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1、第五章 积 分 5.1 定积分的概念 1定积分问题的提出 问题一: 曲边梯形面积的计算 设 y = f (x) 0 , x a , b 计算: 由曲线 y=f (x) , y =0, x=a, x = b 所界的曲边梯形 abcd 的面积 A a bx y o a bx y o a bx y o （四个小矩形） （九个小矩形） 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 可以看到 , 小矩形越多, 小矩形的总面积越接近 于曲边梯形面积 A (1) 分割: 使 a , b 被划分为 n 个子区间 xi-1 , xi , 记 xi-1 , xi 上小曲边梯形的面积为Ai , y=f(x) Ai 则 (2) 近
2、似: 若区间a , b被分割的很细 ,即每个子区间 xi-1 , xi 的长度很小 , 则 f (x) 在 xi-1 , xi 上近似于 常数 , 小曲边梯形近似于矩形 . 任取 若记 xi = xi - xi-1 , 则 (3) 精确化: 可以看出 , 将区间 分割得越小 , 则式 (1) 的近似越精确 (1) 则有 (2) 记 ( 分割的最大直径) 问题二:变速直线运动的路程 设运动物体以速度 v=v(t) 作直线运动 , 求在时 刻 t = a 到 t = b 这段时间内 , 物体行经的路程 S . (1) 分割: 使 记 时间段 ti-1 , ti 内 , 物体行经的路程 Si , 则
3、 (2) 近似: 若子区间很小 , 则 速度 v(t) 在 上近似不变 ( 即近似于常数 ) 任取 (3) (3) 精确化: 可以看出 , 越小 , 则式 (3) 的近似程度越高 记 则有 (4) 说明: (1) 问题一 , 问题二是不同背景的问题 , 但面临同 一数学问题 , 即和式极限 的计算 (2) 在问题的处理过程中 , 都使用了 “ 以不变处 理变 ” 的思想 20 定积分的定义 定义设 f (x) 在 a , b 上有定义 , 在 (a , b) 内任意 将 a , b 分成 n 个小区间: 在每个小区间上任取 一点 , 作和式 如果 则称 f (x) 在 a , b 可积 , A
4、 称为 f (x) 在 a , b上的 定积分 ,记为 , a 称为积分下限 ; b 称为积分上限 ; f (x) 称为被积 函数 ; f (x)dx 称为被积表达式 ; x 称为积分变量 说明: (1) 定积分的几何意义: a bx y o 如果 y = f (x) 0 , xa , b 曲边梯形的面积: (2) 极限值 A 与区间 a , b 的分割方式无关 , 与 的选取方式无关 即 (3) 在上述定义中认为 a b 的情形: 规定: 对于 b = a 的情形 : 规定: ( 面积为零 ) 定理 (定积分存在的必要条件) 如果 f (x) 在 a , b上可积 , 则 f (x) 在 a , b 上有界 说明: a , b上的无界函数是不可积的 定理 (定积分存在的充分条件) 如果 f (x) 在 a , b上连续或分段连续 , 则 f (x) 在 a , b上可积 说明: 连续函数必是可积函数 , 不连续的函数也 可能是可积函数 例利用定义计算定积分 解 由 在 0 , a 上连续 , 将 0 , a 区间 n 等分 , 分点: 取 则有 0 , a上可积 . 可知 f (x) 在 说明:此例说明用定义 计算定积分是非常困难的
