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1、 1. 问题背景 参数估计是数理统计中的一个基本概念和重要的基本方法, 是指用样本对总体分布中 的未知参数做出的估计, 这种估计我们常见的有点估计和区间估计两种. 所谓点估计, 就是 用样本统计量确定总体参数的一个取值. 评价估计优劣的标准有无偏性、最小方差性、有效 性等. 点估计的方法有矩法、极大似然法. 区间估计有置信度、可靠度和精确度的问题. 对于一个总体, 可以用一些参数来描述其表征, 如数学期望、方差等. 如果总体的某个 参数未知, 统计学提供了一些方法, 它们可以用来估计未知参数介于哪个区间内. 参数估计 是数理统计中重要的内容, 也是计算量很大的问题. 以前在这方面的教学中都是使
2、用计算器 和查表, 非常麻烦. 下面我们用 MATLAB 来解决这个问题. 2. 实验目的与要求 (1) 掌握参数估计的MATLAB 的有关命令; (2) 熟悉区间估计的置信度、可靠度和精确度的三者关系; (3) 熟练掌握总体数学期望和方差的点估计和区间估计的相关命令. 样本数字特征法 用样本均值 作为总体均值EX的估计值； 用样本方差 作为总体方差DX的估计值。 在Matlab中，样本x = x1, x2, xn，则 样本均值：mx = 1/n*sum (x) 样本方差：S2 = 1/(n-1)*sum (x-mx).2) 基本数学原理: 矩估计法 这里主要介绍总体为正态分布的参数 的矩估计
3、。 设XN ( )，X1, X2, Xn为其样本，则参数的矩估 计量为： 在Matlab中，样本x = x1, x2, xn，则 样本均值：mx = 1/n*sum (x) 样本方差：sigma = 1/n*sum (x-mx).2) 离散型随机变量的极大似然估计法: (1) 似然函数 若X 为离散型, 似然函数为 (2) 求似然函数的最大值点, 则就是未知参数的极大似然估计值. 连续型随机变量的极大似然估计法: (1) 似然函数 若 X 为连续型, 似然函数为 (2) 求似然函数的最大值点, 则就是未知参数的极大似然估计值. Matlab统计工具箱中给出了最大似然法估计常用概率分布的参数的点
4、估 计和区间估计值函数. 常用分布的参数估计函数 参数似然估计函数表 函数名调 用 形 式函 数 说 明 binofit binofit (X, N) PHAT, PCI = binofit (X, N, ALPHA) 二项分布的最大似然估计 返回 水平的参数估计和置信区间 poissfit poissfit (X) LAMBDAHAT, LAMBDACI= poissfit (X,) 泊松分布的最大似然估计 返回 水平的 参数和置信区间 normfit normfit (X, ALPHA) MUHAT, SIGMAHAT, MUCI, SIGMACI = normfit (X, ALPHA)
5、 正态分布的最大似然估计 返回 水平的期望、方差和置信区间 Unifit unifit (X, ALPHA) AHAT, BHAT, ACI, BCI = unifit (X, ALPHA) 均匀分布的最大似然估计 返回 水平的参数估计和置信区间 expfit expfit (X) MUHAT, MUCI = expfit (X, ALPHA) 指数分布的最大似然估计 返回 水平的参数估计和置信区间 1. 均匀分布的参数估计函数 基本数学原理: 均匀分布的概率密度函数 在 MATLAB 中用函数 unifit 来计算均匀分布中参数的极大似然估计值和置信 区间, 其基本调用格式如下: ahat,
6、bhat=unifit(x) % 根据给出的均匀分布样本数据x, 计算并返回均匀分布 的两个参数a 和b 极大似然估计值ahat 和bhat; ahat,bhat,aci,bci=unifit(x) % 除返回参数a 和b 的极大似然估计值ahat 和 bhat 外, 还要计算返回置信度为0.95 的两个参数的置信区间aci 和 bci; ahat,bhat,aci,bci=unifit(x,alpha) % 返回的置信区间的置信度为100(1- alpha)%. 例 1 产生 100 行2 列服从区间(10, 12)上的均匀分布的随机数, 计算区间端点 “a”和“b”的极大似然估计值, 求出
7、置信度为0.95 的这两个参数的置信区间. 解 在命令窗口中输入: r = unifrnd(10, 12, 100, 2); ahat, bhat, aci, bci = unifit(r) 2. 指数分布的参数估计函数 基本数学原理: 指数分布的概率密度函数见实验二. 在MATLAB 中用函数expfit 来计算指数分布中参数的极大似然估计值及置信区间,其基本调用格式如下: lambdahat=expfit(x) % 根据指数分布样本数据x, 计算并返回指数分布参数 lambda 的极大似然估计值; lambdahat,lambdaci=expfit(x) % 返回参数lambda 的估计值
8、和置信度为95% 的置信区间; lambdahat,lambdaci=expfit(x,alpha) % 返回的置信区间的置信度为100(1- alpha)%. 例 2 产生1 行100 列的参数为3 的指数分布的随机数, 计算“”的极大似然 估计值, 求出置信度为0.99 的参数的置信区间. 解 在命令窗口中输入: r=exprnd(3,1,100); lambdahat,lambdaci=expfit(r,0.01) 例 3 设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为 0 未知. 随机抽取15 只电池进行寿命试验，测得失效时间(单位:小时)为 115, 119, 131, 138, 142,
