线性预测.

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1、线性预测分析 时域、频域处理方法（50） 3.7 线性预测（Linear Prediction）分析 根据语音信号的产生模型，语音信号x(n)可以看作以u(n) 为激励的一个全极点滤波器的响应。 问题：如何在已知x(n)的条件下，求出系数 ai i=1, p ? AR 模型 解答：线性预测分析的方法。 时域、频域处理方法（51） 思路：一个语音的采样能够用过去若干个语音采样的线 性组合来逼近。通过使线性预测到的采样在最小均方误 差意义上逼近实际语音采样，可以求取一组唯一的预测 系数。 常简称为LPC（Linear Prediction Coding），系数称为 线性预测系数或LPC系数。 几个

2、概念 预测器： 从时域角度可以理解为，用信号的前p个样本来预测当 前的样本得到预测值。 它的差分方程为 时域、频域处理方法（52） 预测误差 ： 预测误差滤波器： 可知H(z)=G/A(z)，即预测误差滤波器是系统的逆滤波器。 短时预测均方误差: 线性预测分析应该在短时的语音段上进行，求解过程 使则有： 时域、频域处理方法（53） 得到线性方程组 若定义 则方程组可简写为 一个由p个方程组成的有p个 未知数的线性方程组 并可以计算最小预测误差能量 求解方程，可得到LPC系数 又被称为预测残差能量，它由一个固定分量和一个依赖 于预测系数的分量组成。 时域、频域处理方法（54） 要构造信号的AR模

3、型，还应估算增益因子。 AR模型的差分方程形式 因此可计算预测误差 则 激励信号u(n)总能量可以认为近似为1，因此有 时域、频域处理方法（55） 求LPC系数需考虑两个因素： （1）模型阶数的选择。 （2）由于声门脉冲形状和口唇辐射的影响，语音信号的 频谱在总趋势上会产生高频衰落的现象，可通过预加重 进行高频提升。 D 声门激励是一个双极点模型，口唇辐射是一个零点模型 ，如一个零点抵消一个极点，则还有一个极点的影响。 因此，模型阶数为 ， 其中 为共振峰的个数 。 时域、频域处理方法（56） 自相关法 我们定义时，未将求和范围具体化。 采用短时分析技术，只计算范围（0nN-1）以内的语 音数

4、据。 或 为加窗后的语音数据。 线性预测方程组的解法： 时域、频域处理方法（57） 由于短时自相关函数可以表示为： 求解LPC系数的方程组就可以写为： 则可以表示为 仅与 的相对值有关。且有 ， 时域、频域处理方法（58） 将其转换成矩阵形式 这种方程为Yule-Walker方程 ，其系数矩阵被称为托布里 兹(Toeplitz)矩阵。具有如下特点： （1）pp阶的对称阵。 （2）沿着主对角线及任何一条与主对角线平行的斜线上的 所有元素都相等 。 时域、频域处理方法（59） 利用Toeplitz矩阵特点： i阶方程组的解可以用i-1阶方程组的解来表示，i-1阶方程组 的解又可以用i-2阶方程组的

5、解表示，依此类推。 因此，只要解出一阶方程组的解，就可以一步一步地递推来 解出任意阶方程组的解。典型的方法有： 莱文逊杜宾（LevinsonDurbin）递推算法 舒尔（Schur）递推算法 (3)开始按如下公式进行递推运算 (1)计算自相关系数 (2)初值 (4) i=i+1。若i p则算法结束退出，否则返回第（3）步， 时域、频域处理方法（60） 这样经过递推计算后，可得到i=1,2,p各阶预测器的解。 莱文逊杜宾递推算法 时域、频域处理方法（61） 经过递推计算后,最终解为: 由于各阶预测器的预测残差能量都是非负的，可以推知 ki称为反射系数。 且 必随预测器阶数的增加而减少。 时域、频

