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1、概率论与数理统计试题解析(05.1) 一、选择题(本题共10小题, 每小题3分, 满分30分. 在每小 题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项 前的字母填在题后的括号内.) 1. 设A, B为任意两个事件, 且AB,P(B)0, 则下列选项必 然成立的是: (A) P(A)P(A|B); (D) P(A)P(A|B); 解 因为 P(A|B)P(AB)/P(B) P(A)/P(B) P(A) B 2. 已知“A不发生或者B发生”的概率是0.4，则“A发生 而B不发生” 的概率是: (A)0.16; (B)0.4; (C)0.6; (D)0.8. 解 因为 A+B=AB 德摩根律
2、 所以 P(AB)1P(A+B)10.4=0.6 C 或采用特值法：取AB= 则： AB=A 0.4， 于是： AB=A=10.4=0.6 S A B B A AB= 3. 设随机变量X的分布律为:PX=-1=0.4, PX=0=0.2, PX=1=0.4, 则概率PX2=1等于 (A)0.2; (B)0.4; (C)0; (D)0.8. 4. 参数为5的泊松分布的期望和方差是 (A)5, 25; (B)1/5, 1/25; (C)5, 1/5; (D)5, 5. 解 PX2=1PX=1PX=10.4+0.4=0.8 D 解 若(), 则E(X)=, D(X)= D 5. 设随机变量X服从参数
3、为1/3的指数分布, 则PX1等于 (A)13e; (B)1e3; (C) 1e3; (D)13e. 解 PX1= C 6. 设随机变量X服从正态分布N(, 2), 则随着的增大, 概率P|X|(4)/ =1(4)/ 于是有： (4)/0 即： 4 求fX(x)。 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 解 0x1时， fX(x) 即 fX(x) 求PX+Y1。 3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 解 PX+Y1 x y o1/21 1 4. 设随机变量X的概率密度为 ,求随机变 量Y=eX的概率密度fY(y)。 解 由于Y=eX1, 所以y1时有： FY(y)=PYyPeXy=P
4、Xlny fY(y)FY(y)=y2 即 fY(y) 1. 已知随机变量X与Y的分布律分别为PX=0=0.4, PX=1=0.6和PY=1=0.2, PY=0=0.3,PY=1=0.5, 且X与Y相互独立. 求随机变量X与Y的联合分布律以及随机 变量Z=maxX,Y的分布律. 四、计算题(本题共5小题, 每小题6分, 满分30分.) 解 X与Y的联合分布律为： Y X 101 0 1 Z只取0, 1两个值，其分布律为： PZ=0=PX=0,Y=1+PX=0,Y=0=0.2 PZ=1=PX=1+PX=0,Y=1=0.8 0.080.120.2 0.120.180.3 2. 已知随机变量X与Y的联
5、合分布律为 求X与Y的协方差Cov(X,Y)。 Y X 12 00.20.4 10.30.1 解 E(X)=0(0.2+0.4)+1(0.3+0.1)=0.4, E(Y)=1(0.2+0.3)+2(0.4+0.1)=1.5 E(XY)=0(0.2+0.4)+10.3+20.1=0.5 于是有 Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)=0.1 3. 设随机变量Xb(8, 0.5), 试根据切比雪夫不等式估计 P|XE(X)|2。 解 由于Xb(8, 0.5), 所以有D(X)=2 由切比雪夫不等式有： P|XE(X)|2 D(X)/22=0.5 4. 已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态
6、分布N(,1), 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40(cm), 求 的置信度为0.95的置信区间. (注: 标准正态分布函数值(1.96)=0.975,(1.645)=0.95) 解 由于 所以 由于z0.0251.96，于是， 的一个置信度为0.95的置 信区间为 (39.51, 40.49 ) 5. 设X1,X2,Xn是来自参数为的泊松分布总体X的简单 随机样本, 试求参数的矩估计量和最大似然估计量。 解 1=E(X)= 用A1代替1，得的矩估计量为 设x1, x2,xn是相应于样本X1,X2,Xn的一个样本值, X的分布律为 PX=x= 故似然函数为 令 解得的最大似然估
7、计值为 所以的最大似然估计量为 1P(A)P(AB) 五、证明题(本题满分6分.) 设A、B是任意二事件, 其中A的概率不等于0和1. 证明: PB|A=PB|A是事件A与B独立的充分必要条件. 证明 必要性：设PB|A=PB|A 则有：P(AB)/P(A)=P(AB)/P(A) 于是： P(A)P(AB)P(A)P(AB) 即： P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB) P(A)P(AB)P(AB) =P(A)P(B) 所以，事件A与B独立。 充分性：设A与B独立 则有： P(AB)P(A)P(B)， P(AB)P(A)P(B) 所以 PB|A=P(AB)/P(A)P(B) =P(AB)/P(A)PB|A 证毕