9、147, 148, 155, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 172. 试求电池的平均寿命的极大似然估计值和置信水平为98%的置信区间. 解 在命令窗口输入： x=115 119 131 138 142 147 148 155 158 159 163 166 167 170 172； lambdahat,lambdaci=expfit(x,0.02) % 这里是expfit(x,0.02),不是 expfit(x,0.98). 3. 正态分布的参数估计函数 正态总体未知参数的区间估计 在MATLAB 中, 用函数normfit 来计算正态分布中参数的估计值及置信区间
10、, 其基本 调用格式如下: muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x) % 根据正态分布数据x 对参数mu 和 sigma 做出估计, 返回值 muhat 是x 的均值的点估计, sigmahat 是标准差的点估计 , muci 是均值的置信度为95%的置信区间, sigmaci 是标准差的置信度为95%的置 信区间. muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x,alpha) % 返回的置信区间的置信度为 100(1-alpha)%. 例 4 分别使用金球和铂球测定引力常数, 数据如下: (1) 用金球测定观察值为 6.683,
11、 6.681, 6.676, 6.678,6.679, 6.672; (2) 用铂球测定观察值为 6.661, 6.661, 6.667, 6.667,6.664. 设测定值总体为 , 和为未知. 对(1)和(2)两种情况分别求和的置信度为 0.9 的置信区间, 并比较这两种情况的精确度 解 在命令窗口中输入: X=6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672; Y=6.661 6.661 6.667 6.667 6.664; mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(X,0.1); %金球测定的估计. my,sy,myci,syci=normfit
12、(Y,0.1); %铂球测定的估计. 例 5 用产生正态分布随机数命令生成一组正态分布随机样本, 用normfit 函数给 出该正态分布的参数估计, 并分析置信度、可靠度和精确度三者关系 解 在命令窗口中输入: xx=normrnd(4,2,50,1); % 生成一组(有501 个)4, 2 的正态 样本. muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(xx) -置信度0.95 若再执行命令: muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(xx,0.01)-置信度0.99 若再执行命令: muhat, sigmahat, muci, sigm
13、aci=normfit(xx, 0.1) -置信度0.9 4. 利用通用 mle 函数来进行参数估计 phat=mle(dist, X); % 返回用dist 指定分布的极大似然估计值. phat, pci=mle(dist, X); % 同时进行区间估计, 默认置信度为95%. phat, pci=mle(dist, X, alpha); %同时进行区间估计, 置信度由 alpha 确定. phat, pci=mle(dist, X, alpha, pl); %仅用于二项分布, pl 为试验次数. 说明 dist 为分布函数名,如 beta(分布)、bino(二项分布)等, 见表 6-1.
14、X 为数据 样本,alpha 为显著水平, 100(1-)%为置信度. dist 的取值 函数说明 beta 或Beta Beta 分布 bino 或 Binomial 二项分布 chi2 或 Chisquare 分布 exp 或 Exponential 指数分布 norm 或 Normal 正态分布 poiss 或 Poisson 泊松分布 t 或 T t 分布 unif 或 Uniform 均匀分布 例6 产生200 个概率p 为0.75 的试验次数N=50 的二项分布的随机数, 求出置 信度为0.95 的参数p 的置信区间 解 在命令窗口中输入: X=binornd(50,0.75,20
15、0,1); % 产生题目要求的二项分布的200 个随机数. p,pci=mle(bino,X,0.05,50); % 求概率的估计值和置信区间, 置信度为 95%. 1、设某种油漆的9个样品，其干燥时间 （以小时计 ）分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总 体服从正态分布N ( ），求 和 的置信度为0.95的置信区间（ 未知） 2、分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 （2）用铂球测定观察值为：6.661 6.661 6.667 6.667 6.664 设测定值总体服从N ( ), 和 为未知。对（1）（2）两种情况分别求 的置信度 为0.9的置信区间。 实验题目
