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1、第一节 平面应力问题和平面应变问题 第二节 平衡微分方程 第三节 平面问题中一点的应力状态 第四节 几何方程 刚体位移 第五节 物理方程 第六节 边界条件 第二章 平面问题的基本理论 第七节 圣维南原理及其应用 第八节 按位移求解平面问题 第九节 按应力求解平面问题 相容方程 例 题教学参考资料习题的提示和答案 第十节 常应力情况下的简化 应力函数 第二章 平面问题的基本理论 弹力平面问题共有应力、应变、位 移8个未知函数，且均为 。 21 平面应力问题和 平面应变问题 弹力空间问题共有应力、应变、位 移15个未知函数，且均为 ； 平面应力 第二章 平面问题的基本理论 条件是： 等厚度的薄板；
2、 体力 、 作用于体内， 面，沿板厚不变； 面力 、 作用于板边， 面，沿板厚不变； 约束 、 作用于板边， 面，沿板厚不变。 有两类问题可以简化为平面问题。 第一种：平面应力问题 平面应力 第二章 平面问题的基本理论 坐标系如图选择。 平面应力 第二章 平面问题的基本理论 简化为平面应力问题： 故只有平面应力 存在。 由于薄板很薄，应力是连续变化的 ，又无z向外力，可认为： 平面应力 两板面上无面力和约束作用，故 第二章 平面问题的基本理论 归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 存在； b.且仅为 。 平面应力 由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变， 故应力 仅为 。 第二章 平面问
3、题的基本理论 如： 弧形闸门闸墩 计算简图： 平面应力 深梁 计算简图： F 第二章 平面问题的基本理论 例题1（习题2-3） 选择坐标系如图。 因表面无任何面力， 、 、 = 0, 故表面上 在近表面很薄一层 接近平面应力问题。 平面应力 第二章 平面问题的基本理论 第二种：平面应变问题 条件是： 很长的常截面柱体 ； 体力 、 作用于体内， 面， 沿长度方向不变； 面力 、 作用于柱面， 面， 沿长度方向不变； 约束 、 作用于柱面， 面， 沿长度方向不变。 平面应变 第二章 平面问题的基本理论 坐标系选择如图： 平面应变 对称面 第二章 平面问题的基本理论 故任何 z 面（截面）均为对称
4、面。 平面应变 截面、外力、约束沿z向不变，外力、约 束xy面，柱体非常长， 简化为平面应变问题： 第二章 平面问题的基本理论 由于截面形状、体力、面力及约束 沿 向均不变，故应力、应变、位移 均为 。 平面应变 第二章 平面问题的基本理论 归纳平面应变问题： a.应变中只有平面应变分量 存在； b.且仅为 。 平面应变 第二章 平面问题的基本理论 例如： 平面应变 隧道挡土墙 o y x y o x 第二章 平面问题的基本理论 例2（习题2-4） 按平面应变问题特征 来分析，本题中 只有 ， 且为 平面应变 ox y z 第二章 平面问题的基本理论 22 平衡微分方程 定义 平衡微分方程表示
5、物体内任 一点的微分体 的平衡条件。 第二章 平面问题的基本理论 在任一点（x，y）取出一微小的平行六 面体 ,作用于微分体上的力： 体力： 。 应力：作用于各边 上，并表示 出正面上由 坐标增量引 起的应力增 量。 定义 第二章 平面问题的基本理论 应用的基本假定： 连续性假定应力用连续函数来表示。 小变形假定用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。 第二章 平面问题的基本理论 列出平衡条件 ： 合力 = 应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。 平面问题中可列出三个平衡条件: 平衡条件 第二章 平面问题的基本理论 其中一阶微量抵消，并除以 得： 平衡条件 P x y O C fx 第二章 平面
6、问题的基本理论 ，同理可得： 平衡条件 P x y O C fy 第二章 平面问题的基本理论 当 时，得切应力互等定理, 得 平衡条件 P x y O C 第二章 平面问题的基本理论 对平衡微分方程的说明： 代表A中所有点的平衡条件， （ ，）A； 适用的条件连续性、小变形； 应力不能直接求出； 对两类平面问题的方程相同。 说明 第二章 平面问题的基本理论 比较: 理力考虑整体 的平衡（只决定整体的 运动状态）。 材力考虑有限体 的平衡（近似）。 弹力考虑微分体 的平衡（精确）。 说明 第二章 平面问题的基本理论 当 均平衡时，保证 、 平衡； 反之则不然。 所以弹力的平衡条件是严格的、精确
7、的。 说明 第二章 平面问题的基本理论 理力（ V ） 材力（ ） 弹力（ ） hV dx dy dx 第二章 平面问题的基本理论 思考题 1.试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2.将条件 ,改为对某一角点的 ，将得出什么结果？（习题2-3） 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布， 将得出什么结果？（习题2-4） 第二章 平面问题的基本理论 已知坐标面上应力 ， 求斜面上的应力。 问题的提出： 23 平面问题中一点的 应力状态 问题 第二章 平面问题的基本理论 斜面应力表示： 求解：取出一个三角形微分体（包含 面、 面， 面） 边长 问题 第二章 平面问
8、题的基本理论 由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得 (1)求（ , ） （a） 斜面应力 其中 l=cos(n,x), m=cos(n,y). 第二章 平面问题的基本理论 (2)求（ ） 将 向法向、切向投影，得 斜面应力 第二章 平面问题的基本理论 设某一斜面为主面，则只有 由此建立方程，求出: (3)求主应力 斜面应力 第二章 平面问题的基本理论 将x，y放在 方向，列出任一斜面上 应力公式，可以得出（设 ） (4)求最大、最小应力 最大、最小应力 说明：以上均应用弹力符号规定导出。 (d) 第二章 平面问题的基本理论 几何方程表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系。 24 几何方程
