《2018年吉林省高三上学期第一次摸底考试数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年吉林省高三上学期第一次摸底考试数学（理）试题（解析版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第一次摸底考试数学（理）试题（解析版）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分。共3页，考试时间120分钟。第卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 设集合，则中元素的个数为A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集
2、或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2. A. B. C. D. 【答案】A【解析】，选A.3. 下列各组函数中，表示同一函数的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】B中定义域不同，一个为R，一个；C中定义域不同，一个为，一个R；C中定义域不同，一个为，一个；所以选D.4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，选C.5. 教育局派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考情况，要求每个学校
3、至少一名，则不同的分配方案种数为A. 144 B. 72 C. 36 D. 48【答案】C考点：排列组合.6. 已知命题，命题，面积下列判断正确的是A. 是假命题 B. 是真命题C. 是真命题 D. 是真命题【答案】C【解析】当时，（当且仅当，即时取等号），故为真命题；令，得，故为假命题，为真命题；所以是真命题.考点：基本不等式、命题的真假.7. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则【答案】D【解析】因为奇函数在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，因为奇函数满足，所以,即周期为8，因此,选D.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性与对称性得周期，
4、根据函数的周期性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行D.C.D.8. 如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是A. 求，三数的最大数B. 求，三数的最小数C. 将，按从小到大排列D. 将，按从大到小排列【答案】B【解析】试题分析：若，则赋值为，比较与大小，若，则赋值为，输出，即三数的最小数；若，则赋值为，比较与大小，若，则输出，即三数的最小数；若，则比较与大小，若，则赋值为，输出，即三数的最小数；若，则比较与大小，若，则输出，即三数的最小数；因此选B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程
5、图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 设，H，则A. B. 10 C. 20 D. 100【答案】A【解析】试题分析：，又m0，,故选A.考点：指数与对数的运算.10. 函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意知：函数的定义域为.当时，；当时，；当时，；故选D.考点：对数函数的图像和性质.11. 设随机变量，若，则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，选B.12. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围A. B. C. D.
6、 【答案】A【解析】因为在上单调递增，所以，选A.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分）13. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为_。【答案】0【解析】二项展
7、开式的通项为，的系数为，的系数为 ，所以的系数与的系数之差为014. 函数的值域为_。【答案】【解析】 ，即值域为15. 函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为_。【答案】【解析】由题意得函数为单调函数，所以16. 若函数的图象关于直线对称，则的最大值为_。【答案】16【解析】由得所以当时，取最大值点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小三、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点，已知
8、函数。（）当时，求的不动点；（）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围。【答案】（）-1，3；（）【解析】试题分析：（）解方程解得不动点；（）恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得的取值范围试题解析：（）当时，由题意可知，得， 故当时，的不动点为-1，3.（）因为恒有两个不动点， 所以，即恒有两个相异实根， 所以恒成立，于是设，所以恒成立， 所以，解得，故当。 恒有两个相异的不动点时，的取值范围是。18. 某校为选拔参加CCTV-1中国谜语大会的队员，在校内组织灯谜竞赛。规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛。现有200
9、名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成频率分布直方图（如下图所示）。（）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求出进入第二阶段比赛的学生人数；（）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛，现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段。抢答规则：抢到的队需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错一条扣20分。根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条谜语的概率均为，猜对第3条的概率为。若这两队抢到答题的机会均等，你作为场外观众想支持这两队中的优胜队，你会把支持票投给哪一队？并说明理由。【答案】（）成绩中位数为143.6.，学生人数为18人； （）支持票投给甲队【解析】试题分析：（
10、1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（1）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，解得： 2分测试成绩中位数为进入第二阶段的学生人数为200（000300015）2018人 4分（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，则，
11、5分 6分最后抢答阶段甲队得分的期望为， 8分， 10分最后抢答阶段乙队得分的期望为 12分，支持票投给甲队 13分考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望.19. 如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，且，是的中点。（）求证：；（）求二面角的余弦值。【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）利用空间向量证明面面垂直，只需利用两平面法向量垂直，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积为零得证（）利用空间向量求二面角，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积求夹角，再根据二面角夹角与向量夹角
12、关系得二面角的余弦值试题解析：证明：（）以为坐标原点长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为，则，故，所以，由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得,又在平面内,故平面。（）在上取一点，则存在，使，连接，所以，。要使，只要，即，解得。可知当时，点坐标为，能使，此时，所以。由，所以，故所求二面角的余弦值为。20. 已知椭圆和直线，椭圆的离心率，直线与坐标原点的距离为。（）求椭圆的方程；（）已知定点，若直线与椭圆相交于、两点，试判断是否存在值，使以为直径的圆过定点？若存在求出这个的值，若不存在，说明理由。【答案】（）；（）试题解析：（）由直线，即又由，得，即，又，将代入得，即，所求椭圆
13、方程是；（）当直线的斜率不存在时，直线方程为，则直线与椭圆的交点为，又，即以为直径的圆过点；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由，得，由，得或，以为直径的圆过点，即，由，得，解得，即；综上所述，当以为直径的圆过定点时，直线的方程为或.21. 设函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）。（）若在区间上存在极值，求实数的取值范围；（）求证：当时，不等式。【答案】（）；（）证明见解析；【解析】试题分析：（1）首先利用切线的斜率建立方程，求出；利用导数求得函数的极值点，极值点介于之间，由此求得的取值范围；（2）先用分析法，将原不等式等价变形为，利用导数求出左边函数的最小值和右边函数的最
14、大值即可证得原不等式成立.试题解析：（1） 因为，所以又据题意，得，所以，所以所以，所以 当时，为增函数；当时，为减函数.所以函数仅当时，取得极值又函数在区间上存在极值，所以，所以.故实数的取值范围是（2）当时，即为.令，则.再令，则.又因为，所以.所以在上是增函数.又因为.所以当时，.所以在区间上是增函数.所以当时，又，故令，则.因为，所以.所以当时，.故函数在区间上是减函数.又，所以当时，所以，即.考点：函数导数与.【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.第一问涉及到切线的问题，关键点就是把握住切点和斜率.证明不等式，通过恒等变形后，可利用导数，分别求出左边函数的最小值和右边函数的最大值，由此证得结论.如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变
