弹性力学-05(变分法)讲解

《弹性力学-05(变分法)讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学-05(变分法)讲解（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1. 弹性力学问题的微分提法及其解法： （1）平衡微分方程 （2）几何方程 （3）物理方程 （4）边界条件 应力边界条件；位移边界条件。 定 解 问 题 求解方法： （1）按位移求解 基本方程： （a）以位移为基本未知量 的平衡微分方程; （2）按应力求解 基本方程： （a）平衡微分方程； （b）边界条件。 （b） 相容方程； （c） 边界条件。 （a） 归结为求解联立的微分 方程组； 求解特点： （b） 难以求得解析解。 从研究微小单元体入手，考察其平衡、 变形、材料性质，建立基本方程： 5-4 弹性体的形变势能和外力势能 2. 弹性力学问题的变分提法及其解法： 基本思想： 在所有可能的解中

2、，求出最接近于精确解的解； 将定解问题转变为求解线性方程组。 弹性力学中的变分原理 能量原理 直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的 变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻） 值的变分问题。 （变分解法也称能量法） （a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。 （b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。 （c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到 广义（约束）变分原理。 位移法 力 法 混合法 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。 求解方法： 里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。 3.

3、 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 有限差分法； 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替； 将定解问题转变为求解线性方程组。 典型软件：FLAC实质：将变量离散。 （b）对变分方程进行数值求解 有限单元法、边界单元法、离散单元法 等 典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN， ABAQUS 等； 基于有限元法的分析软件； UDEC 基于离散元法的分析软件； 基本思想：将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理 （变分原理）确定其最优解。 将问题转变为求解大型的线性方程

4、组。 1. 形变势能的一般表达式 P x l0 l 单向拉伸： P lO P l 外力所做的功： 由于在静载（缓慢加载）条件下， 其它能量损失很小，外力功全部转化杆 件的形变势能（变形能）U： 杆件的体积 令： 单位体积的变形能，称为比能。 三向应力状态： 一点的应力状态： x y z 三向应力状态： 一点的应力状态： x y z 由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序 无关，只取决于最终的状态。 假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加， 此时，单元体的形变比能： （a） 对于平面问题，在平面应力问题中， 在平面应变问题中，因此， （a） （b） 整个弹性体的形变势能： （c）

5、 2. 形变势能的应变分量表示 在线弹性的情况下，由物理方程（2-16） ： 代入式（b），整理得： （d） （e） 将式（e）分别对3个应变分量求导，并将其结果与物理方程(d)比较，得 ： 从而， （5-15） 表明： 弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。 3. 形变势能的位移分量表示 只需将几何方程代入式(e)，得： 在上式中，只要将弹模、泊松比代换，即可得到平面应变中的相应公式。 （f） 由式(e)和(f)可知，形变势能是应变分量或位移分量的二次泛函。因此，叠 加原理不再适用。 0 1/2 ， U 0 即弹性体的形变势能是非负的量。 （5-16） 外力的虚功： 体

6、力：面力： 外力 取应变或位移分量为零时的状态为自然状态，此时外力的功和势能为零 。 由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的 外力势能为： （5-17） （5-18） 11-2 位移变分方程 1. 泛函与变分的概念 （1）泛函的概念 函数： x 自变量； y 因变量，或称自变量 x 的函数。 泛函： x 自变量； y 为一变函数； F 为函数 y 的函数，称为泛函。 例1： P1 弯矩方程 梁的形变势能： AB l x 泛函 例2： 例2： 因为 所以，U 被称为形变势能泛函。 （2）变分与变分法 设： 当自变量 x 有一增量： 函数 y 也有一增量： dy 与 dx

7、，分别称为自变量 x 与 函数 y 的 微分。 研究自变量的增量与函数增量 的关系 微分问题 P1 AB l x 设： 函数 y 有一增量： 泛函 U 也有一增量： P1 AB l x 设： 函数 y 也有一增量： 泛函 U 也有一增量： 函数的增量y 、泛函的增量 U 称为变分。 研究自变函数的增量与泛函 的增量间关系 变分问题。 微分和变分都是微量，它们的运算方法是相同的，如： 变分的运算 变分与微分运算： 变分运算与微分运算互相交换。 变分与积分运算： 变分运算与积分运算互相交换。 复合函数的变分： 其中： 一阶变分： 复合函数的变分： 其中： 一阶变分： 二阶变分： 二阶变分用于判别驻

8、值点是取得极大值还是极小值。 2. 位移变分方程 建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系 位移变分方程 q P 应力边界 S 位移边界 Su 设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。 边界： 位移场： 应力场： 满足：平衡方程、几何 方程、物理方程 、边界条件。 称为真实解 （1）任给弹性体一微小的位移变化： 满足两个条件： （1）不破坏平衡状态； （2）不破坏约束条件，即为约束所允许。 任给弹性体一微小的位移变化： 满足两个条件： （1）不破坏平衡状态； （2）不破坏约束条件，即为 约束所允许。 q P 应力边界 S 位移边界 Su 变化后的位移状态： 称为位移的变分，或虚位移。 由于位移的变分

