消费费者准备备付出的钱钱 x1, x2 购购得甲乙两种商品数量 Q A B y/p2 y/p1 x1 x2 几何分析 x2 u(x1,x2) = c x1 O c增加 u(x1, x2) = c 单调减 、下凸、互不相交. 在条件 p1 x1+p2 x2 =y 下使效用函数u(x1, x2)最大. AB必与一条等效用线 相切于Q点 (消费费点). Q (x1, x2) 唯
14、一. 消费线AB 模型求解引入拉格朗日 乘子构造函数 与几何分析得到的 Q 一致 等效用线线u (x1, x2)=c的斜率 消费线AB的斜率 结果 解释 效用函数的构造 等效用线线u (x1, x2)=c 所确定的函数 x2(x1)单调减、下凸 . 解释条件中正负号的实际意义 充分条件 当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大. 边际效用商品 数量 增加一个单位时效用的增量 效用函数u(x1,x2)几种常用的形式 购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根 成正比, 比例系数是参数与之比的平方根. u(x1,x2)中参数 , 分别别度量甲乙两种商品对对消费费 者的效用，或者消费费者对对
15、甲乙两种商品的偏爱爱 . 购买两种商品费用之比只取决于, 与价格无关. u(x1,x2)中, 分别度量两种商品的效用或者偏爱. 实际应用时根据对最优解的分析，决定采用 哪种效用函数，并由经验数据确定其参数. 效用函数u(x1,x2)几种常用的形式 效用最大化模型应用举例 例1 征销售税还是征收入税 政府从消费者身上征税的两种办法: 销售税 根据消费者购买若干种商品时花的钱征税 收入税 根据消费者的收入征收所得税 利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 征税前设设甲乙两种商品的单单价为为p1, p2，消费费者准备备花 的钱为钱为 y, 等效用线为线为 u (x1, x2)=c，消费费点为为Q(x1, x2) . l1 Q1 B1 x1* l2 Q2 B2 A2 x1 B A Q u(x1, x2) =c O x2 x1 l 例1 征销售税还是征收入税 对甲商品征销售税, 税率为为p0 征税前的消费费点Q 消费线费线 AB1, B1在B的左边边 AB1与l1相切于Q1(x1*, x2*) 若改为征 收入税 政府得到的销销售税额额 p0x1* 征收的税额额与销销售税额额 p0x1*相同 消费线费线 A2B2与l2相切于Q2, 可证证B2在B1的右边边. l2在l1上？ l2在l1下？ 如果l2在l1上方，Q2的效用函数值值将大于 Q1, 对对消费费者来说说