6、域处理方法（62） 舒尔递推算法： 定义归一化的自相关函数如下： 将前面方程中的自相关函数都转化为其归一化形式。 归一化自相关函数永远不大于1，因而，递推过程中的所有变 量都小于或等于1。 递推过程中设一辅助序列 时域、频域处理方法（63） 可以证明， 有如下性质： （1）当 时， （2）反射系数 （3）递推式 成立； （4） ，其中等号仅当 时成立。 时域、频域处理方法（64） 舒尔递推算法描述如下： （1）计算自相关系数 ， （2）计算归一化自相关系数 （3）令 （4）令 （5）对于 计算： （6） 。若 则算法结束退出，否则返回（5）。 时域、频域处理方法（65） 最终得到的是相应的反射

7、系数。 如果在第（5）步的递推过程加入相应的递推式，也 可以同步求出线性预测系数和预测残差能量。 时域、频域处理方法（66） 格型法 ： 引入了“正向预测”和“反向预测”的概念，阐述了参 数ki的物理意义。 首先提出了逆滤波器A(z)的格型结构形式，由此给出了 线性预测分析的格型法。 格型法不需要用窗口函数对信号进行加权，同时又保证 了解的稳定性，较好地解决了精度和稳定性的矛盾。 时域、频域处理方法（67） 格型法的基本原理： 在基于自相关的杜宾递推算法中，当递推进行到第 i 阶 时，可得到该阶预测系数 可以定义一个 i 阶的线性预测误差滤波器，它的传输函数 定义如下： 这个滤波器输入信号是

8、，输出信号为预测误差 ， 写成z变换形式为： 时域、频域处理方法（68） 利用前面的递推式： 写成矩阵形式： 可以导出： 方程两边同时左乘 ，得 时域、频域处理方法（69） 其中， 预测误差： 上式表明，第 i 阶线性预测误差滤波器的输出可以分解成两部 分，一是第i1阶滤波器的输出；第二部分是与第i1阶有关的 输出信号 经单位移序和 加权后的信号。 时域、频域处理方法（70） 将这两部分信号分别定义为正向预测误差信号 和反向 预测误差信号 。 前者的计算公式前面已经给出，后者可以推导出： 正向预测误差信号是用i个过去的样本值 来预测 时的误差。 反向预测误差是用时间上延迟时刻的样本值 来预测

9、时的误差。 )( )( ne i )( )( nb i Z反变换 时域、频域处理方法（71） 这两种预测情况如下图所示。 时域、频域处理方法（72） 基于正向预测和反向预测，可以推出线性预测分析采用 的格型滤波器结构。 对于正向预测，可得到如下的递推公式： 将 代入 求反变换后有： 当i=0 时，有 当i=p时，有 时域、频域处理方法（73） 线性预测分析的格型滤波器的结构形式如图4-3所示。 这个滤波器输入为x(n)，输出为预测误差e(n)，对应于预测误 差滤波器A(z) 时域、频域处理方法（74） H(z)是预测误差滤波器A(z)的逆滤波器。合成滤波器H(z) 的输入为e(n)时，输出应为

10、x(n)。整理递推式： 据此可画出图4-4所示的格型合成滤波器的结构。 时域、频域处理方法（75） 由图4-3和图4-4可见，p 阶滤波器可以表示成由 p 节斜格构成，尤其是合成滤波器的结构直接与 前面讨论的声道的级联声管模型相对应。 时域、频域处理方法（76） 格型法的求解： 根据格型分析滤波器的结构形式，可以依据最小误差准则，求 出各反射系数ki。如果需要，还可以更进一步计算出预测ai 。 可依照几种不同的最优准则来进行，由此出现了多种格型法的 求解算法。首先定义3种均方误差： 正向均方误差 反向均方误差 交叉均方误差 时域、频域处理方法（77） （1）正向格型法 ： 正向格型法逼近准则：

11、使格型滤波器的第i节正向均方误差最小 经过推导可得： 或者 时域、频域处理方法（78） （2）反向格型法 ： 反向格型法逼近准则：使格型滤波器的第i节反向均方误差最小 经过推导可得： 注意到 和 的值都是非负的，所以 和 符号总是 相同的。 由于不能保证 和 ，所以 它们都不能保证 ，也就是说解的稳定性是不能保证的 。 时域、频域处理方法（79） （3）几何平均格型法 ： S为 的符号。 定义正向格型法和反向格型法中 和 的几何平均值 可得： 或者以时间平均的形式表示： 时域、频域处理方法（80） 上面的表达式具有归一化互相关函数的形式，由于它表示 了正向预测误差和反向预测误差之间的相关程度，