9、，引起的外力功的变分和外力势能的变分为： 由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生 过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。 （5-19） （5-20） （2）考察弹性体的能量变化： 从而引起形变势能的变分为： 上式中的应力分量也是在位移变分发生之前存在的，是恒力，所以没 有系数1/2。 由于位移的变分，引起的应变的变分为 ： 由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少（也就 等于外力所做的功，即外力虚功）。 （在没有温度改变、动能改变的情况下） 设： 表示弹性变形势能的增量； 表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力 势能的减少。 （

10、5-21） 式（5-22）称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。 则有： （5-22） 它表明：在实际平衡状态发生位移的变分时，物体形变势能的变分 ，等于外力在虚位移上所做的虚功。 根据式（5-22），可推导出弹性力学中的极小势能原理。 将式（5-22）写成， 上式中外力是恒力，因此第二项就是外力势能的变分， （a） 而第一项就是形变势能的变分，证明如下： 弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。 从而， 因此，式(a)可以写为： 式（5-23）表明，在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能 的变分为0. （5-23） 其中： 形变势能与外力势能的总和，称

11、为系统的总势能。 其中： 形变势能与外力势能的总和，称为系统的总势能 表明：表明： 在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的一阶变 分为零。 等价于总势能 U+V 取驻值。 极值势能原理 平衡状态： （1）稳定平衡状态； （2）不稳定平衡状态； （3）随宜平衡状态； 稳定平衡 不稳定平衡 随宜平衡 势能取极小值 势能取极大值 不定 最小势能原理最小势能原理： 在给定的外力作用下，满足位移边界条件 的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的 总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡时，总 势能取极小值，通常也为最小值。 虚功方程 应用位移变分方程，还可以推导出弹性力学中的另一个重要方程：虚功

12、 方程。 （5-21） （5-22） 因此， （5-24）虚功方程 表明表明： 如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中 ，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。 虚功方程 是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。 实际存在的位 移应满足： （1）位移边界条件； （2）平衡方程（位移形式）； （3）应力边界条件。 （1）位移边界条件； （2）位移变分方程。 因而，有： 位移变分方程 （1）平衡方程； （2）应力边界条件。 （可互相导出） （最小势能原理） （1）位移变分方程 （2）虚功方程 位移变分方程小结： 也称 Lagrange 变分方程： （

13、3）最小势能原理 说明：说明： （1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件； （2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。 如：塑性材料、非线性弹性材料等。 （5-22） （5-24）虚功方程 前节课内容回顾： 1. 能量法的基本思想： 不依赖于自变量 x 变化的函数的增量 （1）在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解； 或者，为在真实解附近寻求最接近于精确解的近似解。 2. 变分与泛函的极值 （2）将定解问题转变为求解线性方程组。 （1）泛函： 自变量 x 的变分恒为零。 （2）变分： （3）变分的运算： 变分与微分运算 变分与积分运算 变分运算与积分运算互相交换。变分运算与微分运算互相

14、交换。 复合函数的变分 其中： 一阶变分： 自变量 x 的变分 x 0 二阶变分： 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。 泛函的极值 泛函取得的条件： 取得极小值 取得极大值 不定，由高阶变分判别。 3.弹性体的形变势能 4.位移变分方程 位移变分方程 虚功方程 最小势能原理 平衡微分方程 应力边界条件 等价 位移变分方程与弹性力学基本方程的等性 本章内容回顾： 1. 形变势能的计算： （1）一般形式 （2）应变分量表示形式 （c） （5-16） （3）位移分量表示形式 （1）位移变分方程 （2）虚功方程 也称 Lagrange 变分方程： （3）最小势能原理 说明：说明： （1）只

15、要求：可能（虚）位移满足位移边界条件； （2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。 如：塑性材料、非线性弹性材料等。 （5-22） （5-24）虚功方程 5-6 位移变分法 1. 里兹（Ritz）法 基本思想：设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有 若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位 移解。 设取位移的表达式如下： （5-25） 其中：为互不相关的 2m 个系数； 为设定的函数，且在边界上有： 为边界上为零的设定函数 显然，上述函数满足位 移边界条件。 此时，位移的变分 只能由系数 Am、 Bm的变分来实现。 与变分无关。 （a） 位移的变分： 形变势能的

16、变分： （b） 将式（a）、（b）代入位移变分方程（5-22），有： 将上式整理、移项、合并，可得： 完全任意，且互相独立， 要使上式成立，则须有： （5-26） Ritz 法方程 或称 Rayleigh- Ritz 法方程 说明： （1） 由 U 的位移表达式（5-16）可知，U 是系数 的二次函数， 因而，方程（5-26）为各系数的线性方程组。 互不相关，因而，总可以求出全部的系数。 （2） 求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等 （3） 在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。 （5-26） Ritz 法方程 或称 Rayleigh- Ritz 法方程 例： 图示薄板，宽为 a，高度为 b，左边和下边受连 杆支承，右边和上边