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1、第五章 量纲分析与相似原理 工程流体力学 1 解决流体 力学问题 的方法 数学分析 实验研究 模型实验 以相似原理为基础以相似原理为基础 本章主要介绍流体力学中的相似原 理，模型实验方法以及量纲分析法。 2 第一节 单位和量纲 物理量一般具有单位，如直径d的单位可以 是m，cm，mm等。 量纲/因次：定义物理量量度的性质和类型为量纲 。如直径表示一种长度，具有长度的量纲。 单位决定度量的数量；量纲表示量度的性质。 基本量纲：流体力学的基本量纲有，长度、质 量和时间。分别以L、M和T表示。与温度 有关时温度的量纲 导出量纲：其它参数的量纲由基本量纲组成， 称为导出量纲。 3 量纲公式：dimx=
2、 当时，为无量纲量。无量纲量数值的大 小与所采用的单位制无关。且可进行超越函数的计算。 对于动力粘度：dim = 即1，1，1 二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都 必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减 。否则无意义。 在量纲和谐的方程式中，其系数和常数也应该是无 量纲的。若为有量纲，则可进一步进行分析。 4 第二节 相似性原理 表征 流动 过程 的物 理量 描述几何形状的 如长度、面积、体积等 描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的 如质量力、表面力、动量等 按性 质分 几何几何 相似相似 运动运动 相似相似 动力动力 相似相似 流流
3、 动动 相相 似似 应 满 足 的 条 件 5 一 几何相似 熟悉的几何相似，如相似三角形。 相似不是两个数的简单的比较，而是相同类型的 数的比值相同，包括多组数的比。 几何相似指比较的对象具有相同的形状，但大小 不同。 规定：以下角标m表示模型；p表示原型 l 相应部位的长度 特征长度 对应的夹角。 6 长度比率： 面积比率： 体积比率： vp vm 7 二 运动相似 流场内各处速度的方向相同，大小成比例，流场 和流线相似。 速度比率： 特征速度 时间比率： 如流过相似长 度所用的时间 加速度比率： 8 体积流量比率： 或 三 动力相似 受到的同名力，方向相同，大小成比例 对于任一运动的质点
4、，设想在该质点上的惯性力与质 点所受到的各种作用力相平衡（或质点在除了惯性力 的其它作用力下运动），这些力构成一封闭的力多边 形。从这个意义上说，动力相似表征为流体相应点上 的力多边形相似。相应边（即同名力）成比例。 9 F 粘性力； Fp 压力；FG 重力； FI 惯性力； FE 弹性力； F 表面张力力 四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。 10 第三节 相似准则数 一 流动相似 两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种 作用力的比率要满足一定的约束关系，这种约束关系 称为相似准则。 作用在流体质点上的力可分为两类
5、：一类是企图维持 原有运动状态的力，如惯性力FI；另一类是企图改变 其运动状态的力，如重力FG、粘性力F、压力Fp等。 流动的变化是这两类力相互作用的结果，即惯性力与 其它各种作用力相互作用的结果。故各种力之间的比 率应以惯性力为一方来相互比较。在两个相似的流动 中，这中比率关系应保持固定关系。 11 惯性力： 惯性力比率： 密度比率 若有某一企图改变运动状态的力F，两个流动 相似，F之比为 据动力相似， 即 或 为无量纲数 12 定义： 牛顿数 此式表明，两个流动相似，牛顿数Ne应相等。这是流动 相似的重要准则，称为牛顿相似准则。 问题（Q）：两个流动相似，要求各种企图改变其流动 状态的力和
6、惯性力都维持相同的比率。实际上这很难做 到。 解决（R）：仅考虑某一起主导作用的力相似。 相似准则数。 13 二 相似准则数 依据：原型与模型牛顿数Ne相等 几种力的表达式： 压力 重力 粘性力 弹性力Ev 弹性模量，Pa 表面张力 14 （1）欧拉数（Eu） 若总压力起主导作用，则F = Fp 。作为分子代入牛 顿数得 Eu 表示总压力与惯性力的比值。 （2）弗汝德数（Fr） 若重力起主导作用，则F = FG 。作为分母代入牛 顿数得 Fr 表示惯性力与重力的比值。 15 （4）马赫数（Ma） 弹性力起主导作用，则F = FE，作为分母代入牛顿 数得 Ma表示惯性力与弹性力的比值 （3）雷诺
