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1、广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。 机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。 A AO m K q qL i 弹簧振子 简谐振动微分方程 一、简谐振动的基本特征 6-1 简谐振动（simple harmonic motion) 其通 解为 ： 谐振动运动方程 运动学定义: 动力学定义: 1、简谐振动的定义 A AO m k 运动方程 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件. 频率 单位时间内振动的次数. 角频率 周期T 物体完成一次全振动所需时间. 初相位 相位 t 决定谐振动物体的运动状态 2、描述简谐振动的特征量 A AO m k 3.振动速度
2、及加速度 简谐振动的加 速度和位移成 正比而反向. x, v, a a v x T O t 4.振动初相及振幅由初始条件决定 初始条件：当t = 0时, x = x0 ，v = v0 代入 得 = arctan A AO m k 例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期 T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。 解取平衡位置为坐标原点。 由题设T= 2 s，则 A= 0.12 m 由初条件 x0 = 0.06 m，v0 0 得 简谐振动的表达式为 设简谐振动的表达式为 例6-2.
3、 如图所示，倔强系数为 8103Nm-1的轻 质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为 M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。 质量 m=0.01kg的子弹以水平速度v =103 ms-1 射入木 块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向 右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、向 右为x轴正方向，求其振动方程。 m v M A 解：mv=(m+M)V 0.01103=(4.99+0.01)V V=2m.s-1 A=0.05m 二、简谐振动的旋转矢量表示法 1.简谐振动与匀速圆周运动 t + O P m x y A 匀速圆周运动在x轴上的投影 （或分运动）为简谐振动： 2.简谐振动的旋转矢
4、量表示法 x O 3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference ） O x O x O x 两个谐振动 相位差 两同频率的谐振动的相位 差等于它们的初相差。 =2 1 0, x2超前x1 = 0, 同相 = ，反相 x, v, a a v x T O t x, v, a O 4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系 例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示，求此简谐振动的表达式。 x (cm) O t (s) 1 2 1 2 1 t = 1s t = 0 O x 解设简谐振动方程为 x0 = A/2，v0 0 由旋转矢量表示法 v0 0 旋转矢量以 匀
5、角速由t = 0 到t = 1s 转过了4/3 t =1s 角频率的计算：t = 1s 时，对应图示的旋转矢量。 例6-4.已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如 图所示，试求其振动方程 。 解：方法1 用解析法求解 设振动方程为 故振动方程为 v的旋转矢量 与v轴夹角表 示t 时刻相位 由图知 方法2： 用旋转矢量法辅助求解。 固有角频率 三、简谐振动实例 1. 弹簧振子(blockspring system) 平衡位置： 弹簧为原长时，振动物体所处的位置. x=0 , F=0 位移为x处: 由牛顿第二定律 角频率完全由振动系统本身的性质决定。 固有周期固有频率 AAO m k 2. 单摆
6、(simple pendulum) 当 5(= 0.0873rad)时， 摆球相对于平衡位置的角位移为 时， 切向合外力: l mgsin m C 平衡位置 ：摆线与竖直方向夹角 = 0 . 由牛顿第二定律 得 或 谐振动微分方程 结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。 3. 复摆(compound pendulum) 绕不过质心的水平固定轴转动的刚体 。 令 小幅摆动时 角位移，回复力矩 M =mghsin M =mgh 由刚体的转动定律 或 得 谐振动微分方程 结论：复摆的小角度 摆动是简谐振动。 线性谐振动 角谐振动 简谐振动的判断及振动方程的确定 归纳与总结 例：判断下列运动是否为简谐振动
7、 1.乒乓球在地面上的上下跳动 2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 mg O 切向运动 简谐振动 振动的角频率 和周期分别为 ： 四、简谐振动的能量 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数. 系统的机械能守恒 振动能量曲线 x t o t T o E Ek(t) Ep (t) 例:如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0= -9.8cm, v0=0 (1) 取开始振动时为计时零点， 写出振动方程； (2) 若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。
8、 x O m x 解： 确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为 初条件: 由x0=Acos0=-0.0980 , sin 0 0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m 对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变 固有频率 x O m x 例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、 一半径为R、转动惯量为J的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振 动，试证物体作简谐振动，并求其周期T. m m 解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹
9、簧伸长量 为l，则 当m有位移x时 联立得 物体作简谐振动 m m 一、同方向、同频率谐振动的合成 合振动是简谐振动,其频率仍为。 合振动 x1x2 1 2 xO 6-2 简谐振动的合成 如 A1=A2 , 则 A=0，两个等幅反相的振动合 成的结果将使质点处于静止状态。 合振动的振幅取得最大，两分振 动相互加强。 合振幅最小，两分振动相互减弱 。 分析 若两分振动同相 ： 若两分振动反相: 二. 两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍 如果我们先后听到频率很接近的声音，如552 和 564 Hz，我们很难区分它们频率的差异；如果这两 种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为 558Hz=(
10、552+564)/2,其强度以12Hz (=564 552) 的频 率变化。这种现象称为拍，12Hz 为拍频。 x t x1 t x2 t 分振动 合振动 1. 拍及拍频 令 则 T拍 x t cos( t+) 2Acos t 拍 =2 = 2 1 , 拍= 2 1 拍: 拍频: 单位时间内振动加强或减弱的次数. 合振动忽强忽弱的现象. u拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用 标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别 就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就 被校准了。 2. 拍的应用 三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 合振动 分振动 合振动质点的轨迹方程 合振动的轨迹为通
11、过原点且 在第一、第三象限内的直线 质点离开平衡位置的位移 讨论 合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线 质点离开平衡位置的位移 合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴 线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向 是顺时针的。 合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴 线的椭圆.质点沿椭圆的运动方 向是逆时针的。 2 1 = 0 2 1 = 时，质点沿逆时针方向运动。 时，质点沿顺时针方向运动。 四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为李萨如图形 对于两个频率不相同的谐振动，其相位差 不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。 y x A2 A1 o -A1 -A2 只有在两振动的频率成简单的整
12、数比时， 才有稳定的轨迹。 若已知一个分振动的周期，可根据合振动的李萨如图形 求出另一个分振动的周期，这种方法常用来测定频率。 李萨如图形 T1:T2= 2 1 =0 1:21:32:3 * 五、简谐振动的分解 频谱 振动的分解：把一个复杂振动分解为若干个简谐振动。 若周期振动的频率为:0 则各分振动的频率为:0、20、30 (基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , ) 按傅里叶级数展开 任何一个复杂的周期性振动，都可看作是若干 个简谐振动的合成。 方波的分解方波的分解 t 0 x3 t0 x1+x3+x5+x0 方波可按傅里叶级数展开为：例如 ： 0 t x1 0 x 0 t t 0 x5 x
13、 o t 锯齿波 A 03050 锯齿波频谱图 例如：锯齿波可按傅里叶级数展开为： 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续 变化的简谐振动。 x ot 阻尼振动曲线阻尼振动频谱图 o A 一、 阻尼振动（damped vibration)： 阻 尼 振 动 1.阻尼振动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 摩擦阻尼： 系统克服阻力作功，系统的动能转化为热能 。 辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量向 周围辐射出去。 6-3 阻尼振动 受迫振动和共振 简谐振动是物体在回复力作用下的一种无阻尼自由振动 。 当振动系统受到阻力作用时，在回复力和阻力作用下 振动，称为阻尼振动。 弹
14、簧振子动力学方程 系统固有角频率阻尼因子 物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体 的阻力与速度的一次方成正比 阻力系数 2 .阻尼振动的振动方程 （以摩擦阻尼为例） (1)弱阻尼振动: 阻尼对振动的影响：1. A 减小 2. T 增大 非简谐振动 3.弱阻尼振动、过阻尼振动、临界阻尼振动 弱阻尼 x t (2) 临界阻尼振动 系统不作往复运动，而是较快地 回到平衡位置并停下来. (3)过阻尼振动 系统不作往复运动，而是非常缓 慢地回到平衡位置. 临界阻尼 x t 过阻尼 x t 二、 受迫振动 受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。 弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程
15、 周期性外力策动力 令 阻尼振动简谐振动 稳定解 稳定解 (1)频率: 等于策动力的频率 (3)初相: 特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 (2)振幅: 受迫振动振幅的大小，与系统的初始条件无关， 而决定于振动系统的性质(固有角频率、质量)、 阻尼的大小和策动力的特征。 三、共振 在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象 。 1). 位移共振 (1)共振频率 : (2)共振振幅: 若 则 称尖锐共振 2)速度共振: 一定条件下, 速度幅vm=A极大的现象。 速度共振时，系统的动能也达到最大，此时系统从外 界吸收能量最多。 共振的利与弊 钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使 其成为了一共鸣盒，以提高音响效果；收音机的调 谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子 核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊 断等。 例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器 设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动 机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生 强烈的共振而受到损坏。 措施：破坏外力的周期性、改变物体的固有频率、 改变外力的频率、增大系统的阻尼等。 共振现象在实际中有着广泛的应用： 共振现象也有其危害性：
