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1、用差分法和变分法解平面问题 第五章 合肥工业大学本科生教学 弹性力学 主讲教师：袁海平 (副教授、博士后) 一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题 内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移 之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程 和边界条件。 因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解 ，得出函数表示的精确解答。 对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函 数式的解答。为此，人们探
2、讨弹性力学的各种近似解法，主要 有差分法、变分法和有限单元法。 差分公式的推导一 弹性力学3用差分法和变分法解平面问题 f xo 差分法是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数f(x) ，而是求函数在一些结点上的值 。 将导数用有限差商来代替 将微分用有限差分来代替 将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问 题化为求解差分方程问题。 差分公式的推导一 弹性力学4用差分法和变分法解平面问题 在弹性体上，用相隔等间距h而平 行于坐标轴的两组平行线织成正方形 网格。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续 函数，该函数在平行于x轴的一根网线 上，如在3-上，它只随x坐标的改 变而变
3、化。在邻近结点处，函数f可 展为泰勒级数如下： 差分公式的推导一 (a) 弹性力学5用差分法和变分法解平面问题 只考虑离开结点充分近的那些结点，即（x-x0）充分小 。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写 为： 在结点，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得： 联立（c）、（d），解得差分公式： 差分公式的推导一 (b) (c) (d) 弹性力学6用差分法和变分法解平面问题 同理，在网线4-0-2上可得到差分公式： 以上（）（）是基本差分公式，从而可导出其它 的差分公式如下： 差分公式的推导一 弹性力学7用差分法和变分法解平面问题 差分公式()及()是以相隔
4、2h的两结点处的函数值来表示 中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值， 可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。 因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点 一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在 无法应用前者时才不得不应用后者。 差分公式的推导一 弹性力学8用差分法和变分法解平面问题 一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题 内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(
5、1911-1999) 弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能 、外力势能），又称为能量法。 泛函是以函数为自变量的一类函数。 变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。 弹性体的形变势能和外力势能二 弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独 立解法，分为： 位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条 件导出变分方程。 应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条 件导出变分方程。 弹性力学10用差分法和变分法解平面问题 （2）因应力和应变均从0增长到 ，故单位体积上， 应力所做的功是 非线性 关系 线 性 关系 （1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作
6、用力 ，可看成是作用于微小单元上的“外力”。 、应力的功和形变势能（内力势能） 弹性体的形变势能和外力势能二 弹性力学11用差分法和变分法解平面问题 线性的应力与应变关系非线性的应力与应变关系 弹性体的形变势能和外力势能二 、应力的功和形变势能（内力势能） 弹性力学12用差分法和变分法解平面问题 （3）对于平面应力问题 或平面应变问题 单位体积上应力所做的功都是 (c) 弹性体的形变势能和外力势能二 、应力的功和形变势能（内力势能） 弹性力学13用差分法和变分法解平面问题 弹性体的形变势能和外力势能二 、应力的功和形变势能（内力势能） （4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部 转
7、化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能 ， 存贮于物体内部。 -单位体积的形变势能（形变势能密度）。 （5）整个弹性体的形变势能 (d ) 弹性力学14用差分法和变分法解平面问题 （6）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度 ，可 用形变表示为 对于平面应变问题， 将 再将几何方程代入， 可用位移表示为 整个弹性体的形变势能为 弹性体的形变势能和外力势能二 、应力的功和形变势能（内力势能） (5-16) 弹性力学15用差分法和变分法解平面问题 （1）U 是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理。 （2）应变或位移发生时，U 总是正的，即 （3）U 的大小与受力次序无关。 （4）
8、对应变的导数，等于对应的应力： (5-15) 弹性体的形变势能和外力势能二 2、形变势能的性质 弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的 改变率，等于相应的应力分量。 弹性力学16用差分法和变分法解平面问题 外力势能外力做了功，必然消耗了相同 值的势能。当取 时的外力功和能为 零，则： (b) 外力功： 弹性体的形变势能和外力势能二 3、弹性体上的外力功和外力势能 弹性力学17用差分法和变分法解平面问题 弹性体的总势能，是外力势能和内力 （形变）势能之和， (h) 弹性体的形变势能和外力势能二 4、弹性体的总势能 弹性力学18用差分法和变分法解平面问题 弹性体的形变势能和外力势能二 例题