7、数（Re） 粘性力起主导作用，则F = F，作为分母代入牛顿 数得 Re表示惯性力与粘性力的比值 16 （5）韦伯数（We） 表面张力起主导作用，则F = F，作为分母代入牛 顿数得 We表示惯性力与表面张力的比值 讨论： （1）对于某一流动，具有代表性的物理量称为 定性量，或特征物理量； （2）Re、Fr和Eu应用较为广泛； （3）气流速度较大，接近或超过音速时，要考 虑Ma； 17 讨论： （4）流动规模较小，表面张力显著时，要考虑 We； （5） 对于不可压缩流体的恒定流，一般只要 同时考虑满足Re、Fr和Eu，即粘性力、重力、 压力和惯性力所构成的封闭多边形相似； （6）一般情况下，压
8、力为待求量，对应Eu。 因此，惯性力、粘性力和重力相似时，压力自 行相似。所以，Re、Fr为独立准则数，而Eu为 导出准则数，即 18 Re、Fr和Eu的选择 Re：管内流动、绕流； Fr：明渠流动、堰流、孔口出流； Eu：要求流动压差。 Ne：求作用力 19 第四节 近似模型试验 相似性原理的一个目的：模型实验，做实验前先进行上 述分析工作，指导实验。 模型实验：根据相似性原理，将需要进行实验的实际流 动区域作成相似的小比尺的模型，根据模型实验的结果 ，推测原型可能发生的现象。 三个独立的无量纲量：Eu、Re、Fr Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，
9、即使只有这两个，也很难做到相等的要求。 20 分析Re和Fr 首先， 由Frm = Frp 得 然后， 21 由Rem = Rep，得 假设为同种流体， 从而， 此时模型与原型尺寸一样，即为原型实验。 因此，模型实验只能做到近似相似。 解决：保证起主导作用力的相似，忽略次要力相似。 22 例 一桥墩宽1.22m，长3.5m，平均水深2.74m，采用模 型比为1/16进行实验。模型中水流速度为0.76m/s时，实 测桥墩模型受水的作用力为4N，求：（1）实际水流速 度；（2）桥墩所受水流作用力。 解：主要作用力为重力和压力，决定性准则数为Fr。 （1）由重力相似有 因 ，故 23 （2）由压力场
10、相似有 Ne 因 ，则 24 用途：量纲的一致性，将方程表示成无量纲形式； 降低变量个数，简化分析。 一 瑞利法 要点：以指数形式表示变量之间的关系，根据 量纲和谐原理确定指数。 第五节 量纲分析法 确定分析的问题的核心，找出影响参数， 分析函数关系的形式。 25 例 已知不可压缩粘性流体在管内稳定等温流动，其压降 p与流速u，管内径d，管长l，流体密度，流体动力粘 度，管壁粗糙度K等有关。试确定其函数关系。 解：列出全部物理量（题干已给出），写成指数形式 【第一步】 写出量纲关系式【第二步】 据量纲和谐原理得【第三步】 M: L: T: 26 三个方程，6个未知数，得出不定解。 【第三步】
11、代回指数得 将相同指数归纳成无量纲准则数形式 或 27 或 式中，无量纲常数k及指数a3、a5和a6可由实验确定。 28 瑞利法的具体步骤： （1）列出影响物理过程的全部物理量，并写成 指数形式。【要找准影响因素】 无量纲常数 （2）写出量纲关系式 （3）根据量纲和谐原理，比较量纲。 29 （4）列出指数关系式，并确定指数。若有m个 方程则可确定m个指数，将指数回代入上式得到 需要的物理方程。 （5）将得到的物理方程进一步整理成准则数方 程。 上例可看出：基本量纲有3个，物理量有7个，得 到相似准则数有4个。 30 2 定理 定理：在一个物理过程中，如果涉及到n个变量， 并包含有m个基本量纲，
12、则这个物理过程可由用n 个物理量组成的nm个无量纲变量来描述。 这些无量纲变量为： 若物理过程的方程式为 则可写成无量纲方程为 31 具体步骤： （1）找出所有的主要变量（n个），列出函数关系。 或 （2）分析变量的量纲，确定其中包含的基本量纲（m 个），则可构成nm个无量纲变量。 （3）m个基本变量：质量，几何结构和流体运动，如 （4）用这m个基本变量与剩下的（nm）个物理量组 合成无量纲量 （5）由量纲和谐原理确定（nm）个无量纲准则数。 （6）将待求函数关系式写成相似准则数之间的待求关 系式。 32 例 粘性流体宗掠平板时，影响板面粘性切应力w 的因素有：来流速度u，距平板前缘的距离x， 流体密度和动力粘度。试用 定理建立方程。 解：该过程的函数关系为： 五个物理量涉及到3个基本量纲：M、L和 T。即n=5, m=3。 据 定理，可转换成i = n m = 2个彼此独立的 相似准则数： 33 选取u，x作为基本量，与剩下的物理量w和 组 成准则数。 1和2为无量纲数，M、L和T的指数必为0。 故 M: L: T: 解得： 则： 34 M: L: T: 解得： 则： 于是，待求准则数方程为 试验中变量只有1和2 ，减少了3个。 35