12、因此反 射系数也被称为部分相关系数，简写为PARCOR系数。 运用柯西许瓦兹不等式容易证明有 ，所以这种方 法求解的反射系数将能保证系统的稳定。 时域、频域处理方法（81） （4）伯格（Burg）法 伯格法的逼近准则是：使格型滤波器第i节正向和反向均方误 差之和最小， 由此可以得到： 或者 时域、频域处理方法（82） 1、反射系数 其中Ai是第 i 节声管的面积函数。 另一方面，它也表示了正向预测误差和反向预测误差之间的 相关程度。 线性预测的几种推演参数 在前面声道的级联声管模型中，声道被模拟成一系列长度 和截面积不等的无损声管的级联，反射系数ki反映了声波 在各声管段边界处的反射量。 时域

13、、频域处理方法（83） 2、预测器多项式的根 如果把合成滤波器看作是一个 p 阶AR模型，那么就有 看作是对信号谱的一个估计。 通过求取预测器多项式的根，可以实现对共振峰的估计。 预测误差滤波器A(z)可以用它的一组根 等效 地表示。 时域、频域处理方法（84） 每一对根与信号谱中的一个共振峰相对应。 如使A(z)=0，则可以解出p个根z1,z2,zp。 若p为偶数，那么一般情况下得到的是p/2对复根，它们 可以表示为： 时域、频域处理方法（85） 如果把z平面的根转换到s平面， 令 其中T为采样间隔。设 则 决定了共振峰的频率， 决定了共振峰的带宽。 时域、频域处理方法（86） 3、对数面积

14、比系数 由反射系数可以直接推导出一组重要参数对数面积比 系数，其定义为： 其中Ai就是多节无损声管中第 i 节的截面积。 可得到直接通过反射系数求取对数面积比系数的关系式： 同理， 时域、频域处理方法（87） 4、线谱对分析法 线谱对参数（Line Spectrum Pair，简称LSP）也是线 性预测系数的一种推演参数。LSP参数具有非常好的 量化特性和插值特性，因而在声码器研究中获得广泛 的应用。 定义 i 阶线性预测器的逆滤波器为 时域、频域处理方法（88） 定义两个(p+1)阶的多项式 有 相当于 时的 相当于 时的 将相关项写成如下的形式： 可以得到如下递推公式: 时域、频域处理方法

15、（89） 展开有 可见P(z)是一个对称的实系数多项式，而Q(z)是一个反对称 的实系数多项式，因此它们都有共轭的复根。且都有实根： 共轭复根的形式为 零点构成的基本因式具有如下的形式： 时域、频域处理方法（90） 可以证明：当A(z)的零点都在单位园内时，P(z)和Q(z) 的零点都在单位园上，并且P(z)和Q(z)零点交替出现， 即： 参数 、 成对地出现，且反映信号的频谱特性，因 此被称为线谱对系数。 若阶数p是偶数，P(z)和Q(z)零点分别为 则 时域、频域处理方法（91） 求解线谱对参数就是求解多项式P(z)和Q(z)关于z的根。当 线性预测系数已知时，可以用如下方法来求LSP参数： 线谱对参数的求解: 因为 令 可以通过变换使 和 表 示成关于y的一对p/2次代数方程组。 这对代数方程可以用牛顿迭代法求解得到方程的根，再进 一步可求出 和 。 时域、频域处理方法（92） 5、LPC倒谱系数（LPCC） 语音信号的倒谱是通过对语音信号进行Z变换，取对数 ，再反Z变换来得到的。 也可用声道系统的传递函数H(z)来代替语音信号来求复 倒谱，因为它也反映了信号的谱包络信息。 系统的传递函数为 其冲激响应为h(n) 其