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1、第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 n 2.1 引言 n 2.2 离散维纳滤波器的时域解 n 2.3 离散维纳滤波器的z域解 n 2.4 维纳预测 n 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波 2.1 引 言 n最优滤波 n维纳滤波和卡尔曼滤波简介 n本章讨论的主要内容 1、最优滤波 n信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受 干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波 器。 n滤波器的分类： 线性滤波器、非线性滤波器； FIR滤波器、IIR滤波器； 时域滤波器、频域滤波器； 图 2.1.1 信号处理的一般模型 x(n)=s(n)+v(n) n最优准则： 最大输出信噪比准则匹配滤波器 最小均方误差准则
2、误差绝对值的期望值最小 误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小 x(n)=s(n)+v(n) Wiener滤波器的一般结构 2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介 n维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以估计的 结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最 优准则。 假设信号的真值与估计值间 的误差为： 均方误差最小即误差的平方的统计平均值最小： 最小 3、本章讨论的主要内容 n主要内容：维纳滤波器（FIR维纳滤波器和 IIR维纳滤波器）、维纳预测器、卡尔曼滤 波。 n分析思路：在均方误差最小的前提下，求得 系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)， 进而计算滤波器的最小均方误差 2.2
3、 离散维纳滤波器的时域解 n本节要解决的主要问题及方法 n正交性原理 n维纳霍夫方程 nFIR维纳滤波器的时域解 1、本节要解决的主要问题及方法 n要解决的问题：寻求在均方误差最小情况下的单 位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)的表达式，这一过 程称为设计维纳滤波器的过程。 n解决方法：实质是求解维纳霍夫(Wiener-Hopf) 方程，即 本节讨论维纳滤波器的时域求解方法，即在时域 求最小均方误差下的 。 2、 维纳滤波器时域求解的方法 n 因果维纳滤波器的输出y(n) ： n=0,1, 2, 设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E|e(n)|2分别为 e(n)=d(n)-y(n
4、)=s(n)-y(n) k=0, 1, 2, 记梯度算子为 k=0, 1, 2, n 要使均方误差为最小，须满足 上式展开为 又 将上述4式代入得 分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差 信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。 n正交性原理： n正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判 断线性滤波系统是否工作于最佳状态。 正交性原理的引理：最佳状态时，由滤波器输出定义的期望响 应的估计yopt(n)与估计误差eopt(n)正交： 3、 维纳霍夫方程 将输入信号分配进去， 得到 k=0, 1, 2, 维纳-霍夫（WienerHopf）方程： k=0, 1, 2,
5、4、FIR维纳滤波器的时域解 n FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程 当h(n)是一个长度为M的因果序列时，FIR维纳滤波器的维 纳-霍夫方程表述为 k=0, 1, 2, ,M-1 (2.2.21) 把k的取值代入(2.2.21)式， 得到 当k=0时，h0rxx(0)+h1rxx(-1)+hM-1rxx(-M+1)=rxd (0) 当k=1时，h0rxx(1)+ h1rxx(0)+ hM-1rxx(-M+2)= rxd (1) 当k=M-1时，h0rxx(M-1)+ h1rxx (M-2)+hM-1rxx(0)= rxd (M-1) (2.2.22) 定义 （2.2.22）式可以写成矩阵形式，
6、 即 对上式求逆，得到 这里涉及到计算相关矩阵和逆矩阵，计算量可能较大。 n FIR维纳滤波器的估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度 等于M， 结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是 最小的，从这个意义上说，它是最优的。其阶数越高，采用的 已知信息就越多，它的最小均方误差就越小，但相应的计算量 也越大。 例1 假设有一实的广义平稳随机信号s(n)的自相关函数（序列） 为 ,且伴随有实的噪声w(n)，方差为 ， 与s(n)无关。试设计一个M=2的FIR维纳滤波器来估计s(n) ，并计 算最小均方误差。 n解：已知 由此，M=2最佳FIR维纳滤波
7、器如下： n或者，利用下式求解 k=0, 1 当k=0时，2h0+0.6h11 当k=1时，0.6h0+2 h10.6 估计该滤波器的输出误差的最小均方值： 经过此滤波器以前的均方误差为 2.3 离散维纳滤波器的z域解 n本节要解决的主要问题及方法 n白化滤波器 n非因果IIR维纳滤波器的Z域解 n因果IIR维纳滤波器的Z域解 1、本节要解决的主要问题及方法 n待解决的问题：当h(n)是物理可实现的因果序 列时，所得到的Wiener-Hopf方程 将存在k0的约 束，不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物 理可实现条件下，求解维纳-霍夫方程成为一个十 分困难的问题。 n解决方法：采用将观测序
8、列x(n)白化的方法，求 解Wiener-Hopf方程的Z域解。 n 若不考虑滤波器的因果性，维纳霍夫方程可以改写为 设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到 Sxs (z)=Hopt(z)Sxx(z) x(n)=s(n)+v(n) 假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则 Sxs (z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) n 对于因果IIR维纳滤波器，其维纳霍夫方程为 k=0, 1, 2, 因为存在k0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如 有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。 如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)= w(n)，w(n)是方差为