9、1 试证明，在同样的应变分量 下，平面应变情况下 单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。 对于平面应变情况，只需将上式中 ， 变换为 解：平面应力情况下，单位厚度的形变势能： (a) 弹性力学19用差分法和变分法解平面问题 代入，得 显然，方括号内 将式(a)中的 ， 都作为式(b)的变换，整理后 得平面应变情况下的形变势能公式， (c) 弹性体的形变势能和外力势能二 弹性力学20用差分法和变分法解平面问题 从式(c)可见，在平面应变情况下，形变 势能 中的第1，2，3项均大于平面应力 情况下的值，而第4项 不变。因此， 平面应变的形变势能 大于平面应力的形 变势能U 。 弹性体的形
10、变势能和外力势能二 弹性力学21用差分法和变分法解平面问题 C D E F AB 弹性体的形变势能和外力势能二 例题2 图示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并 使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变 势能将发生什么变化？ 解： 当AB线切开时，AB线上的应 力趋于0，而形变势能是正定， ， 当应力 时，相应的形变势 能也失去。因此，板的总的形变势能 减少。 弹性力学22用差分法和变分法解平面问题 弹性体的形变势能和外力势能二 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两 种状态： AB切开后， AB线仍然处于闭合状态，不发生张开，这是 不稳定的平衡
11、状态。 AB线张开，出现裂纹，这是稳定的平衡状态。由于系统的 稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而 (a)，(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能 小于(a)，即形变势能将减少。 弹性力学23用差分法和变分法解平面问题 一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题 内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 1.实际平衡状态的位移 ， ，必须满足 用位移表示的平衡微分方程（在A中）; 用位移表示的应力边界条件（在 上); 位移边界条件（在 上）
12、。 (a ) 其中，属于静力平衡条件，属 于约束条件。 对于实际位移，可将看成是必要条 件，而，是充分条件。 位移变分方程 三 弹性力学25用差分法和变分法解平面问题 （在 上）。 2.虚位移状态 虚位移（数学上称为位移变分） ， 表示在 约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量 ，虚位移应满足 上的约束边界条件，即 (b) 位移变分方程 三 弹性力学26用差分法和变分法解平面问题 虚位移不是实际外力作用下发生的， 而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位 移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态 。 (c) 位移变分方程 三 弹性力学27用差分法和变分法解平面问题 (d) 变分与微分的比较
13、 位移变分方程 三 微分是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数 的改变。其中的自变量为坐标变量x,y，而因变量为函数， 如位移，有 变分是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。 其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如 ， ， ，有 (e) 弹性力学28用差分法和变分法解平面问题 由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)； b.变分和微分可以交换次序，如 ( f ) 位移变分方程 三 弹性力学29用差分法和变分法解平面问题 当发生虚位移（位移变分） 时， 由于虚位移引起虚应变， 外力势能的变分： 外力的虚功（外力功的变分）： 3.在
14、虚位移上弹性体的功和能 位移变分方程 三 弹性力学30用差分法和变分法解平面问题 形变势能的变分，即实际应力在虚应 变上的虚功, 由于实际应力在虚应变之前已存在, 所以作为常力计算，故无 系数。 ( j ) 位移变分方程 三 弹性力学31用差分法和变分法解平面问题 （1）在封闭系统中，假设没有非机械能的 改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒 定律，在虚位移过程中形变势能的增加 应等于外力势能的减少（即等于外力所做的 虚功 ）。所以 4.弹性力学中位移变分方程的导出 位移变分方程 三 弹性力学32用差分法和变分法解平面问题 （2）位移变分方程 将式(g)的 代入上 式，得 它表示，在实际平衡状
15、态发生位移的变 分 时，所引起的形变势能的变 分 ，等于外力功的变分 。 位移变分方程 三 (5- 22) 弹性力学33用差分法和变分法解平面问题 （3）虚功方程 将式(j)的 代入上 式，得 位移变分方程 三 虚功方程表示：如果在虚位移发生之前，弹性体处于 平衡状态，则在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚 功等于应力在虚应变上所做的虚功。 (5- 24) 弹性力学34用差分法和变分法解平面问题 其中 形变势能的变分，如式( j )所示， 外力功的变分, 如式( g )所示。 （4）最小势能原理式(k)可写成 其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d), W弹性体的外力功， 如5-4式(a)。 可以证明，式(n)可以写成为 位移变分方程 三 弹性力学35用差分法和变分法解平面问题 由于弹性体的总势能为 故式(o)可以表示为 再将总势能 对其变量（位移或应变）作二 次变分运算，可得 (p) (q) 位移变分方程 三 极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条 件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能 为极小值。 弹性力学36用差分法和变分法解平面问题 一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题 内容