9、 刚体位移 定义 第二章 平面问题的基本理论 变形前位置： 变形后位置： 各点的位置如图。 通过点P(x,y)作两正坐标向的微分 线段 定义 第二章 平面问题的基本理论 当很小时， 应用基本假定：连续性；小变 形。 假定 第二章 平面问题的基本理论假定 由位移求形变： PA 线应变 PA 转角 PB 线应变 PB 转角 同理， 第二章 平面问题的基本理论 适用于区域内任何点，因为（x,y） A； 对几何方程的说明： 平面问题的几何方程为 说明 适用条件：a.连续性；b.小变形。 应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程； 第二章 平面问题的基本理论 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映
10、和必然结果。 形变和位移之间的关系： 位移确定 形变完全确定： 从物理概念看，各点的位置确定，则 微分线段上的形变确定 。 说明 从数学推导看，位移函数确定，则其 导数（形变）确定 。 第二章 平面问题的基本理论 从物理概念看， 、 确定，物体还 可作刚体位移。 从数学推导看， 、 确定，求位移 是积分运算，出现待定函数。 形变确定，位移不完全确定 ： 形变与位移的关系 第二章 平面问题的基本理论 由 两边对y 积分， 代入第三式 由 两边对x 积分， 例：若 ,求位移： 形变与位移的关系 第二章 平面问题的基本理论 分开变量， 因为几何方程第三式对任意的（x，y） 均应满足。当x（y）变化时
11、，式(b)的左、 右均应=常数 ，由此解出 。得 形变与位移的关系 第二章 平面问题的基本理论 物理意义： 形变与位移的关系 表示物体绕原点的刚体转动。 表示x，y向的刚体平移， 第二章 平面问题的基本理论 结论： 形变确定，则与形变有关的位移可以 确定，而与形变无关的刚体位移 则未定。须通过边界上的约束条件来 确定 。 第二章 平面问题的基本理论 物理方程表示（微分体上）应力和形变 之间的物理关系。 定义 利用广义胡克定律： 25 物理方程 第二章 平面问题的基本理论 物理方程的说明： 说明 正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。 是线性的代数方程； 是总结实验规律得出的； 适用条件
12、理想弹性体； 第二章 平面问题的基本理论 物理方程的两种形式： 应变用应力表示，用于 按应力求解； 应力用应变（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。 说明 第二章 平面问题的基本理论 平面应力问题的物理方程： 代入 ，得 在z方向 平面应力 第二章 平面问题的基本理论 代入 得 平面应变问题的物理方程 平面应变 在z方向， 第二章 平面问题的基本理论 平面应力物理方程平面应变物理方程： 变换关系： 平面应变物理方程平面应力物理方程： 第二章 平面问题的基本理论 平衡微分方程 几何方程 物理方程 第二章 平面问题的基本理论 位移边界条件 设在 部分边界上给定 位移分量 和 ,则有 （在 上)。
13、（a） 定义 边界条件 表示在边界上位移与约束、 或应力与面力之间的关系。 位移边界条件 26 边界条件 第二章 平面问题的基本理论 若为简单的固定边， 则有 位移边界条件的说明： （在 上）。（b） 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。 它是函数方程，要求在 上每一点 ， 位移与对应的约束位移相等。 第二章 平面问题的基本理论 在23 中，通过三角形微分体的平衡 条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系 式， 应力边界条件设在 上给定了面力分 量 （在A中）。（c） 应力边界条件 第二章 平面问题的基本理论 将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面 重合，则得应力边界条件
14、第二章 平面问题的基本理论 它是边界上微分体的静力平衡条件； 说明 应力边界条件的说明： 式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立； 它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件； 第二章 平面问题的基本理论 式（d）中， 按应力符号规定， 、 按面力符号规定； 位移、应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示 、 向的条件； 说明 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边） 也必须满足。 第二章 平面问题的基本理论 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为 当边界面为坐标面时， 坐标面 第二章 平面问题的基本理论 若x=-b为负x 面，
15、l = -1, m = 0 , 则式(d)成为 第二章 平面问题的基本理论 应力边界条件的两种表达式： 两种表达式 在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一 致）。即在同一边界面上,应力数值应 等于面力数值(给定),应力方向应同面 力方向(给定)。 在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e）、（f ）； 第二章 平面问题的基本理论 例如：在斜面上， 在坐标面上，由于应力与面力的 符号规定不同，故式（e）、（f ）有区 别。 两种表达式 第二章 平面问题的基本理论 例1 列出边界条件： 第二章 平面问题的基本理论 第二章 平面问题的基本理论 例2 列出边界条件： 第二章 平面问题的基本理论 显然，边界条件要求在 上， 也 成抛物线分布。 第二章