9、的白噪声，由于 则因果IIR维纳滤波器的维纳霍夫方程变为： k=0, 1, 2, k=0, 1, 2, 由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果 IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。 2、白化滤波器 n任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成 是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。 x(n)的时间序列信号模型 一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为 白化滤波器。 x(n)的白化滤波器 如果B(z)是一个最小相移网络函数，那么1/B(z)显然也是一个 物理可实现的最小相移网络，因此可以利用上式白化x(n)。 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程 n 利用白化
10、x(n)的方法求解维纳-霍夫方程: 于是，在最小均方误误差准则则下，求最佳Hopt(z)的问题问题 就归结归结 为为求最佳G(z)的问题问题 了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的 约约束情况加以讨论讨论 。 如果已知信号的Pxx(z)，即可由下式求得B(z) 。 n 计算Hopt (z)： 3、 非因果IIR维纳滤波器的求解 (2.3.9) 求满满足最小均方误误差条件下的g(k)： 为求得相对于g(k)的最小均方误差值，令 -k -k Z变换后 非因果IIR维纳滤波器的最佳解： s(n)=s(n)*(n)， x(n)=w(n)*b(n) rxs(m)=rws(m)*b(-m) Sxs (z
11、)=Sws(z)B(z-1) 非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式 假定信号与噪声不相关，即当Es(n)v(n)=0时可以得到： Sxs(z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) 信号和噪声不相关时，非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解 和频率响应分别为 n由上式可知： 当噪声为0时，Hopt=1，信号全部通过； 当信号为0时， Hopt=0，噪声全部被抑制掉； 当既有信号又有噪声时， Hopt1，大小随Pvv的增加而减小， 从而达到降低噪声影响的目的。 Pss(ej)0, Pvv(ej)=0 Pss(ej)0, Pvv(ej) 0 Pss(ej)=0, Pvv
12、(ej) 0 图 2.3.6 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性 n 计算最小均方误差E|e(n)|2min： 第一项根据围线积分法求逆Z变换的公式, rss(m)用下式表示: 得出 第二项由帕塞伐尔定理： 取y(n)=x(n), 有 因此 得到 假定信号与噪声不相关，Es(n)v(n)=0，又因为实信号 的自相关函数是偶函数，即rss(m)=rss(-m)，则 Sxs(z)=Sss(z) ，Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)； Sss(z)=Sss(z-1) 4、 因果IIR维纳滤波器的求解 n 若维纳滤波器是一个因果滤波器， 要求 g(n)=0 n0 则滤波器的输出信号 估计误差的
13、均方值 E|e(n)|2=E|s(n)-y(n)|2 类似于（2.3.9）式的推导，得到 要使均方误差取得最小值， 当且仅当 令 因果维纳滤波器的复频域最佳解为 维纳滤波的最小均方误差为 非因果情况时，滤波器的最小均方误差为 对于因果情况， 比较两式，可以看出非因果情况的E|e(n)|2min一定小于等 于因果情况E|e(n)|2min。 因果维纳滤波器设计的一般方法： (1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应信号模型的传 输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)，Sxx(z)=2wB(z)B(z-1)。 (2) 求的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即 舍掉单位圆外的极点，得 (3)
14、积分曲线取单位圆，计算Hopt(z), E|e(n)|2min。 例 2.3.1 已知 信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，噪声v(n)是零均值、单位功率 的白噪声（2v=1,mv=0)，求Hopt(z)和E|e(n)|2min。 解 根据白噪声的特点得出Svv(z)=1, 由噪声和信号不相关， 得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。 考虑到B(z)必须是因果稳定的系统，得到 (1)、 首先分析物理可实现情况: 因为 取其因果部分 取单位圆为积分围线，上式等于单位圆内的极点 的留数之和，即 未经滤波器的均方误差 所以通过因果维纳滤波器后均方误差下降8/3(2.7)倍。 (2)、 对于
15、非物理可实现情况有 令 单位圆内有两个极点0.8和0.5, 应用留数定理，有 结论：比较两种情况下的最小均方误差,可以看出非物理可实 现情况的最小均方误差小于物理可实现情况的均方误差。 维纳滤波部分的总结： n主要内容：FIR维纳滤波求解、非因果IIR维纳滤波求解 、因果IIR维纳滤波求解； n知识点：最小均方误差准则、正交性原理、维纳霍夫 方程、白化滤波器； n结论： 在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是 最小的，从这个意义上说它是最优的； 与非最优滤波相比，最优滤波的优势在于能对滤波的 质量（逼近的好坏）做出评价； E|e(n)|2min与Sss(z)和Svv(z)重叠部分大小有关； 最小均方误差比较：非因果IIR因果IIRFIR维纳滤波 的最小均方误差 2.4 维 纳 预 测 n本节讨论的主要问题及方法 n预测的可能性 n维纳预测的计算 n纯预测 n一步线性预测的时域解 1、本节讨论的主要问题及方法 n讨论 的主要问题 ：本节将讨论维纳预测 器，以观测 到的全部过去数据来估计当前 或将来的值 n解决方法：以均方误差最小为估计原则 图2.4.1(b) 维纳预测器 图2.4.1(a) 维纳滤波器 2、预测的可能性 n信号可以预测是由于信号内部存在关联性。数据 间关联越密切，预测越准确；完全不关联，则无 法预测。 输入： 输出： x(n)在各不同时间点上的值的相关
